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상수계수 2계 미분방정식에 대한 내용을 같이 스터디 해봅시다 :0
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2계 미분방정식-homogeneous Differential Equation
2계 미분방정식 , 더 나아가 고계 미분 방정식에 대해 푸는 방법을 정리해보겠습니다. 가장 기본적인 2계 미방의 일반형태를 보면 아래의 식과 …
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 7/11/2021
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2계 상미분방정식의 풀이 – ① 제차 2계 상미방 – 네이버 블로그
공학수학 카테고리에서 처음 쓰는 이 글은, 2계 상미분방정식 (second order ordinary differential equation)의 일반적인 풀이법에 대해서 소개하고, …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 11/1/2022
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2계 선형 미분방정식의 해법 (2) – 공돌이의 수학정리노트
Prerequisites본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 2계 선형 미분방정식의 해법 (1) 미분방정식을 이용한 …
Source: angeloyeo.github.io
Date Published: 2/27/2021
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2차 선형 미분방정식을 푸는 방법 – 수학과 사는 이야기
2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 …
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 6/16/2022
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제 3 강 2계 상미분방정식
2계 상수계수 선형 제차 상미분방정식(Second order homogeneous ordinary D.E. with constant coefficients). Page 7. 7 / 24. 3. 2계 상수계수 선형 제차 상미분 …
Source: contents.kocw.or.kr
Date Published: 10/10/2021
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2.1 2차 선형미분방정식의 해
상수계수를 가지지 않는 2차 제차방정식의 일반해를 구하는 과정은. 매우 어렵다. 특별한 형태의 오일러-코시(Euler-Cauchy) 미분방.
Source: cisl.nayana.kr
Date Published: 9/24/2021
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5. 2계 제차,비제차 선형미분방정식(1)
1. 2계제차 선형미분방정식. 시작하기 앞서 2계제차이 무슨소린지에 대해 단어를 나눠서 보면. 2계: y” 즉 2번 …
Source: jjw7808.tistory.com
Date Published: 6/28/2022
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주제에 대한 기사 평가 2 계 미분 방정식
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2계 미분방정식-homogeneous Differential Equation
2계 미분방정식 , 더 나아가 고계 미분 방정식에 대해 푸는 방법을 정리해보겠습니다.
가장 기본적인 2계 미방의 일반형태를 보면 아래의 식과 같습니다.
표준형이죠
이때 우변의 R(x)가 0 일 경우 제차미분방정식, 0이 아닐 경우는 비제차 미분방정식이라 합니다.
제차미분방정식을 풀수있어야 하는 것이 먼저이기 때문에 제차부터 해봅시다.
가장 먼제 계수감소, 계수저하법 이라 불리는 풀이법이 있습니다. 2계 미분방정식 중 하나의 해 y1을 알고 있을때 y2를 구하는 방법이죠
하나의 해 y1이 y2와 비슷한 형태를 가질것이라는 가정에서 나온 식입니다.
y2= u y1 이라 가정하고 식을 구하는 것으로 공식은 아래와 같습니다.
이렇게 u를 구한 후 하나의 해 y1과 곱하는 것으로 구합니다.
본격적으로 2계 제차 미분방정식에 대해서 정리해봅시다.
**p(x),q(x)가 상수항일 경우**
가장 쉬운 경우가 p(x),q(x)가 상수항일때 입니다.
P(x),Q(x)가 상수일 경우이니 쉽게 a,b로 놓고 R(x)를 0으로 놓고 식을 다시 써 보겠습니다.
이때 y의 일반해의 형태가 지수함수 형태를 가진다고 가정해봅시다.
y= e^tx 라 하고 위 식에 대입하면 아래와 같이 될것입니다.
이때 지수함수 앞에 정리되는 식을 특성방정식이라고 부르며, 이 특성 방정식의 해 형태에 따라 미분 방정식의 해를 구할수있습니다.
위와 같이 특성방정식의 근을 통해 일반해를 정리할수가 있습니다.
위 경우중 2번째 경우 중근의 경우에 같은 해가 있을시 에 x를 하나 더 붙여서 근의 형태를 띄는 것입니다.
고계 미방에서 중근이 3개라면 뒤에 x^2 이 붙은 지수함수 형태가 하나 더 있는 것이죠.
예를 들어서 풀이를 확인해 봅시다.
상수항일 경우 이와 같이 간단하게 해를 구할수 있습니다.
**p(x),q(x)가 상수항이 아닐 경우**
이 경우 미분 방정식은 p(x),q(x)가 어떤 형태이냐에 따라서 다양한 이름이 붙습니다. 르장드르, 코시 오일러 등등
그중에서 코시 오일러 미분방정식에 대해서 정리해봅시다.
위와 같은 형태의 미분 방정식을 코시 오일러 미분방정식이라 합니다.
y”의 계수가 x^2이고 y’의 계수가 x, y의 계수가 상수 항을 띄는 형태가 코시오일러 미방이라고 합니다.
이런 미방은 계수가 상수항인 미방과 달리 y의 해를 지수함수가 아니라 x^t형태라고 가정해서 푸는 것입니다.
앞서 특성방정식과 마찬가지로 보조방정식의 해 형태에 따라서 미분방정식의 해를 구할수 있습니다.
역시 문제를 통해서 익히는 것이 좋겟죠?
다른 형태의 미분방정식은 여러가지 다룰 내용이 많으니 나중에 따로 설명하도록 하겠습니다.
2계 상미분방정식의 풀이 – ① 제차 2계 상미방
공학수학 카테고리에서 처음 쓰는 이 글은, 2계 상미분방정식 (second order ordinary differential equation)의 일반적인 풀이법에 대해서 소개하고, 그것을 진동문제에 어떻게 적용하는 가에 대해서 간단하게 다루는 글이 될 것이다.
상미분 방정식이란, 계산되는 함수가 단 하나의 독립변수만 가지고 있는 경우를 말한다. 보통이 변수를 y 로써 표시한다. 보통 거리 y 에 대한 시간 t 의 미분값으로 표현되는 경우가 많으므로, 앞으로의 식은 y 를 중심으로 서술 될 것이다.
또한 상미분방정식이 선형시스템을 표현하는 경우에는, 계산을 통한 해석적방법(Analytic Problem)으로 해를 수 할 수있지만, 함수가 비선형 시스템을 표현하는 경우에는 오직 근사적인 방법(Numerical Problem)으로만 해를 수할 수 있다. 이를 표현하는 방법 또한 앞으로의 과정에서 다루게 될 것이다. 참고용 도서로서는, Dennis G. Zill 의 Advanced Engineering Mathematics 를 사용할 것이다.
0. 2계 상미방의 기본적인 형태
2계 상미방의 기본형태는 다음과 같다. 2계 이기 때문에 독립변수 y에 대한 2차 미분이 필수적으로 들어가 있으며, 그 뒤로 1차 미분과 0차 미분 형태가 차례로 들어간다. 식을 이루는 변수 a / b / c 는 모두 상수(constant)이다. 이를, 상수계수를 가지는 2계 상미분 방정식 이라고 한다. 나중에도 나오겠지만, 상수계수를 가지는 경우에 미분방정식은 선형(Linear)이 된다. 반면, 상수가 아닌 변수계수를 가지는 경우는 비선형(Non-Linear) 이 되며, 이 경우에는 해석적 해법이 아니라 수치적 해법으로만 해를 구할 수 있다. 다만, 몇몇의 특정적 비선형 미분 방정식의 경우는 Cauchy-Euler 같은 수학자들이 해석해를 도출해 낸 경우가 있다.
(선형적인 2계 상미방)
(비 선형적인 2계 상미방 : y나 y` 등이 더 붙어 있음)
1. 2계 상미방의 종류
1) 제차 (Homogeneous) : 제차 2계 상미방이라는 것은, 미방의 우측항 r(x) 가 0 이라는 뜻이다. 이 r(x) 는, 시스템에 가해지는 외력이라고 해석하면 편리하다. 예를 들어서 스프링과 나무토막으로 이루어진 하나의 시스템이 있다고 할 때에 ( 앞으로 이것을 Spring – Mass System 이라고 한다) , 나무토막을 잡았다가 당기고 가만히 둔다면, 계속해서 가해지는 힘은 초기변형으로 인한 것 이외에는 없으므로, r(x)=0 이 된다. 시스템의 운동은 전적으로 시스템 자체의 특성으로 결정되며, 이것을 제차라고 한다.
2) 비제차 (Non-Homogeneous) : 비제차 2계 상미방 이라는 것은, 우측항 r(x)가 0이 아니라는 뜻이다. 이 경우, 내가 나무토막을 잡고, 그 것을 계속해서 흔들어 준다는 뜻이며, 시스템의 운동은 내가 가해주는 힘과 시스템의 특성에 의해서 결정된다. 이것을 비제차 라고 한다.
2. 제차 2계 상미방의 해법
1) 해를 가정 한다.
2계 상미방의 해법은, 우선 해를 가정하는 것으로 부터 시작된다. 일반적으로 상미분방정식의 해는 다음과 같이 가정하는 것으로 쉽게 해결할 수 있다.
즉, 독립변수 y 를 , 지수함수의 mx 제곱의 형태로 가정하고, 이를 원래의 미분 방정식에 대입한다.
지수함수는 미분해도 지수의 형태를 그대로 유지하기 때문에, 식 (2.2)와 같은 형태로 미분방정식을 나타낼 수 있으며, 이때 빨간색 글씨를 가진 부분은, 일반적인 상수계수를 갖는 2차방정식의 형태로 표현된다. 이것을 보조방정식 (Auxiliary Equation) 이라고 한다.
이때의 식(2.2) 의 해는, 보조방정식이 0 이거나, 지수함수가 0 이어야 하는데, 모두가 알다시피 지수함수는 무한대 구간이 아닌 경우0 이 될 수 없다. 따라서, 보조방정식의 값을 0 으로 하는 인수분해를 통하여 간단하게 2 개의 m 값을 구할 수 있다. 2차 방정식의 해는 모두가 아는대로, 근의 공식을 이용하여 간편하게 구할 수 있다. 이를 나타내면, 식 (2.3) 와 같이 나타낼 수 있다.
또한 여기에서, 우리는 근호 내부의 값이, 0을 경계로 세 가지 형태로 나타난 다는 것을 알 수 있는데, 그것은 다음과 같다.
이 값에 따라서 ,근호 내부의 값이 0, 양수, 음수로 구분 되므로, 각각의 경우에 대하여 다른 해석적 접근이 필요하다.
2) 중첩의 원리
먼저 2계 상미방의 경우, 방정식의 해는 서로 다른 두 기저(Base)를 가진 해의 선형조합으로 이루어진다. 이것을 중첩의 원리(Superposition Principle) 라고 한다. 이 원리는, 제차 선형 미분방정식의 해를 서로 더하거나 빼도, 해당 미방을 만족하는 해가 된다는 것을 보여준다. 즉, Y1, Y2 , Y3 ,,,, Yk 가 어느 구간에서 제차 n계 미분방정식의 해라면, 다음과 같은 일차결합 또한 미분방정식의 해가 된다.
이를 증명하기 위해서, k = 3 으로 두고, Y1, Y2, Y3 가 제차 한 방정식의 해라고 가정한다. 먼저, 중첩의 원리가 사실이라면, 다음이 성립해야 할 것이다.
이때, 제차 방정식 L(y) 에 대하여 Y 를 대입하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
우리는 이것을 통하여, 다음이 성립함을 알 수 있다.
3) 일차 종속 (Linearly Dependent) 과 일차 독립 (Linearly Independent)
어떤 구간에서 미방이 다음을 만족시킬 경우이면서 모두가 동시에 0 이아닌 c 의 값이 존재한다면, 함수 f(x) 의 집합은 그 구간에서 일차종속(Linearly Dependent) 이라고 한다. 또한 일차종속이 아닌 경우를 일차독립(Linearly Independent) 라고 한다.
이것은 미방을 푸는데 있어서 매우 중요한 요소가 되는데, 만약 식(2.6) 이 성립한다면, 각 함수 f(x) 에 상수 c 를 곱하여 다른 함수를 상쇄시킬 수 있다는 말이고, 이는 다시 말해서 어떤 함수 f(x) 가 다른 어떤 함수 f(x) 의 상수배가 된다는 말이다.
결국, 제차 2계 상미방은 2계 이므로, 해가 2개 존재하여야 하는데, 해가 하나만 나와버리는 이상한 상황이 되어버린다. 따라서 미분방정식의 해가 2개가 되도록 만들기 위하여, 함수 f(x)의 집합은 반드시 일차독립이 되어야 한다.
4) Wronskian
미분 방정식의 일차독립을 판별하기 위하여 쓰이는 방법으로써, n계 제차 선형미분 방정식이 n 개해를 가지는 가를 판별하기 위하여 사용된다. 만일 제차 선형미방이 어떠한 구간에서 일차독립이라면, 그 구간의 모든 x에 대하여 Wronskian 이 0 아니어야 한다. 즉,
f1 과 f2 및 이들의 도함수로 이루어진 행렬의 행렬식 (Determinant) 가 0 이 아니면 , 제차 선형미방은 일차독립이며, n 개의 해를 갖는다. 이때, 제차 선형 n 계 미방의 n개의 일차독립 해의 집합을 해의 기본집합 (Fundamental set of solutions) 라고 한다.
5) 일반해 (General Solution)
이것은 간단하게 다음과 같이 설명할 수 있다. 우리는 3차원상에 존재하는 한 점에 대한 벡터 를, 세 개의 독립 축, i ,j ,k 의 선형 조합으로 나타내는 것을 배웠으며 다음과 같이 표기할 수 있었다.
제차 선형 미분 방정식의 해도 이와 같다. 우리는 서로 독립 적인 (이 경우 일차독립을 의미하며, 상수배하여 서로의 해가 절대로 되지 않는 경우) 해를 일차결합으로 나타낼 수 있다. 즉, n 개의 일차독립해의 집합은, n 계 제차 선형미방을 구성하는 기본적인 해로써, 그것을 일반해(General Solution) 이라고 부른다.
끝으로 우리는, 위에서 내린 결론들을 종합하며, 제차 2계 상미분 방정식의 해는 다음과 같이 일차독립 해의 선형조합으로 나타낼 수 있다는 결론을 내릴 수 있다.
<2계 제차 선형미방의 일반해>
다음 글에서는 도출된 일반해를 가지고, 기계적으로 2계 제차 상미방을 푸는 법에 대하여 알아보겠습니다.
2계 선형 미분방정식의 해법 (2)
Prerequisites
본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
2계 제차 선형 미분방정식
2계 선형 미분방정식이란 아래와 같이 미분계수의 최고 미분횟수가 2회인 미분방정식을 의미한다.
\[a(t)\frac{d^2x}{dt^2} + b(t)\frac{dx}{dt} + c(t)x(t) = g(t) % 식 (1)\]
이번 시간에는 특별히 $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$가 모두 상수이고 $g(t)=0$인 2계 제차 선형 미분방정식에 대해 다루고자 한다.
다시 말해 우리가 다루고자 하는 미분방정식의 꼴은 아래와 같다.
\[a\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+cx(t) = 0 % 식 (2)\]
여기서 $a$는 0이 아니어야 한다.
대입 방법을 이용한 해법
앞서 2계 선형 미분방정식의 해법 (1) 편에서는 2계 제차 선형 미분방정식의 해를 구할 때 연립방정식의 형태로 방정식을 수정하여 솔루션을 구할 수 있다는 것에 대해 알아보았다.
그 때 핵심적이었던 것은 고윳값과 고유벡터에 관한 것이었다는 것을 기억해보자.
잠깐 복습하면 $y=dx/dt$로 대입하면 식 (2)와 같은 2계 미분방정식을 연립 미분방정식의 꼴로 쓰면 다음과 같았다.
\[\begin{bmatrix}dx/dt \\ dy/dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -c/a & -b/a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} % 식 (3)\]
그리고 위 식에 들어있는 행렬의 특성방정식을 구하면 다음과 같았다.
\[\lambda^2+\frac{b}{a}\lambda + \frac{c}{a}=0 % 식 (4)\]
그리고 이 특성방정식을 통해 고윳값을 구하면,
\[\lambda_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} % 식 (5)\]
였으며, 고유벡터는
\[v_{1,2}=\begin{bmatrix}1\\ \lambda_{1,2}\end{bmatrix} % 식 (6)\]
라는 것을 알 수 있었다.
그리고 위의 연립 미분방정식의 솔루션인,
\[\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}=c_1e^{\lambda_1 t}\begin{bmatrix}1 \\ \lambda_1\end{bmatrix}+c_2e^{\lambda_2 t}\begin{bmatrix}1 \\ \lambda_2\end{bmatrix} % 식 (7)\]
중에서 $x(t)$만 떼서 얻어내면 된다.
따라서,
\[x(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t} % 식 (8)\]
와 같은 솔루션을 얻어낼 수 있음을 알 수 있다. 그러므로, 2계 선형미분방정식의 해를 얻어낼 때 가장 중요한 부분은 고윳값이라는 것을 알 수 있다.
우리는 2계 선형 미분방정식의 해를 구하기 위한 조금 더 쉬운 방법으로 대입 방법을 이용해보자.
대입 방법을 이용한 해법은 일반적으로 교과서에서 많이 소개되고 있는 해법으로 미분방정식의 해를
\[x(t) = e^{\lambda t} % 식 (3+6)\]
와 같이 상정하여 풀이를 진행해 나가는 것이다.
따라서 식 (1)과 같은 선형 제차 2계 미분방정식에 대해 $x(t) = e^{\lambda t}$라고 하면 다음이 성립할 것이다.
\[\Rightarrow a\lambda^2 e^{\lambda t} + b \lambda e^{\lambda t} + c e^{\lambda t} = 0\]
여기서 $e^{\lambda t}$로 식을 묶어내면,
\[\Rightarrow e^{\lambda t}(a\lambda^2+b\lambda + c)=0\]
이 되고, $e^{\lambda t}$는 항상 양수이므로,
\[a\lambda^2+b\lambda + c=0\]
이 되어야 한다. 즉, 대입법을 이용하면 우리가 식 (4)와 동일한 특성방정식을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.
따라서, 이 방정식의 근을 구하면 우리는 고윳값에 해당되던 $\lambda$가 어떤 것인지 알 수 있게 된다.
참고로 식 (12)와 같은 방정식을 우리는 ‘보조 방정식(auxiliary equation)’이라고 부른다.
그리고, 2차 방정식의 근은 두 개이기 때문에 두 개의 고윳값을 알게되면 아래와 같이 두 개의 solution을 얻게 되는 것이다.
중복되지 않는 실수 고윳값을 갖는 경우
\[x_1(t)=e^{\lambda_1 t} % 식 (7+6)\] \[x_2(t)=e^{\lambda_2 t} % 식 (8+6)\]
우리는 식 (9)와 같은 대입법을 이용해 2계 제차 상미분 방정식의 해를 구할 수 있는 방법을 생각해보았다.
이 때, 해는 결론적으로 식 (12)와 같은 2차 방정식으로부터 얻는 고윳값을 통해 결정된다.
그럼 우리는 쉽게 2차 방정식의 해가 실수인 경우와 복소수인 경우로 나눠질 수 있다는 것을 알 수 있다. 근의 공식에 따르면,
\[\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
이며, 다시 말해 식 (2)의 계수 $a$, $b$, $c$ 간의 관계가 $b^2-4ac>0$인 경우 실수 고윳값을 갖는다는 것을 알 수 있다.
예시 문제
다음 초기값 문제를 해결하시오.
\[x”+11x’+24x = 0\quad x(0) = 0\quad x'(0) = -7\]
여기서 $x=e^{\lambda t}$로 가정하고 보조 방정식을 얻으면,
\[\lambda^2+11\lambda+24 = 0\]
이다.
그리고, 이 보조 방정식의 근을 구해보면,
\[(\lambda+8)(\lambda+3) = 0\] \[\therefore \lambda = -8 \quad \text{or}\quad \lambda = -3\]
따라서, 이 초기값 문제의 일반해는
\[x(t) = c_1 e^{-8t}+c_2 e^{-3t}\]
이다.
여기서 초기 조건을 이용하면,
\[x(0) = c_1+c_2 = 0\] \[x'(0) = c_1(-8)+c_2(-3) = -7\] \[\therefore c_1 = 1.4,\quad c_2 = -1.4\]
따라서, 솔루션은
\[x(t) = 1.4e^{-8t}-1.4e^{-3t}\]
이다.
복소수 고윳값을 갖는 경우
식 (2)의 계수 $a$, $b$, $c$ 간의 관계가 $b^2-4ac<0$인 경우 복소수 고윳값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 예시 문제 다음 초기값 문제를 해결하시오. \[x''-4x'+9x = 0,\quad x(0) = 0,\quad x'(0)=-8\] 여기서 $x=e^{\lambda t}$로 가정하고 보조 방정식을 얻으면, \[\lambda^2-4\lambda+9=0\] 이다. 따라서 $\lambda$는 \[\lambda = \frac{4\pm\sqrt{16-4*9}}{2}\] \[=\frac{4\pm\sqrt{-20}}{2}=2\pm i \sqrt 5\] 이다. 따라서, 방정식의 일반해는 \[x(t)=c_1e^{(2+i\sqrt 5)t}+c_2e^{(2-i\sqrt 5)t}\] 여기부터는 $e^t$를 $\exp(t)$와 같이 쓰도록 하자. (지수 승이 잘 안 보임) \[=c_1\exp(2t)\exp(i\sqrt 5 t)+c_2\exp(2t)\exp(-i\sqrt 5t)\] 오일러 공식 \[e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\] 에 의해, \[\Rightarrow c_1\exp(2t)\left(\cos(\sqrt{5}t)+i\sin(\sqrt{5}t)\right) + c_2\exp(2t)\left(\cos(\sqrt{5}t)-i\sin(\sqrt{5}t)\right)\] \[=\exp(2t)\left( c_1\cos(\sqrt{5}t)+c_2\cos(\sqrt{5}t)+ic_1\sin(\sqrt{5t})-ic_2\sin(\sqrt{5}t) \right)\] 여기서 $c_1+c_2$와 $ic_1-ic_2$를 각각 새로운 상수 $c_3$와 $c_4$로 치환하면, \[\Rightarrow \exp(2t)\left( c_3\cos(\sqrt{5}t)+c_4\sin(\sqrt{5}t) \right)\] 가 된다. 여기서 초기 조건을 대입하면, \[x(0) = c_3=0\] \[x'(t)=2\exp(2t)\left(c_3\cos(\sqrt{5}t)+c_4\sin(\sqrt{5}t)\right) +\exp(2t)\left( -\sqrt{5}c_3\sin(\sqrt 5 t) + \sqrt{5}c_4\cos(\sqrt{5}t) \right)\] \[=2\exp(2t)(c_4\sin(\sqrt{5}t))+\exp(2t)(\sqrt{5}c_4\cos(\sqrt{5}t))\] \[x'(0) = \exp(0)(\sqrt{5}c_4)=-8\] \[\therefore c_4 = -\frac{8}{\sqrt{5}}\] 따라서, 이 미분방정식의 해는 \[\therefore x(t) = -\frac{8}{\sqrt{5}}\exp(2t)\sin(\sqrt{5}t)\] 이다. 중근을 갖는 경우 식 (2)의 계수 $a$, $b$, $c$ 간의 관계가 $b^2-4ac=0$인 경우 중근 고윳값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 이 경우는 해법이 조금 독특한데, 보조방정식의 해가 되는 $\lambda$를 이용해 하나의 해를 $e^{\lambda t}$로 설정하고 또 다른 해는 $te^{\lambda t}$라고 설정하여 문제를 푼다. 이렇게 설정할 수 있는 이유에 대해서는 다른 포스팅에서 자세히 소개할 것이다. 관련 내용은 reduction of order라고 부르는 테크닉이다. 예시 문제 아래의 초기값 문제를 해결하시오. \[x''-4x'+4x=0\quad x(0) = 12\quad x'(0) = -3\] 이 미분방정식의 보조 방정식을 구하면 다음과 같다. \[\lambda^2-4\lambda+4 = 0\] 따라서, $\lambda = 2\text{(중근)}$이다. 그러므로 우리는 다음과 같이 일반해를 생각할 수 있게 된다. \[x(t)=c_1e^{2t}+c_2te^{2t}\] 초기값을 이용하면, \[x(0) = c_1 = 12\] \[x'(t) = 2c_1e^{2t}+c_2e^{2t}+2c_2te^{2t}\] \[x'(0) = 2c_1+c_2= -3\] \[c_2 = -3-24 =-27\] \[\therefore x(t) = 12e^{2t}-27te^{2t}\]
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
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먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자.
2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자.
$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$
이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자.
$$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$
이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.
$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$
이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.
정리 특성방정식이 $r_1,r_2$를 근으로 가진다면 일반해는 $y=c_1 e^{r_1x}+c_2 e^{r_2x}$이다.
$$e^{\alpha i}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$
임을 알고 있다면 특성방정식이 허근을 가지는 것을 두려워할 필요가 없다.
여기서 특성방정식이 3차나 4차라면 일반적인 풀이법을 찾을 수 있지만 5차 이상은 매우 어려울 것임을 알 수 있다.
보기 1
미분방정식 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$을 풀어보자.
동차인 2차 선형 미분방정식이다. 계수가 모두 상수이므로 $y=e^{rx}$로 놓자. 특성 방정식을 먼저 풀어서 두 근 $r_1=2,\;\;r_2=-1$을 찾는다. 일반해는 $y=c_1 e^{2x}+c_2e^{-x}$이다.
보기 2
단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 해결해 보자.
주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.
$$F=-kx$$
뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$
$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.
$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$
특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.
$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$
$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin \omega t$$
여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega=A\sin(\omega t +\phi)$$
$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$
알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법
계수가 상수 함수가 아니라면 어떻게 해결할까? 일반적으로 미분방정식의 차수를 낮추는 방법으로 알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법을 정리해 보자.
$$a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0\tag{1}$$
$a_2(x)
ot=0$로 나누어 아래와 같은 꼴로 정리하자.
$$y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\tag{2}$$
이때, $y_1$이 해라고 하고 $y_2=u(x)y_1$가 다른 해라고 가정하자.
$$\begin{split}y_2^{\prime}&=u^{\prime}(x)y_1+u(x)y_1^{\prime} \\y_2^{\prime\prime}&=u^{\prime\prime}(x)y_1+ u^{\prime}(x)y_1^{\prime} + u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \\ &= u^{\prime\prime}(x)y_1 +2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \end{split}$$
(2)에 대입하자.
$$[u^{\prime\prime}(x)y_1+2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime}]+Px)[u^{\prime}(x)y+u(x)y_1^{\prime}]+Q(x)u(x)y_1=0$$
이 식을 정리하면 아래와 같다.
$$y_1u^{\prime\prime}(x)+[2y_1^{\prime}+P(x)y_1]u^{\prime}(x)+u(x)[\underbrace{y_1^{\prime\prime}+P(x)y_1^{\prime}+Q(x)y_1}_{0}]=0$$
여기서 $v(x)=u^{\prime}(x)$로 치환하여 정리하자.
$$y_1 v^{\prime}(x)+[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)=0$$
$$y_1 v^{\prime}(x)=-[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)$$
$$\frac{v^{\prime}(x)}{v(x)}=-\frac{2y_1^{\prime}}{y_1}-{P(x)}$$
이 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 변수가 따로 분리되는 꼴이므로 풀이가 쉽다.
$$\ln |v(x)|=-2\ln |y_1|-\int {P(x)}dx+c$$
$$v(x)=u^{\prime}=\frac{c_1}{y_1^2}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$
$$u(x)=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$
$$y=u(x)y_1(x)=c_1y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}+c_2y_1(x)$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$y_2=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}\tag{3}$$
$$W(y_1(x),y_2(x))= \begin{vmatrix} y_1 & y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \\ y^{\prime}_1 & \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1}+ y^{\prime}_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \end{vmatrix} = e^{-\int P(x)dx}
ot=0$$
두 함수는 서로 독립이다.
$\blacksquare$
보기 3
미분방정식 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0$를 풀어 보자.
특성 방정식은 $2$을 해로 가지므로 $y_1=e^{2x}$는 해가 된다.
이제 $y_2=u(x)e^{2x}$를 또 다른 해라고 하자.
$$\begin{split} y_2^{\prime} &= u^{\prime}(x) e^{2x} + 2u(x) e^{2x} \\ y_2^{\prime\prime}&= u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 2u^{\prime} e^{2x} +2 u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} \end{split}$$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 4u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} – 4 [u^{\prime}(x) e^{2x}+2 u(x) e^{2x} ]+ 4u(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime}(x)= c_1$$
$$u(x)=c_1x+c_2$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$\therefore\quad y_2= x e^{2x}$$
이것을 (3)을 써서 바로 구할 수 있다.
$$W(e^{2x}, x e^{2x})=\begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\ e^{2x} & e^{2x}+ 2x e^{2x} \end{vmatrix}=e^{4x}
ot=0$$
두 함수 $y_1, y_2 $는 서로 독립이다.
일반해를 정리하면 $y=C_1 e^{2x}+C_2 xe^{2x}$이다.
일단 정리하고 가자.
미분방정식 $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+c=0$$ 의 특성 방정식은 $$am^2 +bm+c=0$$ 이다. 다음과 같이 해를 결정한다. i} 서로 다른 두 실근 $m_1,\;\;m_2$를 가질 때 $y_1=e^{m_1 x}$과 $y_2=e^{m_2 x}$이다. 그러므로 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 e^{m_2x}$이다. ii) 두 근이 $m_1=m_2$로 같다면 $y_1=e^{m_1x}$이고 $2m_1=-b/a$이다. 따라서 $$y_2= e^{m_1x} \int \frac {e^{-(b/a)dx} }{e^{2m_1x}}dx=e^{m_1x}\int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}}dx=xe^{m_1x}$$ 이다. 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 x e^{m_1x}$이다. iii) 허근 $m_1=\alpha+i \beta$와 $m_2=\alpha-i \beta$를 가질 때, 일반해는 $y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)} +C_2e^{(\alpha-i \beta )}$이다.
3차 이상인 특성 방정식을 가질 때도 인수분해가 된다면 위에 정리한 바를 써서 쉽게 해를 구할 수 있다.
보기 4
다음 미분방정식을 풀어보자. $$y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0$$
특성 방정식은 아래와 같다.
$$m^3 +3m^2-4=0$$
$$(m-1)(m^2 +4m+4)=(m-1)(m+2)^2=0$$
일반해는 아래와 같다.
$$y=c_1 e^x +c_2 e^{-2x}+c_3 x e^{-2x}$$
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5. 2계 제차,비제차 선형미분방정식(1)
이번시간에는 2계 제차선형미분방정식과 2계비제차선형미분방정식의
여러가지 풀이방법에 대해서 쓰려고 합니다~
1. 2계제차 선형미분방정식
시작하기 앞서 2계제차이 무슨소린지에 대해 단어를 나눠서 보면
2계: y” 즉 2번 미분한것이고
제차는 우변이 0인식. 즉 y”+y=0처럼 우변이 0인 것입니다.
위와 같은 식을 2계제차 선형미분방정식이라 합니다.
2계 제차 선형미분방정식의 일반해를 구하는 방법에는 2가지가 있습니다.
(1) 특성방정식을 이용(y1,y2둘다 모름)
(2) 계수감소법을 이용(y1를 알음)
2. 특성방정식
이 식을 변형해보면
이때 특성방정식에 따라 해를 구하게 되면 이차방정식 형태이므로 3종류로 나뉩니다.
이 공식만알면 2계에서는 문제푸는데 아무런 지장이없습니다.
하지만 3계,4계,이렇게 넘어가면 어떻게 풀어야 할지 감이 안잡히는데
예시 문제를 보겠습니다.
이렇게 선형성과 공식을 이용해 3계,4계,,,에서도 문제를 풀수 있습니다.
3. 계수감소법
이렇게 한해를 알고있을때 다른해를 구할수 있는 방법입니다.
4. 2계비제차 선형미분방정식
2계 비제차 선형미분방정식의 일반해는
꼴로 표현됩니다.
보조해는 선형미분방정식의 해 y이므로 우리는 특수해를 구하는 방법을 알아내면
비제차 선형미분방정식의 일반해를 구할수 있게 됩니다.
이때 특수해를 구할수 있는 방법이 여러가지가 있는데 크게보면
1. 미분연산자
2. 매개변수 변화법(론스키안)
이렇게 2가지가 있습니다.
1. 미분연산자를 이용한 방법
시작하기 앞써 미분연산자에 대해 보면
위와 같은 특성을 가지고 있습니다.
위의 특성을 이용하여 y”, y’를 D에 관한 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
y”, y’를 2계비제차 선형미분방정식에 넣으면
특수해는 이렇게 나옵니다.
미분연산자의 성질 2가지를 이용해 문제를 풀어봅시다!
2. 매개변수 변화법
이때
보조해는 아래와 같이 표현됩니다.
특수해는 아래와 같이 표현됩니다.
매개변수 변화법은 R(x)가 초월함수일때 유용한 방법입니다.
(초월함수 : 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수 등)
론스키안W 를 구할때 u를 미분하게 됩니다.
텍스트 추가
위에서 u는 위와 같이 지수함수와 삼각함수로 나타내지기 때문에
론스키안 또한 지수함수, 삼각함수로 나타나게 되는데
R(x)가 초월함수이면 v1,v2을 구할때 서로 약분되거나 그런 상황이 발생하기 때문에
R(x)가 초월함수일때 매개변수 변화법을 사용하면 유용합니다.
키워드에 대한 정보 2 계 미분 방정식
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