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대학 미적분학 실력 완성 – 11-1강 연쇄법칙
대학 미적분학(미분, 적분)에서 다룰 내용은?
· 함수와 극한, 도함수, 역함수 : 지수.로그.역삼각함수, 미분의 활용, 적분, 적분의 기법, 적분의 활용, 급수, 매개방정식과 극 좌표, 편도함수, 다중 적분, 벡터 해석 등
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8. 연쇄 법칙과 증명 (Chain Rule) – 공데셍
8. 연쇄 법칙과 증명 (Chain Rule). Ball Dessin 2021. 1. 19. 21:30 … 이번 포스팅에서는 합성함수에 대한 미분법칙을 다루려고 한다.
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Date Published: 4/27/2022
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연쇄 법칙 – 나무위키:대문
연쇄 법칙을 반대로 적용한 것이 치환적분법이다. … 흔히 고등학교 과정에서 나와 있는 1변수 연쇄법칙의 증명은 엄밀하지 않은 경우가 대부분이다.
Source: namu.wiki
Date Published: 1/28/2022
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연쇄법칙의 기초적인 증명 – Share Your Math
일변수 실함수의 연쇄법칙을 증명해보자. 보통 고등학교 교과서, 혹은 기초미적분학 교재에는 다음과 같은 (가짜) 증명을 슬쩍 소개하고 있다.
Source: shareyourmath.com
Date Published: 9/26/2022
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[FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙 – Aerospace Kim
연쇄법칙. 다음의 정리를 이해하면 미분의 다양한 성질을 매우 빠르게 증명할 수 있다. 정리 20-1) 함수 …
Source: aerospacekim.tistory.com
Date Published: 8/22/2021
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연쇄 법칙 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다. … 카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 3/23/2022
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다변수함수의 연쇄법칙(Chain Rule) – 네이버 블로그
이것을 흔히 합성함수의 미분법, 혹은 연쇄법칙(Chain Rule) 이라고 하는데 … (증명). f(x,y)가 미분 가능한 함수이므로. 이렇게 표현 가능하다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 2/19/2021
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연쇄 법칙 증명 | 대학 미적분학 실력 완성
미분공식과 증명(함성함수 미분법, 연쇄법칙). DREAMOON 2017. 1. 22. 21:02. 연쇄법칙(Chain Rule)은 우리가 흔히 알고 있는 합성함수 미분과 같다.
Source: you.baannapleangthai.com
Date Published: 1/26/2021
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- Author: 탑그레이드
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- Date Published: 2017. 7. 31.
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8. 연쇄 법칙과 증명 (Chain Rule)
7. 미분 공식 (Differentiation Formulas)
에서 함수의 합에 대한 미분법칙, 곱에 대한 미분법칙, 차에 대한 미분법칙 등등
함수들의 대수적인 연산에 대한 미분법칙에 대해 알아보았었다.
이번 포스팅에서는 합성함수에 대한 미분법칙을 다루려고 한다.
참고로 이번 글은 평소보다 부연설명을 더욱 자세히 적어서
초보자들이 잘 이해 못하는 점들을 모두 해결해주는데 집중하였다.
핵심만 찾고자 한다면 전공책을 보는것이 나을 수도 있다.
미분계수는 그 점에서의 $\dfrac{y 순간 증가율}{x 순간 증가율}$ 로 정의되었었고 라이프니츠식 표기법으로 $\dfrac{dy}{dx}$ 로 표현된다는 것을
5. 함수의 기울기와 미분계수, 6. 도함수와 미분가능성 에서 알아보았었다.
이제 합성함수 $F(x) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$ 를 살펴보자. $f, g$는 모두 미분 가능하다고 가정한다.
$f$ 의 내부 변수인 $g$ 가 변할 때 $f$ 의 변화율을 보고자 한다면 $\dfrac{df}{dg}$ 를 생각해볼 수 있을것이다.
$g$ 의 내부 변수인 $x$ 가 변할 때 $g$ 의 변화율을 보고자 한다면 $\dfrac{dg}{dx}$ 를 생각해볼 수 있을것이다.
한편 $F$의 입장에서 $x$가 변할 때의 변화율을 보고자 한다면 $\dfrac{dF}{dx}$ 을 생각해볼 수 있는데,
이 미분계수를 분수처럼 본다면 다음과 같이 두 미분계수의 곱으로 적을 수 있을것처럼 보인다.
$$ \begin{align} \dfrac{dF}{dx} = &\dfrac{df}{dx} \\ = &\dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dx} \end{align}$$
사실 여부를 확인하기 위해 다음과 같은 예를 들어보자.
$ F(x) = (3x+1)^{2} $ 의 $x = 2$ 에서의 미분계수는 무엇일까?
합성함수의 미분법을 제쳐두고 원래 방법대로 먼저 계산해보자.
$ F(x) = (3x+1)\cdot(3x+1) $ 이므로 곱의 미분을 이용하면
$ F'(x) = (3)\cdot(3x+1) + (3x+1)\cdot(3) = 6(3x+1)$ 이므로
$ F'(2) = 6 \cdot 7 = 42 $
한편 $f(x) = x^{2}, g(x) = 3x+1$ 이라 하면
$F(x)$ 는 $F(x) = f(g(x))$ 인 합성함수로 볼 수 있다.
위에서 추측한대로라면
$x = 2$ 일 때의 $g(x)$ 의 미분계수인 $g'(2)$ 와
$x = 2$ 일 때의 $f(\textcolor{red}{g})$ 의 미분계수 ($f(\textcolor{red}{x})$ 가 아니다!)
즉 $ g = g(2) = 7 $ 일 때의 $f'(g) = $ $f'(7)$ 의 곱인 $[f'(7) \cdot g(2)]$ 가 $F'(2)$ 랑 같은 값이 나와야 한다.
그리고 $f'(7) = 14, g'(2) = 3$ 이고 이들의 곱은 $42$ 이므로 위에서 구한 $F'(2)$와 같음이 확인된다.
따라서 위의 추측은 타당해보이고 실제로도 타당하며 아래에서 증명할 것이다.
이처럼 합성함수의 미분을 두 함수의 증가율의 곱으로 표현하는 법칙을 연쇄법칙이라 부른다.
연쇄법칙
$f$ 와 $g$ 가 모두 미분가능 하고 $F = f \circ g$ 가 $F(x) = f(g(x)) $ 로 정의된 합성함수 라면,
$F$ 는 $x$ 에서 미분 가능 하고, $F’$ 는 다음과 같은 곱으로 주어진다. $$ F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
라이프니츠 기호로 나타내면, $y = f(u)$ 와 $u = g(x)$ 가 모두 미분가능한 함수일 때 다음이 성립한다.
$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} $$
이 법칙의 완벽한 증명을 적기 전에 다음과 같이 생각하여보자.
완벽한 증명만 바로 보고 싶다면 넘어가도 되지만, 한 번 쯤은 보고 넘어가자.
불완전한 증명
더보기 사전 작업 일반적으로 $y = f(x)$인 함수에서 $x$ 의 변화량 $\Delta x$ 에 대해 $x$ 가 $\Delta x$ 변할 때 $y$ 의 변화량을 $\Delta y$ 라고 하면
$\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)$ 라고 할 수 있다. (미분계수의 정의 설명하는 과정에서 $y 변화량 = f(x+h) – f(x)$ 였음을 떠올려보라)
마찬가지로 $u = g(x)$ 로 표현되는 함수에서는 $$\Delta u = g(x + \Delta x) – g(x)$$ 또 $y = f(u)$ 에서는 다음이 성립한다.
$$\Delta y = f(u + \Delta u) – f(u)$$ 본론 이것을 이용해 원하는 연쇄법칙을 유도해보자. $\Delta u
eq 0$ 이라면 다음이 성립할것이다. $$ \begin{align} \dfrac{dy}{dx} = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \end{align}$$ 여기서 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ 가 수렴하고 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ 도 수렴한다면 극한법칙에 의해 다음과 같이 분리될 것이다. $$ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x} = \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] \cdot \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] $$ $ u = g(x) $가 미분가능하므로 오른쪽 부분인 다음이 수렴하는것은 당연하다. $$ \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] $$ 이제 왼쪽 부분인 다음의 식도 수렴하는지 살펴보자. $$ \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] $$ 우선 $ y = f(u) $가 미분가능하므로 다음이 수렴한다. $$ \lim_{\textcolor{blue}{\Delta u \to 0}} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} $$ 그리고 $u = g(x)$ 가 미분가능하므로 $g(x)$ 는 연속이다. (미분가능하면 연속이라는 정리에 의해) 따라서 연속의 정의에 의해 $\Delta x \to 0$ 이면 $\Delta u = g(x + \Delta x) – g(x)$ 는 $0$으로 수렴해야한다. 즉, $\Delta x \to 0$ 이면 $\Delta u \to 0$ 라는 말이고 이는 다음 식처럼 $\Delta x \to 0$ 일 때도 수렴함을 보여준다.
$$ \lim_{\textcolor{red}{\Delta x \to 0}} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} $$
극한법칙이 적용될 수 있다는것을 알았으니 원래 하던 계산으로 돌아오면
$$ \begin{align} \dfrac{dy}{dx} = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \\ = &\left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] \cdot \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] \\ = &\left[ \lim_{\textcolor{blue}{\Delta u \to 0}} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] \cdot \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] \\ = &\dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \end{align}$$
이로써 연쇄법칙이 $\Delta u
eq 0$ 인 경우에 한정해서 증명되었다.
이는 고등학교 교과서에 나와있는 증명법(에다가 부연설명을 잔뜩 넣었지만)인데, 완벽한 증명이라고 할 수는 없지만 대충 옳은 법칙임을 암시해주는 역할은 한다.
$\Delta u
eq 0$ 조건을 뺀 증명이 완벽하지 않은 이유는 다음과 같다.
더보기 $y = f(u) $ 가 어떤 식으로 주어져있다고 가정하고
$u = g(x)$ 가 다음과 같이 정의되었다고 해보자
$$ u = g(x) = \begin{cases} x^{2}\sin{\left( \dfrac{1}{x} \right)} &(x
eq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} $$ 참고로 미분계수의 정의로 직접 계산을 해보면 알겠지만 이 함수는 $0$ 에서도 미분 가능하다. 이 함수는 그림과 같이 $x=0$ 근처에서 무한히 진동하며 $u = 0$ 을 무한히 많이 지난다.
합성함수 $y = f \circ g$ 의 $x = 0$ 에서의 미분계수를 구하고자 하여 $\Delta u = g(0 + \Delta x) – g(0)$ 으로 정의한 후 위에서 언급한 증명법을 따라가는 도중 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ 를 구하려고 할 때 문제가 생긴다.
왜냐하면 $\Delta x$ 를 아무리 작게 설정해도 $0$ 에 더욱 접근시키면서
$g(0 + \Delta x) = 0 = g(0)$ 가 되게 하는 $\Delta x$ 값이 생기기 때문에 $\Delta u = 0 – 0 = 0$ 이 되는 경우가 항상 존재하고 따라서 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ 가 정의가 되지 않는다.
고교과정에서 나오는 단순한 함수들에 대해서는 별 문제가 되지 않지만 이런 함수들이 존재하기 때문에 위의 증명법은 완벽하다고 할 수 없다.
연쇄법칙은 $\Delta u = 0$ 가 되는 경우에도 상관없이 성립하는 법칙이다.
이를 위해서는 위의 증명 방식처럼 $\Delta u$ 가 분모에 들어가서 $0$으로 나누게 되는 경우를 만들면 안된다.
본격적으로 증명으로 들어가기 이전에 그런 상황을 방지하기 위한 유용한 표현법을 하나 알아보고 가자.
$y = f(x)$ 꼴로 표현되는 함수가 $x = a$ 에서 미분 가능하다면
$y$ 의 증분이 $ \Delta y = f(a+\Delta x) – f(a) $ 로 정의될 때, 도함수의 정의에 의해 다음의 극한이 존재해야 한다.
$$ f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} $$
그리고 $\epsilon$ 이 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 와 $\dfrac{dy}{dx} = f'(a)$ 의 차로 정의된다면 다음이 성립한다.
$$ \textcolor{green}{\lim_{\Delta x \to 0} \epsilon} = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} – f'(a) \right] = f'(a) – f'(a) = \textcolor{green}{0} $$ 따라서 $\Delta x \to 0$ 이면 $\epsilon \to 0$ 이 성립하게 된다.
한편 $\epsilon = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} – f'(a)$ 였으므로 이 식을 변형하면 다음을 얻는다.
$$ \Delta y = f'(a)\Delta x + \epsilon \Delta x \tag{식 1}$$
정리하면, $y = f(x)$ 꼴로 표현되는 함수가 $x = a$ 에서 미분가능하다면 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다.
$$ \begin{align} \Delta y = f'(a)\Delta x + \epsilon \Delta x && (\Delta x \to 0 일 때 \epsilon \to 0) \end{align} $$
그리고 이렇게 표현함으로써 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 처럼 $\Delta x$ 가 분모에 들어가는 일을 방지할 수 있다.
참고로 이 표현법이 나중에 다변수함수의 미분가능성, 연쇄법칙 얘기할 때 또 나오므로 잘 기억해두자.
$\dfrac{dy}{dx}$ 가 미분계수라면 $\epsilon$ 은 선형근사와 실제 값 사이의 오차계수(?) 쯤으로 생각할 수 있다. 그림에서 $\Delta x \to 0$ 일 때 $\epsilon$ (실제와 선형근사의 차이나는 정도의 비율) 이 어떤 값으로 수렴할지 생각해보자
연쇄 법칙의 증명
$ u = g(x) $ 가 $ x = a $ 에서 미분 가능하고 $ g(a) = b$ 이며
$ y = f(u) $ 가 $ u = b $ 에서 미분 가능하다고 하자.
그러면 바로 위에서 언급한 $(식 1)$ 에 의해 $\Delta u$ 는 다음과 같이 표현된다
$$ \textcolor{orange}{\Delta u} = g'(a)\Delta x + \epsilon_{1}\Delta x = \textcolor{orange}{[g'(a) + \epsilon_{1}]\Delta x} \tag{식 2} $$
여기서 $\Delta x \to 0$ 일 때 $\epsilon_{1} \to 0$ 이다.
같은 방법으로 $\Delta y$ 는 다음과 같이 표현된다.
$$ \textcolor{skyblue}{\Delta y} = f'(b)\Delta u + \epsilon_{2}\Delta u = \textcolor{skyblue}{[f'(b) + \epsilon_{2}]\Delta u} \tag{식 3}$$
여기서 $\Delta u \to 0$ 일 때 $\epsilon_{2} \to 0$ 이다.
$(식 3)$ 의 $\Delta u$ 자리에 $(식 2)$ 를 대입하면 다음을 얻는다.
$$ \Delta y = [f'(b) + \epsilon_{2}][g'(a) + \epsilon_{1}]\Delta x $$
양변을 $\Delta x$로 나누면 ($\Delta x
eq 0$ 이므로 가능하다.)
$$ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = [f'(b) + \epsilon_{2}][g'(a) + \epsilon_{1}] $$
여기서 $\Delta x \to 0$ 이면 $(식 2)$ 에 의해 $\Delta u \to 0$ 이다.
따라서 $\Delta x \to 0$ 이면 $\epsilon_{1} \to 0$ 이고 $\epsilon_{2} \to 0$ 이게 되며 다음이 성립하게 된다.
$$ \begin{align} \dfrac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} = &\lim_{\Delta x \to 0} [f'(b) + \epsilon_{2}][g'(a) + \epsilon_{1}] \\ = &f'(\textcolor{green}{b})g'(a) \\ = &f'(\textcolor{green}{g(a)})g'(a) \end{align} $$
이것으로 연쇄법칙이 증명되었다.
예제
$(Q1)$ $f(x) = x\sqrt{2-x^{2}}$ 일 때 $f'(x)$ 를 구하라.
풀이
더보기 $g(x) = \sqrt{2-x^{2}}$ 라 하면 $f(x) = xg(x)$ 이다. 곱의 미분을 적용하면
$$ f'(x) = g(x) + xg'(x) \tag{1}$$
한편 $g(x)$는
$ h(u) = \sqrt{u} $, $ u(x) = 2-x^{2} $ 의 합성함수인 $(h \circ u) (x)$ 라고 볼 수 있다. 따라서 연쇄법칙을 적용하면 $$ \begin{align} g'(x) = &\dfrac{dh}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ = &\dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2x) \\ = &\dfrac{1}{ 2\sqrt{2-x^{2}} } \cdot (-2x) \\ = &\dfrac{-x}{\sqrt{2-x^{2}}} \end{align} $$
이것을 $(1)$ 에 대입하면 최종적으로 다음을 얻는다.
$$ f'(x) = \sqrt{2-x^{2}} – \dfrac{x}{\sqrt{2-x^{2}}} $$
$(Q2)$ $f(x) = 3x^{2} + 2$ 에 대하여 본문에서 언급한
$\Delta y = f'(x)\Delta x + \epsilon \Delta x$ 꼴을 만들었을 때
$\Delta x$ 에 대한 함수 $\epsilon$ 를 구하라
풀이
더보기 $\Delta y$ 의 정의에 따라 다음이 성립한다. $$ \begin{align} \Delta y = &f(x + \Delta x) – f(x) \\ = &\left[ 3(x + \Delta x)^{2} + 2 \right] – \left[ 3x^{2} – 2 \right] \\ = &\left[ 3x^{2} + 6x(\Delta x) + 3(\Delta x)^{2} + 2 \right] – \left[ 3x^{2} + 2 \right] \\ = &6x(\Delta x) + 3(\Delta x)^{2} \end{align} $$ 한편 $f'(x) = 6x$ 이므로
위에서 구한 $\Delta y = 6x(\Delta x) + 3(\Delta x)^{2}$ 와
$\Delta y = f'(x)\Delta x + \epsilon \Delta x$ 를 비교하면 $\epsilon = 3\Delta x$ 임을 알 수 있다.
+ ($\epsilon$ 이 $\Delta x$ 에 대한 함수라고 한 점에 대해 생각해보자.)
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[FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙
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본 포스팅은 ‘Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)’을 공부하며 작성하였습니다.
20. 연쇄법칙
다음의 정리를 이해하면 미분의 다양한 성질을 매우 빠르게 증명할 수 있다.
정리 20-1) 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 미분가능한 필요충분조건은 $c$ 에서 연속인 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립하는 것이다.$$(\forall x\in A)\quad f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$ 여기서 $d_f(c)=Df(c)$ 이다.
proof)
($\Rightarrow$) : $f$ 가 $c\in A$ 에서 미분가능하면 정리 19-1에 따라 다음이 성립한다.
$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=Df(c)$$
다음의 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ 을 정의하자.
$$d_f(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&(x
eq c)\\\\Df(c)&(x=c)\end{cases}$$
$$\implies f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$
이때 다음이 성립한다.
$$\lim_{x\to c}d_f(x)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=Df(c)=d_f(c)$$
$c$ 는 $A$ 의 극한점이므로 정리 14-2(ⅰ)에 따라 $d_f$ 는 $c$ 에서 연속이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.
($\Leftarrow$) : $c\in A$ 에서 연속인 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립한다고 가정하자.
$$f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$
$d_f$ 는 $c$ 에서 연속이며, $c\in A$ 는 $A$ 의 극한점이므로 정리 14-2(ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.
$$\lim_{x\to c}d_f(x)=d_f(c)$$
이는 다음을 의미한다.
$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$
$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow|d_f(x)-d_f(c)|<\epsilon$$ 위 식에서 $x eq c$ 이므로 다음이 성립한다. $$|d_f(x)-d_f(c)|=\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-d_f(c)\right|$$ 따라서 다음을 얻는다. $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=d_f(c)$$ 정리 19-1에 따라 $f$ 는 $c$ 에서 미분가능하며 $d_f(c)=Df(c)$ 이다. $\square$ 다음의 정리에서는 매우 잘 알려져있는 결과를 엄밀하게 증명한다. 연쇄법칙 (chain rule) 두 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ , $g:B\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 어떤 $c\in f^{-1}(B)$ 에 대해 $f$ 가 $c$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $f(c)$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $c$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(c)=Dg\big(f(c)\big)Df(c)$$ ※ 합성함수의 정의는 15.1. 합성함수의 연속 참고 proof) $f$ 가 $c$ 에서, $g$ 가 $f(c)$ 에서 미분가능하면 정리 20-1에 따라 각각 $c$ , $f(c)$ 에서 연속인 두 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ , $d_g:B\to\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립한다. $$(\forall x\in A)\quad f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$ $$(\forall y\in B)\quad g(y)=g\big(f(c)\big)+d_g(y)\big(y-f(c)\big)$$ 임의의 $x\in f^{-1}(B)$ 에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align}&\;g\big(f(x)\big)\\=&\;g\big(f(c)\big)+\textcolor{red}{d_g\big(f(c)+d_f(x)(x-c)\big)d_f(x)}(x-c)\end{align}$$ $$\Leftrightarrow(g\circ f)(x)=(g\circ f)(c)+\textcolor{red}{d_{g\circ f}(x)}(x-c)$$ $$\text{where}\quad d_{g\circ f}(x)=(d_g\circ h)(x)d_f(x)$$ $$\text{where}\quad h(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$ $d_f$ 는 $c$ 에서 연속이므로 대수연속정리에 따라 $h$ 도 $c$ 에서 연속이다. $d_g$ 는 $h(c)=f(c)$ 에서 연속이므로 연속함수의 합성에 따라 $d_g\circ h$ 는 $c$ 에서 연속이다. $d_f$ 도 $c$ 에서 연속이므로 대수연속정리에 따라 $d_{g\circ f}$ 도 $c$ 에서 연속이다. 정리 20-1에 따라 $g\circ f$ 는 $c$ 에서 연속이며 다음이 성립한다. $$\begin{align}D(g\circ f)(c)&=d_{g\circ f}(c)\\&=(d_g\circ h)(c)d_f(c)\\&=d_g\big(h(c)\big)d_f(c)\\&=Dg\big(f(c)\big)Df(c)\tag*{$\square$}\end{align}$$ 읽어주셔서 감사합니다. 이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질
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미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다.
정의 [ 편집 ]
실변수 실숫값 함수 [ 편집 ]
함수 g {\displaystyle g} 가 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 미분 가능하며, 함수 f {\displaystyle f} 가 g ( x 0 ) {\displaystyle g(x_{0})} 에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 는 x 0 {\displaystyle x_{0}} 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
( f ∘ g ) ′ ( x 0 ) = f ′ ( g ( x 0 ) ) g ′ ( x 0 ) {\displaystyle (f\circ g)'(x_{0})=f'(g(x_{0}))g'(x_{0})}
특히, 만약 g {\displaystyle g} 가 구간 I {\displaystyle I} 에서, f {\displaystyle f} 가 g ( I ) {\displaystyle g(I)} 에서 미분 가능하다면, f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 는 I {\displaystyle I} 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
( f ∘ g ) ′ = ( f ′ ∘ g ) ⋅ g ′ {\displaystyle (f\circ g)’=(f’\circ g)\cdot g’}
이를 라이프니츠 표기법 및 표기 y = f ( u ) {\displaystyle y=f(u)} , u = g ( x ) {\displaystyle u=g(x)} 를 사용하여 다시 쓰면 다음과 같다.
d y d x = d y d u ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}
카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환 적분이라고 한다.
보다 일반적으로, 함수의 합성의 고계 도함수에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 파 디 브루노 공식(영어: Faà di Bruno’s formula)이라고 한다.
( f ∘ g ) ( n ) ( x ) = ∑ k 1 , … , k n ≥ 0 k 1 + 2 k 2 + ⋯ n k n = n n ! k 1 ! ⋯ k n ! f ( k 1 + ⋯ + k n ) ( g ( x ) ) ∏ m = 1 n ( g ( m ) ( x ) m ! ) k m {\displaystyle (f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+2k_{2}+\cdots nk_{n}=n}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}f^{(k_{1}+\cdots +k_{n})}(g(x))\prod _{m=1}^{n}\left({\frac {g^{(m)}(x)}{m!}}\right)^{k_{m}}}
다변수 벡터값 함수 [ 편집 ]
a ∈ Rn, g : Rn → Rm, f : Rm → Rp라 하자. 만약 g가 a에서 미분가능하고, f가 g(a)에서 미분가능하다면 f∘g는 a에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.
D ( f ∘ g ) ( a ) = D f ( g ( a ) ) D g ( a ) {\displaystyle D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}
합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x 1 , x 2 , …, x n ) : Rn → Rm , f(u 1 , u 2 ,…, u m ) : Rm → R 가 a에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = f∘g= f(g(x 1 , x 2 , …, x n ))는 미분가능하고 미분은
D z ( a ) = D ( f ∘ g ) ( a ) = D f ( g ( a ) ) D g ( a ) = ∇ f ( g ( a ) ) D g ( a ) {\displaystyle Dz(a)=D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )=
abla f(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}
편미분은
∂ f ∂ x j = ∑ i = 1 m ∂ f ∂ u i ∂ u i ∂ x j = ∂ f ∂ u 1 ∂ u 1 ∂ x j + ∂ f ∂ u 2 ∂ u 2 ∂ x j + ⋯ + ∂ f ∂ u m ∂ u m ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}{\partial f \over \partial u_{i}}{\partial u_{i} \over \partial x_{j}}={\partial f \over \partial u_{1}}{\partial u_{1} \over \partial x_{j}}+{\partial f \over \partial u_{2}}{\partial u_{2} \over \partial x_{j}}+\cdots +{\partial f \over \partial u_{m}}{\partial u_{m} \over \partial x_{j}}}
이다..
다변수함수의 연쇄법칙(Chain Rule)
일변수 합성함수 y＝f(g(x))가
t＝g(x) , y＝f(t) 로 분해되어 있다면
다음이 성립합니다.
이것을 흔히 합성함수의 미분법, 혹은 연쇄법칙(Chain Rule) 이라고 하는데
이 연쇄법칙은 이변수 함수에서도 만들수 있습니다.
－연쇄법칙(Chain Rule) (Case 1)－
이변수 함수 z＝f(x,y)에 대해 x＝g(t) , y＝h(t) 이고
f(x,y) , g(t) , h(t)가 미분 가능한 함수이면
이다.
(증명)
f(x,y)가 미분 가능한 함수이므로
이렇게 표현 가능하다.
식의 양변을 △t로 나누면
한편, t의 변화량 △t에 대해
이고 g(t)와 h(t)는 미분 가능한 함수이므로
이면 이다.
따라서 이다.
그러므로
위 연쇄법칙을 쉽게 받아들이시려면
아래 그림을 보고 생각하시면 됩니다.
위 그림을 보면서
1. z를 x에 대해 편미분한 뒤에 x를 t에 대해 미분
2. z를 y에 대해 편미분한 뒤에 y를 t에 대해 미분
3. 1과 2를 모두 더한게 z를 t에 대해 미분한 것이 된다.
이 순서대로 생각하시면 이해가 되실겁니다.
말로 설명하는 방법은 잘 모르겠네요….;;;
ex1) 일때
t＝0 에서의 의 값을 구하시오.
(풀이)
연쇄법칙에 의해
t＝0 이면 x＝0 , y＝1 이므로
이다.
이변수 함수 z＝f(x,y)에서 x＝g(t) , y＝h(t) 인 경우 말고
x＝g(s,t) , y＝h(s,t) 인 경우에도 연쇄법칙을 사용할수 있습니다.
－연쇄법칙(Chain Rule) (Case 2)－
이변수 함수 z＝f(x,y)에 대해 x＝g(s,t) , y＝h(s,t) 이고
f(x,y) , g(s,t) , h(s,t)가 미분 가능한 함수라면
이다.
Case 1 에서 문자가 s,t로 1개가 더 늘어났기 때문에
편미분 기호 ∂ 를 쓰는걸로 이해하시면 됩니다.
이것도 그림으로 보면
s에 대해 편미분할 경우
1. z를 x에 대해 편미분한 뒤에 x를 s에 대해 미분
2. z를 y에 대해 편미분한 뒤에 y를 s에 대해 미분
3. 1과 2를 모두 더한게 z를 s에 대해 편미분한 것이 된다.
t에 대해 편미분할 경우
1. z를 x에 대해 편미분한 뒤에 x를 t에 대해 미분
2. z를 y에 대해 편미분한 뒤에 y를 t에 대해 미분
3. 1과 2를 모두 더한게 z를 t에 대해 편미분한 것이 된다.
이 순서대로 생각하시면 됩니다.
ex2) 일때 를 구하시오.
(풀이)
마지막에 미분한 식에다 x＝st² , y＝s²t 를 대입하는 과정은
꼭 할 필요는 없습니다.
연쇄법칙을 일반화시키면 다음과 같습니다.
－연쇄법칙(Chain Rule) (일반화)－
n변수 함수 에 대해
이면
이다.
ex3)
이고 문제에 제시된 함수는 모두 미분 가능할 때
를 구하시오.
(풀이)
ex4)
일때 r＝2 , s＝1 , t＝0 에서의 의 값을 구하시오.
(풀이)
r＝2 , s＝1 , t＝0 이면 x＝2 , y＝2 , z＝0 이다.
따라서 대입하면 이다.
ex5) 이고 가 미분 가능한 함수이면
임을 보여라.
(풀이)
라 하면
연쇄법칙을 이용하면
ex6) 는 연속인 2계 편도함수를 갖고
일때 를 구하시오.
(풀이)
연쇄법칙에 의해
위 식을 r에 대해 한번 더 미분하면 된다.
즉, 아래의 식을 간단히 하면 된다.
합,차의 미분법 공식에 의해
여기서 는 변수 r,s에 의해 이루어진 이변수 함수이므로
곱의 미분법과 연쇄법칙에 의해
마찬가지로 도 변수 r,s에 의해 이루어진 이변수 함수이고
r에 대해 편미분할 때는 s는 상수이다.
따라서 연새법칙에 의해
정리하면
이고 f(x,y)의 2계 편도함수가 연속이므로 클레로의 정리에 의해
이다.
따라서
이다.
다변수함수의 연쇄법칙은 기호가 너무 많이 나와서 어려워 보일수 있지만
익숙해지면 생각만큼 어려운건 아니라는걸 알게 됩니다.
다변수함수의 연쇄법칙을 이용하면
음함수의 미분법을 쉽게 할수 있습니다.
F(x,y)＝0 이 식을 음함수라고 하는데
이것은 y＝f(x) 의 식을 적당히 변형한 겁니다.
예를 들자면 y＝x－1 은 f(x)＝x－1 이지만
y＝x－1 에서 x－y－1＝0 이므로 F(x,y)＝x－y－1 이 됩니다.
따라서 F(x,y)＝0 은 임을 이용해서
연쇄법칙을 사용할수 있습니다.
연쇄법칙을 사용하면 0은 상수이므로 미분하면 0입니다.
즉, 다음과 같이 나옵니다.
그런데 이므로 입니다.
그리고 이것은 z＝F(x,y) 라고 하면 라고 표현 가능합니다.
따라서 다음을 얻습니다.
－음함수의 미분법 (1)－
이변수 함수를 z＝F(x,y) 라고 할 때
음함수 F(x,y)＝0 를 x에 대해 미분하면
이다.
ex7) 일때 를 구하시오.
(풀이)
이라고 하면
이다.
위 정리는 변수가 3개인 식에 대해서도 사용할수 있습니다.
음함수 F(x,y,z)＝0 는 임을 이용해서
연쇄법칙을 사용하면 0은 상수이므로 미분하면 0이 된다.
따라서
입니다.
여기서 x는 편미분하면 1이 되고
y는 x와 관계없는 변수이므로
입니다.
따라서 w＝F(x,y,z) 라고 두면
입니다.
같은 방법으로 도 얻을수 있습니다.
－음함수의 미분법 (2)－
삼변수 함수를 w＝F(x,y,z) 라고 할 때
음함수 F(x,y,z)＝0 를 x,y에 대해 각각 편미분하면
이다.
ex8) 일때 를 구하시오.
(풀이)
이라고 하면
이다.
내용출처 : Calculus 6E－James Stewart
연쇄 법칙 증명 | 대학 미적분학 실력 완성 – 11-1강 연쇄법칙 5 개의 자세한 답변
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8. 연쇄 법칙과 증명 (Chain Rule). Ball Dessin 2021. 1. 19. 21:30 … 이번 포스팅에서는 합성함수에 대한 미분법칙을 다루려고 한다.
+ 여기에 더 보기
Source: vegatrash.tistory.com
Date Published: 12/20/2021
View: 3967
연쇄 법칙을 반대로 적용한 것이 치환적분법이다. … 흔히 고등학교 과정에서 나와 있는 1변수 연쇄법칙의 증명은 엄밀하지 않은 경우가 대부분이다.
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Source: namu.wiki
Date Published: 5/12/2022
View: 2616
연쇄법칙. 다음의 정리를 이해하면 미분의 다양한 성질을 매우 빠르게 증명할 수 있다. 정리 20-1) 함수 …
+ 여기에 더 보기
Source: aerospacekim.tistory.com
Date Published: 1/12/2022
View: 8478
일변수 실함수의 연쇄법칙을 증명해보자. 보통 고등학교 교과서, 혹은 기초미적분학 교재에는 다음과 같은 (가짜) 증명을 슬쩍 소개하고 있다.
+ 여기에 보기
Source: shareyourmath.com
Date Published: 10/26/2022
View: 9293
미분공식과 증명(함성함수 미분법, 연쇄법칙). DREAMOON 2017. 1. 22. 21:02. 연쇄법칙(Chain Rule)은 우리가 흔히 알고 있는 합성함수 미분과 같다.
+ 여기에 표시
Source: dreamoon.tistory.com
Date Published: 8/28/2022
View: 4091
미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다. … 카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 …
+ 자세한 내용은 여기를 클릭하십시오
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 5/15/2021
View: 256
14 연쇄법칙을 이용하여 다음을 증명하여라. (1) 우함수의 도함수는 기함수이다. (2) 기함수의 도함수는 우함수이다.
+ 여기에 보기
Source: qanda.ai
Date Published: 12/21/2022
View: 5730
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7. 미분 공식 (Differentiation Formulas)
에서 함수의 합에 대한 미분법칙, 곱에 대한 미분법칙, 차에 대한 미분법칙 등등
함수들의 대수적인 연산에 대한 미분법칙에 대해 알아보았었다.
이번 포스팅에서는 합성함수에 대한 미분법칙을 다루려고 한다.
참고로 이번 글은 평소보다 부연설명을 더욱 자세히 적어서
초보자들이 잘 이해 못하는 점들을 모두 해결해주는데 집중하였다.
핵심만 찾고자 한다면 전공책을 보는것이 나을 수도 있다.
미분계수는 그 점에서의 $\dfrac{y 순간 증가율}{x 순간 증가율}$ 로 정의되었었고 라이프니츠식 표기법으로 $\dfrac{dy}{dx}$ 로 표현된다는 것을
5. 함수의 기울기와 미분계수, 6. 도함수와 미분가능성 에서 알아보았었다.
이제 합성함수 $F(x) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$ 를 살펴보자. $f, g$는 모두 미분 가능하다고 가정한다.
$f$ 의 내부 변수인 $g$ 가 변할 때 $f$ 의 변화율을 보고자 한다면 $\dfrac{df}{dg}$ 를 생각해볼 수 있을것이다.
$g$ 의 내부 변수인 $x$ 가 변할 때 $g$ 의 변화율을 보고자 한다면 $\dfrac{dg}{dx}$ 를 생각해볼 수 있을것이다.
한편 $F$의 입장에서 $x$가 변할 때의 변화율을 보고자 한다면 $\dfrac{dF}{dx}$ 을 생각해볼 수 있는데,
이 미분계수를 분수처럼 본다면 다음과 같이 두 미분계수의 곱으로 적을 수 있을것처럼 보인다.
$$ \begin{align} \dfrac{dF}{dx} = &\dfrac{df}{dx} \\ = &\dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dx} \end{align}$$
사실 여부를 확인하기 위해 다음과 같은 예를 들어보자.
$ F(x) = (3x+1)^{2} $ 의 $x = 2$ 에서의 미분계수는 무엇일까?
합성함수의 미분법을 제쳐두고 원래 방법대로 먼저 계산해보자.
$ F(x) = (3x+1)\cdot(3x+1) $ 이므로 곱의 미분을 이용하면
$ F'(x) = (3)\cdot(3x+1) + (3x+1)\cdot(3) = 6(3x+1)$ 이므로
$ F'(2) = 6 \cdot 7 = 42 $
한편 $f(x) = x^{2}, g(x) = 3x+1$ 이라 하면
$F(x)$ 는 $F(x) = f(g(x))$ 인 합성함수로 볼 수 있다.
위에서 추측한대로라면
$x = 2$ 일 때의 $g(x)$ 의 미분계수인 $g'(2)$ 와
$x = 2$ 일 때의 $f(\textcolor{red}{g})$ 의 미분계수 ($f(\textcolor{red}{x})$ 가 아니다!)
즉 $ g = g(2) = 7 $ 일 때의 $f'(g) = $ $f'(7)$ 의 곱인 $[f'(7) \cdot g(2)]$ 가 $F'(2)$ 랑 같은 값이 나와야 한다.
그리고 $f'(7) = 14, g'(2) = 3$ 이고 이들의 곱은 $42$ 이므로 위에서 구한 $F'(2)$와 같음이 확인된다.
따라서 위의 추측은 타당해보이고 실제로도 타당하며 아래에서 증명할 것이다.
이처럼 합성함수의 미분을 두 함수의 증가율의 곱으로 표현하는 법칙을 연쇄법칙이라 부른다.
연쇄법칙
$f$ 와 $g$ 가 모두 미분가능 하고 $F = f \circ g$ 가 $F(x) = f(g(x)) $ 로 정의된 합성함수 라면,
$F$ 는 $x$ 에서 미분 가능 하고, $F’$ 는 다음과 같은 곱으로 주어진다. $$ F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
라이프니츠 기호로 나타내면, $y = f(u)$ 와 $u = g(x)$ 가 모두 미분가능한 함수일 때 다음이 성립한다.
$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} $$
이 법칙의 완벽한 증명을 적기 전에 다음과 같이 생각하여보자.
완벽한 증명만 바로 보고 싶다면 넘어가도 되지만, 한 번 쯤은 보고 넘어가자.
불완전한 증명
더보기 사전 작업 일반적으로 $y = f(x)$인 함수에서 $x$ 의 변화량 $\Delta x$ 에 대해 $x$ 가 $\Delta x$ 변할 때 $y$ 의 변화량을 $\Delta y$ 라고 하면
$\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)$ 라고 할 수 있다. (미분계수의 정의 설명하는 과정에서 $y 변화량 = f(x+h) – f(x)$ 였음을 떠올려보라)
마찬가지로 $u = g(x)$ 로 표현되는 함수에서는 $$\Delta u = g(x + \Delta x) – g(x)$$ 또 $y = f(u)$ 에서는 다음이 성립한다.
$$\Delta y = f(u + \Delta u) – f(u)$$ 본론 이것을 이용해 원하는 연쇄법칙을 유도해보자. $\Delta u
eq 0$ 이라면 다음이 성립할것이다. $$ \begin{align} \dfrac{dy}{dx} = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \end{align}$$ 여기서 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ 가 수렴하고 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ 도 수렴한다면 극한법칙에 의해 다음과 같이 분리될 것이다. $$ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x} = \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] \cdot \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] $$ $ u = g(x) $가 미분가능하므로 오른쪽 부분인 다음이 수렴하는것은 당연하다. $$ \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] $$ 이제 왼쪽 부분인 다음의 식도 수렴하는지 살펴보자. $$ \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] $$ 우선 $ y = f(u) $가 미분가능하므로 다음이 수렴한다. $$ \lim_{\textcolor{blue}{\Delta u \to 0}} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} $$ 그리고 $u = g(x)$ 가 미분가능하므로 $g(x)$ 는 연속이다. (미분가능하면 연속이라는 정리에 의해) 따라서 연속의 정의에 의해 $\Delta x \to 0$ 이면 $\Delta u = g(x + \Delta x) – g(x)$ 는 $0$으로 수렴해야한다. 즉, $\Delta x \to 0$ 이면 $\Delta u \to 0$ 라는 말이고 이는 다음 식처럼 $\Delta x \to 0$ 일 때도 수렴함을 보여준다.
$$ \lim_{\textcolor{red}{\Delta x \to 0}} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} $$
극한법칙이 적용될 수 있다는것을 알았으니 원래 하던 계산으로 돌아오면
$$ \begin{align} \dfrac{dy}{dx} = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\ = &\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \\ = &\left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] \cdot \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] \\ = &\left[ \lim_{\textcolor{blue}{\Delta u \to 0}} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} \right] \cdot \left[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta u}{\Delta x} \right] \\ = &\dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \end{align}$$
이로써 연쇄법칙이 $\Delta u
eq 0$ 인 경우에 한정해서 증명되었다.
이는 고등학교 교과서에 나와있는 증명법(에다가 부연설명을 잔뜩 넣었지만)인데, 완벽한 증명이라고 할 수는 없지만 대충 옳은 법칙임을 암시해주는 역할은 한다.
$\Delta u
eq 0$ 조건을 뺀 증명이 완벽하지 않은 이유는 다음과 같다.
더보기 $y = f(u) $ 가 어떤 식으로 주어져있다고 가정하고
$u = g(x)$ 가 다음과 같이 정의되었다고 해보자
$$ u = g(x) = \begin{cases} x^{2}\sin{\left( \dfrac{1}{x} \right)} &(x
eq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} $$ 참고로 미분계수의 정의로 직접 계산을 해보면 알겠지만 이 함수는 $0$ 에서도 미분 가능하다. 이 함수는 그림과 같이 $x=0$ 근처에서 무한히 진동하며 $u = 0$ 을 무한히 많이 지난다.
합성함수 $y = f \circ g$ 의 $x = 0$ 에서의 미분계수를 구하고자 하여 $\Delta u = g(0 + \Delta x) – g(0)$ 으로 정의한 후 위에서 언급한 증명법을 따라가는 도중 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ 를 구하려고 할 때 문제가 생긴다.
왜냐하면 $\Delta x$ 를 아무리 작게 설정해도 $0$ 에 더욱 접근시키면서
$g(0 + \Delta x) = 0 = g(0)$ 가 되게 하는 $\Delta x$ 값이 생기기 때문에 $\Delta u = 0 – 0 = 0$ 이 되는 경우가 항상 존재하고 따라서 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ 가 정의가 되지 않는다.
고교과정에서 나오는 단순한 함수들에 대해서는 별 문제가 되지 않지만 이런 함수들이 존재하기 때문에 위의 증명법은 완벽하다고 할 수 없다.
연쇄법칙은 $\Delta u = 0$ 가 되는 경우에도 상관없이 성립하는 법칙이다.
이를 위해서는 위의 증명 방식처럼 $\Delta u$ 가 분모에 들어가서 $0$으로 나누게 되는 경우를 만들면 안된다.
본격적으로 증명으로 들어가기 이전에 그런 상황을 방지하기 위한 유용한 표현법을 하나 알아보고 가자.
$y = f(x)$ 꼴로 표현되는 함수가 $x = a$ 에서 미분 가능하다면
$y$ 의 증분이 $ \Delta y = f(a+\Delta x) – f(a) $ 로 정의될 때, 도함수의 정의에 의해 다음의 극한이 존재해야 한다.
$$ f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} $$
그리고 $\epsilon$ 이 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 와 $\dfrac{dy}{dx} = f'(a)$ 의 차로 정의된다면 다음이 성립한다.
$$ \textcolor{green}{\lim_{\Delta x \to 0} \epsilon} = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} – f'(a) \right] = f'(a) – f'(a) = \textcolor{green}{0} $$ 따라서 $\Delta x \to 0$ 이면 $\epsilon \to 0$ 이 성립하게 된다.
한편 $\epsilon = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} – f'(a)$ 였으므로 이 식을 변형하면 다음을 얻는다.
$$ \Delta y = f'(a)\Delta x + \epsilon \Delta x \tag{식 1}$$
정리하면, $y = f(x)$ 꼴로 표현되는 함수가 $x = a$ 에서 미분가능하다면 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다.
$$ \begin{align} \Delta y = f'(a)\Delta x + \epsilon \Delta x && (\Delta x \to 0 일 때 \epsilon \to 0) \end{align} $$
그리고 이렇게 표현함으로써 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 처럼 $\Delta x$ 가 분모에 들어가는 일을 방지할 수 있다.
참고로 이 표현법이 나중에 다변수함수의 미분가능성, 연쇄법칙 얘기할 때 또 나오므로 잘 기억해두자.
$\dfrac{dy}{dx}$ 가 미분계수라면 $\epsilon$ 은 선형근사와 실제 값 사이의 오차계수(?) 쯤으로 생각할 수 있다. 그림에서 $\Delta x \to 0$ 일 때 $\epsilon$ (실제와 선형근사의 차이나는 정도의 비율) 이 어떤 값으로 수렴할지 생각해보자
연쇄 법칙의 증명
$ u = g(x) $ 가 $ x = a $ 에서 미분 가능하고 $ g(a) = b$ 이며
$ y = f(u) $ 가 $ u = b $ 에서 미분 가능하다고 하자.
그러면 바로 위에서 언급한 $(식 1)$ 에 의해 $\Delta u$ 는 다음과 같이 표현된다
$$ \textcolor{orange}{\Delta u} = g'(a)\Delta x + \epsilon_{1}\Delta x = \textcolor{orange}{[g'(a) + \epsilon_{1}]\Delta x} \tag{식 2} $$
여기서 $\Delta x \to 0$ 일 때 $\epsilon_{1} \to 0$ 이다.
같은 방법으로 $\Delta y$ 는 다음과 같이 표현된다.
$$ \textcolor{skyblue}{\Delta y} = f'(b)\Delta u + \epsilon_{2}\Delta u = \textcolor{skyblue}{[f'(b) + \epsilon_{2}]\Delta u} \tag{식 3}$$
여기서 $\Delta u \to 0$ 일 때 $\epsilon_{2} \to 0$ 이다.
$(식 3)$ 의 $\Delta u$ 자리에 $(식 2)$ 를 대입하면 다음을 얻는다.
$$ \Delta y = [f'(b) + \epsilon_{2}][g'(a) + \epsilon_{1}]\Delta x $$
양변을 $\Delta x$로 나누면 ($\Delta x
eq 0$ 이므로 가능하다.)
$$ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = [f'(b) + \epsilon_{2}][g'(a) + \epsilon_{1}] $$
여기서 $\Delta x \to 0$ 이면 $(식 2)$ 에 의해 $\Delta u \to 0$ 이다.
따라서 $\Delta x \to 0$ 이면 $\epsilon_{1} \to 0$ 이고 $\epsilon_{2} \to 0$ 이게 되며 다음이 성립하게 된다.
$$ \begin{align} \dfrac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} = &\lim_{\Delta x \to 0} [f'(b) + \epsilon_{2}][g'(a) + \epsilon_{1}] \\ = &f'(\textcolor{green}{b})g'(a) \\ = &f'(\textcolor{green}{g(a)})g'(a) \end{align} $$
이것으로 연쇄법칙이 증명되었다.
예제
$(Q1)$ $f(x) = x\sqrt{2-x^{2}}$ 일 때 $f'(x)$ 를 구하라.
풀이
더보기 $g(x) = \sqrt{2-x^{2}}$ 라 하면 $f(x) = xg(x)$ 이다. 곱의 미분을 적용하면
$$ f'(x) = g(x) + xg'(x) \tag{1}$$
한편 $g(x)$는
$ h(u) = \sqrt{u} $, $ u(x) = 2-x^{2} $ 의 합성함수인 $(h \circ u) (x)$ 라고 볼 수 있다. 따라서 연쇄법칙을 적용하면 $$ \begin{align} g'(x) = &\dfrac{dh}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ = &\dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2x) \\ = &\dfrac{1}{ 2\sqrt{2-x^{2}} } \cdot (-2x) \\ = &\dfrac{-x}{\sqrt{2-x^{2}}} \end{align} $$
이것을 $(1)$ 에 대입하면 최종적으로 다음을 얻는다.
$$ f'(x) = \sqrt{2-x^{2}} – \dfrac{x}{\sqrt{2-x^{2}}} $$
$(Q2)$ $f(x) = 3x^{2} + 2$ 에 대하여 본문에서 언급한
$\Delta y = f'(x)\Delta x + \epsilon \Delta x$ 꼴을 만들었을 때
$\Delta x$ 에 대한 함수 $\epsilon$ 를 구하라
풀이
더보기 $\Delta y$ 의 정의에 따라 다음이 성립한다. $$ \begin{align} \Delta y = &f(x + \Delta x) – f(x) \\ = &\left[ 3(x + \Delta x)^{2} + 2 \right] – \left[ 3x^{2} – 2 \right] \\ = &\left[ 3x^{2} + 6x(\Delta x) + 3(\Delta x)^{2} + 2 \right] – \left[ 3x^{2} + 2 \right] \\ = &6x(\Delta x) + 3(\Delta x)^{2} \end{align} $$ 한편 $f'(x) = 6x$ 이므로
위에서 구한 $\Delta y = 6x(\Delta x) + 3(\Delta x)^{2}$ 와
$\Delta y = f'(x)\Delta x + \epsilon \Delta x$ 를 비교하면 $\epsilon = 3\Delta x$ 임을 알 수 있다.
+ ($\epsilon$ 이 $\Delta x$ 에 대한 함수라고 한 점에 대해 생각해보자.)
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