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삼각함수/도함수 – 나무위키:대문
1. 개요2. 주요 삼각함수의 도함수. 2.1. 사인 함수의 도함수2.2. 코사인 함수의 도함수2.3. 탄젠트 함수의 도함수. 3. 역수꼴4. 미분 육각형 …
Source: namu.wiki
Date Published: 7/1/2021
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[5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 유도 (sin, cos)
1) $(\sin x)$ 의 미분 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $(\sin x)’=\lim.. … [5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 유도 (sin, cos).
Source: hsm-edu-math.tistory.com
Date Published: 6/28/2021
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삼각함수의미분
푸리에가 발표한 이 원리를 이용하면 복잡한 형태의 성문도 여러 개의 사인함수. 또는코사인함수의합으로나타낼수있다. 삼각함수의미분.
Source: viewpds.jihak.co.kr
Date Published: 3/18/2021
View: 4307
[수학] 삼각함수의 미분 증명
굉장히 뜬금없는 수학 글이네요. 막 미분을 배운 고등학교 2학년생인 필자가 단순한 호기심으로 증명해본 삼각함수의 미분법입니다. 우선 삼각함수 미분을 위해 알아야 …
Source: tipe.tistory.com
Date Published: 2/26/2022
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주제에 대한 기사 평가 삼각 함수 의 미분
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- Date Published: 2018. 4. 25.
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삼각 함수 미분 공식 & 그래프.
[미적분] 여러가지 미분 공식과 예제 (Chain rule, Power rule, sum/difference rule, Exponential functions, Product rule, Quotient Rule)2020/03/18 – [AI/Math] – [Math] 함수의 연속성(continuity)의 정의와 조건(우극한,좌극한) [Math] 함수의 연속성(continuity)의 정의와 조건(우극한,좌극한) 함수의 연속성은 함수의 극한과 관련이 크다. 극한에..
supermemi.tistory.com
삼각함수의 도함수
삼각함수의 도함수에 대한 기본 공식과 증명 그리고 이를 이용한 예제문제들에 대해서 알아보겠습니다. 이 부분은 공식에 대한 증명과 미분 연습이 좀 필요한 부분입니다. 열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다.
02. 삼각함수의 도함수와 증명
03. 삼각함수의 합성함수에 도함수
04. 삼각함수의 도함수 예제들
삼각함수의 미분과 적분
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::삼각함수의 미분과 적분::
이 포스팅은 삼각함수의 미분 및 적분(기본 공식 증명)에 관한 글 입니다.
삼각함수는 대표적인 초월함수로, 함수의 극한, 미분과 적분 파트에서 자주 등장합니다. 따라서 각 삼각함수별로 미분하는 법, 적분하는 법을 알아놓는게 좋습니다. 물론 지금부터 소개할 식들은 매우 기초적인 공식들입니다만, 정리 차원에서 증명까지 함께 소개하며 미적분 공식들을 정리해보겠습니다.
이 글이 필요한 학생은
1. 삼각함수의 미분에 대해 궁금한 학생
2. 삼각함수의 적분에 대해 궁금한 학생
3. 삼각함수의 미분과 적분 공식 증명이 필요한 학생
입니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.
그럼 포스팅 시작합니다.
삼각함수의 미분과 적분
지금부터 소개할 식은 가장 기본적인 삼각함수들의 미분 및 적분에 관련된 공식들입니다. 개중에는 워낙 잘 알려져서 따로 정리할 필요가 없는 식도 있을 것이고, (특히 적분의 경우) 생각지도 못했던 식이 나올 수도 있을 것입니다. 한 번 찬찬히 살펴보시고, 이 다음에 소개할 ‘증명’에서 한 번 더 생각해보기 바랍니다. x의 단위는 라디안입니다.
1. 삼각함수의 미분
기본 여섯가지 삼각함수 sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cosecx 의 미분은 다음과 같습니다.
i) y=sinx → y’=cosx
ii) y=cosx → y’=-sinx
iii) y=tanx → y’=sec²x
iv) y=cotx → y’=-cosec²x
v) y=secx → y’=secx·tanx
vi) y=cosecx → y’=-cosecx·cotx
여기서 주목할 점은, tanx와 secx가 함께 다니고 cotx와 cosecx가 함께 다닌다는 것입니다. 또한, cosx, cotx, cosecx 세 함수들(co로 시작하는 함수들)은 미분시 마이너스 부호를 달고 나오는 것도 눈여겨 볼만합니다.
2. 삼각함수의 적분
삼각함수의 적분식은 약간 까다롭습니다. 이는 직접적인 연산인 미분에 비해 적분은 태생적으로 간접적인(indirect) 연산이기 때문입니다. 적분상수는 대문자 C로 표현하였습니다.
i) y=sinx → ∫ y dx = -cosx + C
ii) y=cosx → ∫ y dx = sinx + C
iii) y=tanx → ∫ y dx = -lnlcosxl + C
iv) y=cotx → ∫ y dx = lnlsinxl + C
v) y=secx → ∫ y dx = lnlsecx+tanxl + C
vi) y=cosecx → ∫ y dx = -lnlcotx+cosecxl + C
vii) y=sec²x → ∫ y dx = tanx + C
viii) y=cosec²x → ∫ y dx = -cotx + C
ix) y=secx·tanx → ∫ y dx = secx + C
x) y=cosecx·cotx → y’= -cosecx + C
우변을 미분하면 적분하기 전의 함수(좌변)가 나옵니다.(원시함수의 개념.) 마찬가지로 tanx와 secx가 함께 다니고 cotx와 cosecx가 함께 다닙니다. 또한, v)와 vi)에서 소개한 secx와 cosecx의 적분식은 교과서에는 소개되지 않는 식들입니다. 참고로 알아놓으면 유용할 것입니다.
삼각함수의 미분과 적분 증명
1. 삼각함수의 미분
i) y=sinx → y’=cosx
삼각함수의 미분은 다음 도함수의 정의를 이용합니다.
f(x)=sinx로 보고 도함수를 구해봅시다.
두번째 등호에서 삼각함수의 덧셈공식을 이용하였고, 네번째 등호에선 삼각함수의 기본 극한 정리를 적용했습니다. (삼각함수의 기본 극한 정리가 궁금한 분은 다음 링크를 참고하세요. color-change.tistory.com/47 )
수식을 더 전개하면,
두 번째 등호에서 삼각함수의 제곱공식 (sin²x + cos²x = 1)을 이용하였고, 네 번째 등호에선 역시 삼각함수의 기본 극한 정리를 적용하였습니다. 특히 극한을 구할 때, 수렴하는 함수의 극한의 경우 사칙연산이 성립한다는 사실을 이용했습니다.
따라서 y=sinx를 미분하면 y’=cosx를 얻습니다.
ii) y=cosx → y’=-sinx
y=cosx의 미분도 같은 방법으로 증명하면 됩니다.
f(x)=cosx로 보고 도함수를 구해봅시다.
두번째 등호에서 삼각함수의 덧셈공식을 이용하였고, 네번째 등호에선 삼각함수의 기본 극한 정리를 적용했습니다. 수식을 더 전개하면,
두 번째 등호에서 삼각함수의 제곱공식 (sin²x + cos²x = 1)을 이용하였고, 네 번째 등호에선 역시 삼각함수의 기본 극한 정리를 적용하였습니다. 특히 극한을 구할 때, 수렴하는 함수의 극한의 경우 사칙연산이 성립한다는 사실을 이용했습니다.
따라서 y=cosx를 미분하면 y’=-sinx를 얻습니다.
iii) y=tanx → y’=sec²x
삼각비의 관계에 따르면 tanx = sinx / cosx 로 표현할 수 있습니다. 따라서 y=tanx의 미분은 다음 분수함수의 미분법을 이용해서 구할 수 있습니다.
y=tanx=sinx/cosx=f(x)/g(x)의 꼴로 보고 i)과 ii)에서 구한 결과를 적용하면,
제곱공식과 분수함수의 미분을 적용한 결과, y=tanx 의 도함수는 y’=sec²x 로 얻을 수 있었습니다.
iv) y=cotx → y’=-cosec²x
삼각비의 관계에 따르면 cotx = cosx / sinx 로 표현할 수 있습니다. 따라서 y=cotx의 미분은 다음 분수함수의 미분법을 이용해서 구할 수 있습니다.
y=cotx=cosx/sinx=f(x)/g(x)의 꼴로 보고 i)과 ii)에서 구한 결과를 적용하면,
제곱공식과 분수함수의 미분을 적용한 결과, y=cotx 의 도함수는 y’=-cosec²x 로 얻을 수 있었습니다.
v) y=secx → y’=secx·tanx
삼각비의 관계에 따르면 secx=1/cosx로 표현할 수 있습니다. 따라서 y=secx의 미분은 다음 분수함수의 미분법을 이용해서 구할 수 있습니다.
y=secx=1/cosx=1/f(x)의 꼴로 보고 i)과 ii)에서 구한 결과를 적용하면,
분수함수의 미분과 삼각비의 관계를 적용한 결과, y=secx 의 도함수는 y’=secx·tanx 로 얻을 수 있었습니다.
vi) y=cosecx → y’=-cosecx·cotx
삼각비의 관계에 따르면 cosecx=1/sinx로 표현할 수 있습니다. 따라서 y=cosecx의 미분은 다음 분수함수의 미분법을 이용해서 구할 수 있습니다.
y=cosecx=1/sinx=1/f(x)의 꼴로 보고 i)과 ii)에서 구한 결과를 적용하면,
분수함수의 미분과 삼각비의 관계를 적용한 결과, y=cosecx 의 도함수는 y’=-cosecx·cotx 로 얻을 수 있었습니다.
2. 삼각함수의 적분
삼각함수의 부정적분중 몇 가지는 원시함수의 정의를 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.
i) y=sinx → ∫ y dx = -cosx + C
ii) y=cosx → ∫ y dx = sinx + C
iii) y=tanx → ∫ y dx = -lnlcosxl + C
iv) y=cotx → ∫ y dx = lnlsinxl + C
v) y=secx → ∫ y dx = lnlsecx+tanxl + C
vi) y=cosecx → ∫ y dx = -lnlcotx+cosecxl + C
vii) y=sec²x → ∫ y dx = tanx + C
viii) y=cosec²x → ∫ y dx = -cotx + C
ix) y=secx·tanx → ∫ y dx = secx + C
x) y=cosecx·cotx → y’= -cosecx + C
앞서 소개한 열 개의 적분식 중에서 i), ii), vii), viii), ix), x) 여섯개의 식의 우변을 미분해보면 미분법의 공식에 의해 좌변이 얻어진다는 사실을 금방 알아낼 수 있습니다. 이는 다름아닌 함수와 원시함수의 관계입니다. (물론 나머지 네 개의 식들도 우변을 미분해보면 좌변이 나옵니다.)
따라서 여기서는 나머지 네 식 iii), iv), v), vi)의 증명을 해보겠습니다.
iii) y=tanx → ∫ y dx = -lnlcosxl + C
y= tanx의 적분은 다음 분수함수의 적분법을 통해 구할 수 있습니다.
y=tanx를 sinx/cosx로 보면, 이 때 분자의 sinx가 분모의 cosx를 미분한 것과 관계가 있으므로 위 식을 적용할 수 있습니다.
이 때 절댓값을 붙여주는 이유는 로그 안의 진수는 반드시 양수여야 하기 때문입니다.
iv) y=cotx → ∫ y dx = lnlsinxl + C
y= tanx의 적분은 다음 분수함수의 적분법을 통해 구할 수 있습니다.
y=cotx를 cosx/sinx로 보면, 이 때 분자의 cosx가 분모의 sinx를 미분한 것과 관계가 있으므로 위 식을 적용할 수 있습니다.
이 때 절댓값을 붙여주는 이유는 로그 안의 진수는 반드시 양수여야 하기 때문입니다.
v) y=secx → ∫ y dx = lnlsecx+tanxl + C
y=secx의 부정적분을 곧바로 구하는 방법은 없습니다. 따라서 여기선 우측의 원시함수를 미분하면 실제로 좌측의 y=secx를 얻을 수 있는 지를 확인함으로써 증명하겠습니다.
우변의 함수를 미분하면 y=secx가 나옵니다. 따라서 y=secx를 적분하면 y=lnlsecx+tanxl + C가 나옵니다. 이 때도 마찬가지로 로그 안의 진수가 양수임을 나타내기 위해 절댓값을 붙여줬습니다.
vi) y=cosecx → ∫ y dx = -lnlcotx+cosecxl + C
y=cosecx의 부정적분을 곧바로 구하는 방법은 없습니다. 따라서 여기선 우측의 원시함수를 미분하면 실제로 좌측의 y=cosecx를 얻을 수 있는 지를 확인함으로써 증명하겠습니다.
우변의 함수를 미분하면 y=cosecx가 나옵니다. 따라서 y=cosecx를 적분하면 y=-lnlcosecx+cotxl + C가 나옵니다. 이 때도 마찬가지로 로그 안의 진수가 양수임을 나타내기 위해 절댓값을 붙여줬습니다.
//끝
정리
이번 포스팅에서는
1. 삼각함수의 미분
2. 삼각함수의 적분
3. 삼각함수의 미분 공식 증명
4. 삼각함수의 적분 공식 증명
에 대해 알아보았습니다.
삼각함수의 미분과 적분은 초월함수를 다루는 자연계 고등학생이라면 반드시 알아야 할 기본중의 기본 공식입니다. 그러한 미적분 공식들이 어떻게 유도되는지, 유도과정에서 어떤 개념들이 사용되는지를 알려드리기 위하여 이 글을 썼습니다.
수많은 공식을 무조건 암기하려 하지 말고, 공식이 유도되는 과정을 잘 학습해서 자기 것으로 체화시키기 바랍니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 합니다.
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[5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 유도 (sin, cos)
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$\sin x $와 $\cos x $ 의 미분은 아래와 같습니다.
$(\sin x)’ =\cos x$
$(\cos x)’ =-\sin x$
하나씩 유도해봅시다.
1) $(\sin x)$ 의 미분
도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$
삼각함수의 덧셈정리를 적용합시다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h}$
$\sin x$로 묶어줍시다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x (\cos h-1)+\cos x \sin h}{h}$
아래와 같이 둘로 분리해서 써줍니다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (\cos h-1)}{h} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$
우변 첫항 분자와 분모에 $\cos h +1$을 곱해줍니다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$
아래와 같이 계산합시다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (\cos^{2} h-1)}{h(\cos h+1)} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$
사인과 코사인 제곱합 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합시다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\sin x (-\sin^{2} h)}{h(\cos h+1)} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$
우변 첫항을 아래와 같이 세개의 식으로 분리해줍시다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \sin x \frac{-\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1} +\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$
우번 첫항의 각 극한값은 0, 1, 0입니다. 따라서 셋의 곱은 0입니다.
$(\sin x)’=\lim_{h\to 0}\left\{\frac{\cos x \sin h}{h} \right\}$
우변에서 극한과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다.
$(\sin x)’=\cos x\lim_{h\to 0}\left\{\frac{ \sin h}{h} \right\}$
극한값은 아래와 같습니다.
$(\sin x)’=\cos x$
2) $(\cos x)$ 의 미분
도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$
삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 아래와 같이 변형합니다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h}$
우변을 아래와 같이 묶어줍니다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\frac{\cos x(\cos h -1)-\sin x\sin h}{h}$
분자를 아래와 같이 분리합니다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (\cos h-1)}{h} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$
우변 첫번째 항의 분자와 분모에 $\cos h+1$을 곱해줍니다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$
아래와 같이 계산해줍니다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (\cos h^{2}-1)}{h(\cos h+1)} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$
사인과 코사인 제곱합 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합시다.
(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{\cos x (-\sin^{2})}{h(\cos h+1)} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}
우변 첫항을 아래와 같이 세개의 식으로 분리해줍시다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ \cos x \frac{-\sin h}{h}\frac{\sin h}{\cos h +1} -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$
우번 첫항의 각 극한값은 0, 1, 0입니다. 따라서 셋의 곱은 0입니다.
$(\cos x)’=\lim_{h\to 0}\left\{ -\frac{\sin x \sin h}{h} \right\}$
우변에서 극한과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다.
$(\cos x)’=-\sin x\lim_{h\to 0}\left\{ \frac{ \sin h}{h} \right\}$
극한값은 아래와 같습니다.
$(\cos x)’=-\sin x$
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[수학] 삼각함수의 미분 증명
굉장히 뜬금없는 수학 글이네요.
막 미분을 배운 고등학교 2학년생인 필자가 단순한 호기심으로 증명해본 삼각함수의 미분법입니다.
우선 삼각함수 미분을 위해 알아야 하는 공식/정리부터 먼저 말하자면,
당연하지만 미분을 위한 도함수를 알아야 합니다.
도함수
다음은 삼각함수의 덧셈정리로, 삼각함수의 미분에서는 사인과 코사인의 덧셈 정리가 필요합니다.
sin과 cos의 덧셈 정리
또, 삼각함수의 제곱 공식이 필요합니다.
삼각함수의 제곱 공식
삼각함수의 기본 극한 또한 필요합니다.
삼각함수의 극한 (기본식)
마지막으로, 분수 함수의 미분법 공식이 필요합니다.
분수 함수의 미분법
위의 공식과 간단한 연산만으로, 삼각함수의 미분이 가능합니다.
우선 사인을 미분해보겠습니다.
두 번째 행에서 삼각함수의 덧셈정리, 다섯 번째 행에서 삼각함수의 기본 극한, 여섯 번째 행에서 삼각함수의 제곱 공식이 사용되었습니다.
다음은 코사인 미분입니다.
사인 미분과 같은 방식이며, 자세한 공식 설명은 생략하겠습니다.
마지막으로, 탄젠트의 미분입니다.
tan x = sin x / cos x 인 것을 이용하여 증명하였습니다.
이렇게 사인, 코사인, 탄젠트의 미분을 모두 마쳤습니다.
제가 수학을 잘 하지 못하기에 쉽게 풀어 설명하느라 내용에 군더더기가 많네요.
지적 해주신다면 감사히 받겠습니다.
이상입니다 🙂
키워드에 대한 정보 삼각 함수 의 미분
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