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미분방정식의 도함수중 최고계 도함수의 계수를 미분방정식의 계수라고 한다. 최고계 도함수의 최고차수를 미분방정식의 차수라고 한다. 이때 미분방정식의 차수가 1차식일때를 선형, 그렇지 않을 경우를 비선형이라한다. 위와 같은 식을 만족하는 일반해는 y=ax이다.
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안녕하세요 🙂
이번 영상부터, 상미분방정식의 기초 에 대해서도
업로드하여 스터디를 함께 진행하고자 합니다 ..^^
조금이나마 도움이 되어드릴 수 있었으면 합니다 🙂
다른 영상 기다려주시는 분들이 있으신데, 조금만 더 기다려주세요 ㅠ
항상 감사합니다 ^^
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[미분 방정식] 미분 방정식의 정의, 용어, 개념 – 네이버 블로그
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Date Published: 10/21/2021
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2.1 2차 선형미분방정식의 해
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미분방정식 해 – [정보통신기술용어해설]
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2차 선형 미분방정식을 푸는 방법 – 수학과 사는 이야기
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미분방정식 – 리브레 위키
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6강. 일반해와 특수해(2) – Universics
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Date Published: 2/13/2021
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1계 선형 미분방정식과 풀이법 | 해 구하기 | “적분 인자”란?
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주제에 대한 기사 평가 미분 방정식 일반 해
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- Date Published: 2020. 5. 3.
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Amazing Grace
미분방정식의 정의 + 해의 종류
1. 미분방정식
(1)미분방정식이란 방정식 속에 도함수를 포함한 방정식이다.
ex) y’+y+x=0
(2)독립변수를 1개만 가지고 있으면 상미분방정식
ex) y’=x
(3)독립변수를 2개이상 가지고 있으면 편미분 방정식
ex)y’+x’+z=0
미분방정식의 도함수중 최고계 도함수의 계수를 미분방정식의 계수라고 한다.
ex)( y”)^3+3y=5x 2계
최고계 도함수의 최고차수를 미분방정식의 차수라고 한다.
ex)( y”)^3+3y=5x 3차
이때 미분방정식의 차수가 1차식일때를 선형, 그렇지 않을 경우를 비선형이라한다.
이번에는 해에 대해서 알아볼건데 그전에 예시를 하나 들면
위와 같은 식을 만족하는 일반해는 y=ax이다.
2. 해의 종류
(1) 일반해
방정식을 만족하는 무수히 많은 해
위에있는 무수히 많은선들은 다 일반해
2. 특수해
방정식을 만족하는 해의 곡선에서 어떤 상수가 정해지면 그중 한 곡선이 결정되는데 이게 특수해 이다.
3. 특이해
미분방정식으로부터 얻을수 없는 해.
(3개의 해 모두다 방정식의 형태로 나타난다.)
#미분방정식#일반해#특수해#특이해
[미분 방정식] 미분 방정식의 정의, 용어, 개념
[미분 방정식] 미분 방정식의 정의, 용어, 개념안녕하세요, 설군입니다.
미분 방정식은 대학교에서 본격적으로 배우게 되는데, 물리학을 이해하기 위한 수학중 하나입니다.
물리학에서는 미분 방정식의 형태로 자연 현상이 기술되곤 하는데 그 미분 방정식을 푸는 법을 이해해야 자연 현상을 비로소 수치적으로 해석할 수 있는것이죠.(말이 이상한지 확인바람)
Dennis G. Zill의 A First Course in Differential Equatoins with Modeling Applications, 10th 를 아주 많이 참고하였습니다.
한글 제목으로는 ‘미분방정식 입문’ 입니다.
미분 방정식은 도함수를 포함하는 방정식입니다.
도함수가 몇 차냐에 관련 없이 포함만 하면 그것이 미분 방정식인 것입니다.
만약 y의 도함수를 포함한다면, 미분 방정식을 풀어서 해를 구한다는 것은 y라는 함수를 구한다는 것입니다.
이런 방정식을 해결한다는 것은 x값을 구한다는 것이죠
그런데 미분 방정식에서는 다음과 같이
이런 식으로 생겼는데요
y”은 y라는 함수를 두 번 미분했다는 것이고
y’은 한 번 미분했다는 것인데
여기서 y라는 함수를 구하는것이 바로 미분 방정식을 해결하는 것입니다.
미분 방정식이라는 학문을 배울 때에는
미분 방정식의 여러 꼴로 나누어서 푸는 방법이 다른데 그 푸는 방법을 배우는 것입니다.
이런 미분 방정식 꼴에서는 이렇게 풀고, 저런 미분 방정식 꼴에서는 저렇게 푸는 것이죠.
이런 미분 방정식들은 상미분 방정식이라고 합니다.
독립변수는 하나(첫 번째는 독립 변수가 x, 두 번째는 x, 세 번째는 t)인 상황에서
종속변수가 하나 이상인 경우에는 상미분 방정식입니다.
그니까 하나의 독립변수로만 미분하는 상황이면 상미분 방정식인 것입니다.
이런 미분 방정식들은 편미분 방정식이라고 합니다.
첫 번째 방정식을 보면, 독립변수가 x도 있고 y도 있죠
그니까 u를 x에 관해서도 미분해야되고, y에 관해서도 미분해야 된다는 것입니다.
두번째 방정식도 그렇습니다.
간단하게 그냥 미분(우리가 고등학교 과정까지 배웠던)이 들어있으면 상미분 방정식이고
편미분이 들어있으면 편미분 방정식인 것입니다.
Ordinary Differential Equation (ODE) 라고 하고
Partial Differential Equation (PDE) 라고 합니다.
앞서 저는 y’, y” 의 기호도 사용했고, dy/dx 기호도 사용했는데
보통 두 기호를 섞어서 사용합니다.
그리고 4계 도함수 부터는 보통
이런 식으로 표현합니다.
n계도함수의 경우 위와같이 표현해도 되고요.
그리고 물리학에서는 보통 독립변수가 시간 t인 경우의 미분이 자주 등장하는데
그런 경우는 ‘도트’를 사용해서 표현해주기도 합니다.
x라는 위치를 시간에 대해 두번 미분했다는 의미에서 x 위에 점을 두 개 찍어서 표현하는것이죠.
이 미분 방정식은 2계 1차 미분 방정식이라고 합니다.
계는 계수인데, 계수라는 건 최고계 도함수의 계수를 말하는 것입니다.
여기서 2번 미분한 것이 최고이므로, 2계인 것입니다.
그리고 차수는 최고계 도함수가 몇승이냐를 말하는데
이경우 1승이므로 1차입니다.
이건요?
최고계 도함수의 계수가 2이므로 2계이고
그게 3승 이므로 3차이니까
2계 3차 미분 방정식일까요?
아니요 루트를 풀어줘서 정수로 만들어줘야 합니다.
이렇게 완성된걸 가지고 이름을 붙여줘야 합니다.
이건 2계 6차 미분 방정식인 것이죠.
그리고 미분 방정식은 어떻게 정리하느냐에 따라 모양은 다르지만 같은 미분 방정식이 될 수 있는데
이런식으로 변형될 수도 있습니다.
선형 미분 방정식이라는 게 있는데
어떤 미분 방정식이 주어졌을 때 그 미분 방정식이 ‘선형’이다 라고 하려면 다음 조건을 만족해야 합니다.
1. 종속변수 y와 모든 도함수 y’, y”, … 의 차수가 1차이다.
2. y, y”, y”’, … 의 계수는 독립변수 x에 의존한다. (y에 의존하면 안 됨)
이 조건을 만족해야 선형이라고 합니다.
앞서 주어진 이 미분 방정식의 경우
y’의 차수가 1차이고, 계수가 4x이므로 x에 의존하는 상황이고
역시 y의 계수가 1이므로 y에 관계없는 상황이므로 선형입니다.
y”-2y’+y=0 이라는 미분 방정식이 있다면
역시 y”의 차수가 1이고 계수가 y에 관계없고
y’의 차수가 1이고 계수가 -2이므로 y에 관계없고
y도 그런 식이므로 선형을 만족합니다.
이것들은 전부 선형이 아닌(비선형) 미분 방정식입니다.
첫번째의 경우 y”의 계수가 y에 관계있으므로 비선형이고
두번째의 경우 sin(y)가 있으므로 비선형이고요
세번째의 경우 y의 차수가 2이므로 비선형입니다.
미분 방정식의 해는, 미분 방정식에 대입했을 때 만족합니다.
어떤 x에 관한 방정식에서 x=3이 해임을 증명하려면
방정식의 x에다가 3을 대입해서 만족하면 그게 해라는걸 증명할 수 있는데
그것처럼 미분 방정식에서도 똑같습니다.
이런 식으로 직접 미분해서 대입해보면 y가 그 미분방정식의 해가 맞다는걸 알 수 있습니다.
미분 방정식의 해가 되려면, 어쨌든 그 해는 미분 가능해야하므로 연속이어야 합니다.
미분 방정식을 풀고 나면 일반해와 특수해, 즉 General Solution과 Particular Solution으로 나뉘는데
일반해의 경우 해를 구하고 나서 상수가 남아있는 상황을 말하는 것이고
특수해는 해를 구했을 때 상수가 남아있지 않은 상황을 말하는 것입니다.
어떤 미분 방정식을 풀어서 해를 구했더니 상수가 들어있다 그러면 일반해입니다.
그런데 문제에서 주어진 초기 조건이 있는데, 그 조건을 대입해서 상수를 처리해주고 결과적으로 상수가 없어졌다
그러면 그것이 특수해입니다.
특히 물리학이나 공학에서는 특수해를 구하는게 중요합니다.
이를테면 어떤 물체가 처음에 정지해있었다는 초기조건을 쉽게 볼 수 있는데 그런 초기조건을 이용해서 특수해를 구하는것이죠.
특히나 미분 방정식에서 도함수의 계수와 임의의 상수의 개수가 일치합니다.
2계 미분 방정식이면 임의의 상수의 개수가 2개가 나와야되므로
특수해를 구하기 위해서는 초기조건도 두 개 필요한것이고
3계면 3개의 상수가 나오는 것이고요. (물론 초기조건도 3개 필요함)
이런 상황도 있습니다.
어떤 미분 방정식을 풀었는데 일반해도 구했고, 초기조건도 넣어서 특수해를 구했는데
잘 살펴보니 y=0도 해입니다.
그런데 y=0이라는 해는, 일반해의 c에 어떤값을 넣더라도 나올수가 없어요
이런 경우 y=0은 일반해도 아니고 특수해도 아닌데, 이걸 ‘특이해’라고 합니다. (Singular Solution)
특히나 비선형 미분 방정식에서 특이해가 자주 나타납니다.
어떤 미분 방정식을 풀었는데, 두 개의 해가 나왔다고 합시다.
그런데 앞서 미분 방정식에서 도함수의 계수가 임의의상수의 개수와 같다고 했습니다.
이 경우 2계 미분 방정식 이므로 임의의 상수가 두 개 나와야 하는데
해가 두 개이고 임의의 상수가 각각 하나씩 나오긴 했습니다.
그런데 신기하게도 이 경우는 x1과 x2라는 해를 그냥 단순히 더해서 하나의 x라는 해를 만들 수 있는데
이 경우도 해가 맞습니다.
x1과 x2의 선형 결합이 된 x라는 해도 해가 된다는것이죠.
이 경우도 역시 임의의 상수의 개수가 2개입니다.
일반적인 경우를 생각해보면, n계 미분 방정식의 특수해를 구하기 위해서
n계 미분 방정식을 풀어서 나온 일반해에서 임의의 상수의 개수는 n개이므로
초기 조건이 n개 필요하다는 걸 알 수 있습니다.
이 때 초기조건에서 y에 대입하는 x값이 동일해야합니다.
이런 식으로 말이죠.
같은 x값을 대입해준 초기조건만이 써먹을 수 있습니다.
이렇게 미분 방정식과 초기 조건을 이용해서 미분 방정식의 해를 구하는 것을 ‘초깃값 문제(Initial Value Problem)’이라고 부릅니다.
미분 방정식의 계수에 따라서 1계 초깃값 문제, 2계 초깃값 문제… 이런 식으로 부릅니다.
이런 미분 방정식을 풀어서, 초기조건을 이용해서 특수해를 구했다고 칩시다.
그런데 특수해 요거의 그래프를 그대로 그려보면
이렇게 되는데요,
우리가 지금 그린 이 그래프는 라는 함수의 그래프입니다.
그런데 문제에서 주어진 초기조건을 만족하는 부분은 단지
이부분이면 되거든요. 초기조건이 y(0)=-1 이므로 좌표상 (0, -1)을 지나는 그래프가 ‘해의 그래프’라는 것이죠
‘함수의 그래프’이냐, ‘해의 그래프’이냐의 차이점을 설명하는 좋은 문제입니다.
이런 문제가 있는데요, 위의 미분 방정식의 일반해가 주어졌고
초기조건이 주어졌습니다.
그런데 초기조건을 대입해서 풀어보면 상수가 c1=0, c1=2 이렇게 나옵니다.
모순이 되어버립니다.
이 말은 이 미분방정식의 해가 없다는 뜻입니다.
왜 해가 없냐면, 앞서 초기조건에서 같은 x값을 대입한것이 중요하다고 했는데
위의 문제에서는 하나는 pi/2 를 대입했고 다른 하나는 pi를 대입했기때문에
이 초기조건만으로는 해를 구할 수 없는것입니다.
다음에는 변수분리형 미분 방정식에 대해 알아봅시다.
변수분리형 미분 방정식은 미분 방정식 중에 가장 간단한 형태입니다.
근데 이렇게 글 쓰다보면 미분 방정식 전부 글 쓰려면 시간이 진짜 오래 걸리겠네요….
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
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먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자.
2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자.
$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$
이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자.
$$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$
이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.
$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$
이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.
정리 특성방정식이 $r_1,r_2$를 근으로 가진다면 일반해는 $y=c_1 e^{r_1x}+c_2 e^{r_2x}$이다.
$$e^{\alpha i}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$
임을 알고 있다면 특성방정식이 허근을 가지는 것을 두려워할 필요가 없다.
여기서 특성방정식이 3차나 4차라면 일반적인 풀이법을 찾을 수 있지만 5차 이상은 매우 어려울 것임을 알 수 있다.
보기 1
미분방정식 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$을 풀어보자.
동차인 2차 선형 미분방정식이다. 계수가 모두 상수이므로 $y=e^{rx}$로 놓자. 특성 방정식을 먼저 풀어서 두 근 $r_1=2,\;\;r_2=-1$을 찾는다. 일반해는 $y=c_1 e^{2x}+c_2e^{-x}$이다.
보기 2
단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 해결해 보자.
주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.
$$F=-kx$$
뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$
$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.
$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$
특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.
$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$
$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin \omega t$$
여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega=A\sin(\omega t +\phi)$$
$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$
알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법
계수가 상수 함수가 아니라면 어떻게 해결할까? 일반적으로 미분방정식의 차수를 낮추는 방법으로 알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법을 정리해 보자.
$$a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0\tag{1}$$
$a_2(x)
ot=0$로 나누어 아래와 같은 꼴로 정리하자.
$$y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\tag{2}$$
이때, $y_1$이 해라고 하고 $y_2=u(x)y_1$가 다른 해라고 가정하자.
$$\begin{split}y_2^{\prime}&=u^{\prime}(x)y_1+u(x)y_1^{\prime} \\y_2^{\prime\prime}&=u^{\prime\prime}(x)y_1+ u^{\prime}(x)y_1^{\prime} + u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \\ &= u^{\prime\prime}(x)y_1 +2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \end{split}$$
(2)에 대입하자.
$$[u^{\prime\prime}(x)y_1+2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime}]+Px)[u^{\prime}(x)y+u(x)y_1^{\prime}]+Q(x)u(x)y_1=0$$
이 식을 정리하면 아래와 같다.
$$y_1u^{\prime\prime}(x)+[2y_1^{\prime}+P(x)y_1]u^{\prime}(x)+u(x)[\underbrace{y_1^{\prime\prime}+P(x)y_1^{\prime}+Q(x)y_1}_{0}]=0$$
여기서 $v(x)=u^{\prime}(x)$로 치환하여 정리하자.
$$y_1 v^{\prime}(x)+[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)=0$$
$$y_1 v^{\prime}(x)=-[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)$$
$$\frac{v^{\prime}(x)}{v(x)}=-\frac{2y_1^{\prime}}{y_1}-{P(x)}$$
이 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 변수가 따로 분리되는 꼴이므로 풀이가 쉽다.
$$\ln |v(x)|=-2\ln |y_1|-\int {P(x)}dx+c$$
$$v(x)=u^{\prime}=\frac{c_1}{y_1^2}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$
$$u(x)=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$
$$y=u(x)y_1(x)=c_1y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}+c_2y_1(x)$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$y_2=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}\tag{3}$$
$$W(y_1(x),y_2(x))= \begin{vmatrix} y_1 & y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \\ y^{\prime}_1 & \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1}+ y^{\prime}_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \end{vmatrix} = e^{-\int P(x)dx}
ot=0$$
두 함수는 서로 독립이다.
$\blacksquare$
보기 3
미분방정식 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0$를 풀어 보자.
특성 방정식은 $2$을 해로 가지므로 $y_1=e^{2x}$는 해가 된다.
이제 $y_2=u(x)e^{2x}$를 또 다른 해라고 하자.
$$\begin{split} y_2^{\prime} &= u^{\prime}(x) e^{2x} + 2u(x) e^{2x} \\ y_2^{\prime\prime}&= u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 2u^{\prime} e^{2x} +2 u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} \end{split}$$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 4u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} – 4 [u^{\prime}(x) e^{2x}+2 u(x) e^{2x} ]+ 4u(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime}(x)= c_1$$
$$u(x)=c_1x+c_2$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$\therefore\quad y_2= x e^{2x}$$
이것을 (3)을 써서 바로 구할 수 있다.
$$W(e^{2x}, x e^{2x})=\begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\ e^{2x} & e^{2x}+ 2x e^{2x} \end{vmatrix}=e^{4x}
ot=0$$
두 함수 $y_1, y_2 $는 서로 독립이다.
일반해를 정리하면 $y=C_1 e^{2x}+C_2 xe^{2x}$이다.
일단 정리하고 가자.
미분방정식 $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+c=0$$ 의 특성 방정식은 $$am^2 +bm+c=0$$ 이다. 다음과 같이 해를 결정한다. i} 서로 다른 두 실근 $m_1,\;\;m_2$를 가질 때 $y_1=e^{m_1 x}$과 $y_2=e^{m_2 x}$이다. 그러므로 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 e^{m_2x}$이다. ii) 두 근이 $m_1=m_2$로 같다면 $y_1=e^{m_1x}$이고 $2m_1=-b/a$이다. 따라서 $$y_2= e^{m_1x} \int \frac {e^{-(b/a)dx} }{e^{2m_1x}}dx=e^{m_1x}\int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}}dx=xe^{m_1x}$$ 이다. 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 x e^{m_1x}$이다. iii) 허근 $m_1=\alpha+i \beta$와 $m_2=\alpha-i \beta$를 가질 때, 일반해는 $y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)} +C_2e^{(\alpha-i \beta )}$이다.
3차 이상인 특성 방정식을 가질 때도 인수분해가 된다면 위에 정리한 바를 써서 쉽게 해를 구할 수 있다.
보기 4
다음 미분방정식을 풀어보자. $$y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0$$
특성 방정식은 아래와 같다.
$$m^3 +3m^2-4=0$$
$$(m-1)(m^2 +4m+4)=(m-1)(m+2)^2=0$$
일반해는 아래와 같다.
$$y=c_1 e^x +c_2 e^{-2x}+c_3 x e^{-2x}$$
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미분방정식(微分方程式, Differential Equation)은 변수, 함수, 도함수가 포함된 방정식을 말한다. 미방으로 많이 줄여 부르며 영어로는 Diff Eq라고 한다.
1 용어와 개념 [ 편집 ]
상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다.
편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다.
계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다.
차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다.
선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다. 제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다.
비선형(nonlinear): 선형이 아닌 미분방정식을 비선형미분방정식이라고 한다. 미지함수나 그 도함수가 비선형함수[1] 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다.
1.1 예시 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ y” +3xy +72 = 0 }[/math] 는 이계 일차미분방정식이다.
는 이계 일차미분방정식이다. [math]\displaystyle{ \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 – \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x }[/math] 은 이계 삼차미분방정식이다.
은 이계 삼차미분방정식이다. [math]\displaystyle{ \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 }[/math] 은 선형 제차 미분방정식이다.
은 선형 제차 미분방정식이다. [math]\displaystyle{ { {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 }[/math] 는 선형 비제차 미분방정식이다.
는 선형 비제차 미분방정식이다. [math]\displaystyle{ \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.
는 비선형 미분방정식이다. [math]\displaystyle{ xyy’ + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.
2 미분방정식의 형태와 해 [ 편집 ]
2.1 미분방정식의 형태 [ 편집 ]
General Form과 Normal Form, Standard Form이 있다.
General Form: [math]\displaystyle{ F(x,y,y’,y”,…y^{(n)})=0 }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다. Normal Form: [math]\displaystyle{ {d^{n}y \over dx^{n}}=f(x,y,y’,…,y^{(n-1)}) }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다. Standard Form: [math]\displaystyle{ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+…+a_{n-1}y’+a_n=0 }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
2.2 특수해, 일반해, 특이해 [ 편집 ]
미분방정식의 해는 함수인데, 보통 하나만 있지 않다. 그래서 어떤 임의의 매개변수를 이용해 그 해들을 나타낸다.
특수해(particular solution) : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수.
일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것.
특이해(singular solution) : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다.
이 셋과 별개의 개념으로 자명한 해(trivial solution)이 있는데, 이것은 주어진 미분방정식만으로도 자명하게 도출되는 해를 말한다.
2.2.1 예 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ y’ + 2y^{3 \over 2} = 0 }[/math] 라는 미분방정식에 대해,
[math]\displaystyle{ y = {1 \over (x+c)^2} }[/math] 은 일반해이다. 그런데, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math]의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.즉, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math] 은 이 일반해에 대한 특이해이다.
2.3 초깃값 문제와 경곗값 문제 [ 편집 ]
깃과 곗이 어색해보일 수 있지만 보다보면 정이 든다.
[math]\displaystyle{ n }[/math]계 상미분방정식의 일반해는 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 임의의 매개변수를 포함하고 있다. 특수해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.2.3.1 초깃값 문제 [ 편집 ]
미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.
2.3.1.1 해의 존재성과 유일성 [ 편집 ]
다음 초깃값 문제
[math]\displaystyle{ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y’ + a_0y=g(x), y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, \cdots , y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ a_0(x), a_1(x), \cdots , a_n(x), g(x) }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]를 포함하는 구간에서 연속이고 이 구간 내의 모든 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n(x)e 0 }[/math]이라 하면, 이 초깃값 문제는 유일한 해를 가진다.
2.3.2 경곗값 문제 [ 편집 ]
미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.
2계 미분방정식의 경계조건은 일반적으로
[math]\displaystyle{ \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = \gamma_1 }[/math] [math]\displaystyle{ \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = \gamma_2 }[/math]와 같이 주어진다.
2.3.3 예 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ y’ -2xy = 3, y(0) = 1 }[/math] 은 초깃값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1 }[/math] 을 초기 조건이라고 부른다.
은 초깃값 문제이다. 을 초기 조건이라고 부른다. [math]\displaystyle{ y” -3y’ – y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 }[/math] 은 초깃값 문제이다.
은 초깃값 문제이다. [math]\displaystyle{ y” -34y’ – 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 }[/math] 는 경곗값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1, y(2) =4 }[/math] 를 경계 조건이라고 부른다.
3 유명한 미분방정식 [ 편집 ]
3.1 맬서스 인구 성장 모형 [ 편집 ]
1798년 영국의 경제학자 맬서스에 의해 제시된 인구 성장 모형. 특정 시점의 한 나라 인구 성장률이 그 시점의 그 나라 총 인구수에 비례한다는 가정에 따라 구성되었다. 시간 [math]\displaystyle{ t }[/math]에서의 총 인구수를 [math]\displaystyle{ P(t) }[/math]라고 하면 다음과 같이 나타난다.
[math]\displaystyle{ {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) }[/math]여기서 r은 내적 증가율이라고 부르는 비례 상수이다. 이 미분방정식은 후술할 변수분리법으로 풀 수 있고, 일반해는
[math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt+c} }[/math] 이다.3.2 스프링에 의한 단순 조화 운동 [ 편집 ]
스프링에 물체를 매달아 당긴 후 놓으면, 물체는 계속해서 왕복운동을 하게 된다. 공기저항이나 마찰력과 같은 힘이 작용하지 않으면 일정한 진폭으로 무한히 왕복하게 되는데, 이를 단순 조화 운동이라고 한다.
스프링이 평형점에서부터 [math]\displaystyle{ x }[/math]만큼 늘어나거나 압축되었을 때 작용하는 복원력은 훅의 법칙에 따라
[math]\displaystyle{ F = -kx }[/math]이다. [math]\displaystyle{ F = ma = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} }[/math] 이므로, [math]\displaystyle{ -kx = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} }[/math] 이고, 이를 다시 쓰면 [math]\displaystyle{ m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} + kx = 0 }[/math] 이다. 이 이계미분방정식을 풀어주면 [math]\displaystyle{ x(t)=c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t, \omega = \sqrt{k \over m} }[/math] 이 된다.삼각함수의 합성공식을 이용해서 한번 더 정리해주면
[math]\displaystyle{ x(t) = A \cos(\omega t – \phi), A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}, \phi = \tan^{-1} \left({c_2 \over c_1} \right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]는 최대 진폭, [math]\displaystyle{ \psi }[/math]는 위상각이라 한다.4 미분방정식의 해법 [ 편집 ]
4.1 1계 상미분 방정식 [ 편집 ]
4.1.1 변수분리형 미분방정식 [ 편집 ]
1계 미분방정식의 형태가 [math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = {g(x) \over h(y)} }[/math] 와 같이 주어졌을 때, 그 미분방정식을 변수분리형 미분방정식(separable differential equation)이라고 한다. 이러한 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math]\displaystyle{ h(y)dy = g(x)dx }[/math]양변을 적분해주면
[math]\displaystyle{ \int h(y)\, \mathrm{dy} = \int g(x)\, \mathrm{dx} + c }[/math] 가 된다.4.1.1.1 예 [ 편집 ]
앞서 소개한 인구 모형 [math]\displaystyle{ {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) }[/math] 를 풀어보자. 이 식을 적절히 정리해 주면,
[math]\displaystyle{ {1 \over P(t)} \mathrm{d}P(t) = r\mathrm{dt} }[/math] 가 된다. 적분해주면, [math]\displaystyle{ \ln|P(t)| = rt + c }[/math] 이고, 다시 정리해 [math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt + c} }[/math] 를 얻을 수 있다. (인구는 항상 양수)여기서 처음의 인구를 나타내는 초기조건 [math]\displaystyle{ P(0) = P_0 }[/math]를 적용해 보자.
[math]\displaystyle{ P(0) = e^c = P_0 }[/math] 이므로, [math]\displaystyle{ P(t) = P_0e^{rt} }[/math] 라는 특수해를 얻는다.4.1.2 완전 미분방정식 [ 편집 ]
이변수함수 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 전미분은
[math]\displaystyle{ \mathrm{d}f = {\partial f \over \partial x}dx + {\partial f \over \partial y}dy }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ \partial }[/math]는 편미분 기호로, 항목을 참조하라.1계 미분방정식 [math]\displaystyle{ M(x, y) + N(x, y){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = 0 }[/math] 의 양변에 dx를 곱하면
[math]\displaystyle{ M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 }[/math] 이고,이 미분방정식의 좌변이 위의 [math]\displaystyle{ \mathrm{d}f }[/math], 즉 어떤 함수의 전미분이 될 때, 미분 형태가 완전하다(exact)고 하고, 이 미분방정식을 완전 미분방정식(exact differential equation)이라고 한다.
이 미분방정식을 풀어보자.
[math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x} }[/math] 이므로 양변을 적분해주면, [math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f }[/math] 이다. 여기서는 편미분에 무참히 갈려나갔던 [math]\displaystyle{ y }[/math]의 함수가 적분상수가 된다.이 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ {\partial f \over \partial y} = N(x, y) }[/math]도 만족하므로, [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 편미분해주면,
[math]\displaystyle{ N(x , y) = {\partial f \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h'(y) }[/math] 이 성립할 것이다. 즉 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]는 다음 조건을 만족하는 함수이다. [math]\displaystyle{ h'(y) = N(x, y) – {\partial \over \partial y} \int \, M(x,y) dx }[/math]이를 [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 잘 적분해 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]를 구하고,
[math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f }[/math]에 다시 대입해 주면 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]를 구할 수 있다.4.1.2.1 완전미분 여부 확인 [ 편집 ]
이쯤 되면 한 가지 의문이 떠오를 텐데, 아니면 말고 도대체 저게 완전 미분방정식인지 어떻게 안단 말인가? 그 답으로, 다음과 같은 정리가 있다.
[math]\displaystyle{ M(x, y) }[/math] 와 [math]\displaystyle{ N(x, y) }[/math]가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때, [math]\displaystyle{ M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 }[/math] 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} }[/math] 이다.필요조건 증명
[math]\displaystyle{ M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} }[/math] 가 어떤 함수[math]\displaystyle{ f }[/math]의 전미분이라고 가정하면, [math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x}, N(x, y) = {\partial f \over \partial y} }[/math]를 만족한다. [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 [math]\displaystyle{ {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) }[/math]를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로, [math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} }[/math] 임을 알 수 있다.충분조건 증명
추가바람
4.1.2.2 적분인자 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 }[/math] 형태의 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 적절한 함수 [math]\displaystyle{ \mu (x, y) }[/math]를 양변해 곱해주면 완전 미분방정식으로 만들 수가 있다. 이때의 [math]\displaystyle{ \mu (x, y) }[/math]를 적분인수 혹은 적분인자(integrating factor)라고 한다.
즉, 함수 [math]\displaystyle{ \mu(x, y) }[/math]가 적분인자일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ {\partial \mu M \over \partial y} = {\partial \mu N \over \partial x} }[/math]이다. 곱의 미분법을 이용해 한번 더 정리하면,
[math]\displaystyle{ N {\partial \mu \over \partial x} – M {\partial \mu \over \partial y} = \mu({\partial M \over \partial y} – {\partial N \over \partial x}) }[/math]이다.
이를 만족하는 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 찾으면 되는데, 저게 편미분방정식(…)인게 문제다. 원래 미분방정식보다 풀기 어렵다는 뜻이다. 하지만 다행히도, 특수한 경우에는 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 구할 수가 있다. 이하, [math]\displaystyle{ f_x = {\partial f \over \partial x} }[/math] 이다.
[math]\displaystyle{ {M_y – N_x \over N} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ x }[/math] 만의 함수일 때. 적분인수는 [math]\displaystyle{ e^{\int{M_y-N_x \over N} \, \mathrm{dx}} }[/math] 이다.이 만의 함수일 때. 적분인수는 이다. [math]\displaystyle{ {M_y – N_x \over M} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ y }[/math] 만의 함수일 때. 적분인수는 [math]\displaystyle{ e^{\int{M_y-N_x \over M} \, \mathrm{dy}} }[/math] 이다.
4.1.3 1계 선형 상미분방정식 [ 편집 ]
1계 선형 상미분방정식은 일반적으로 다음과 같이 나타난다.
[math]\displaystyle{ a_1(x){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + a_0(x) y = f(x) }[/math]양변을 [math]\displaystyle{ a_1(x) }[/math] 로 나누면
[math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + P(x)y = Q(x) }[/math]와 같이 쓸 수 있다. 이를 표준형이라고 한다.제차일 경우, 즉 [math]\displaystyle{ Q(x) = 0 }[/math]일 때는 [math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over y} = -P(x)\mathrm{dx} }[/math]이므로 변수분리형이고, 적분하면 풀 수 있다.
비제차일 경우, 그 적분인수는 [math]\displaystyle{ \mu (x) = e^{\int P(x)\, \mathrm{dx}} }[/math] 이고, 해는
[math]\displaystyle{ y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, \mathrm{dx} + C \right) }[/math] 이다.증명은 간단하다. 양변에 적분인수를 곱하면,
[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{dx}}\mu\left(x\right)+\mu\left(x\right)P\left(x\right)y=\mu\left(x\right)Q\left(x\right) }[/math]이고, 이것은 곧 [math]\displaystyle{ \left(y\mu\left(x\right)\right)’=\mu\left(x\right)Q\left(x\right) }[/math]이다. 양변을 적분해준 뒤 적분인수를 나눠주면 [math]\displaystyle{ y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, dx + C \right) }[/math] 이다.4.1.4 치환 [ 편집 ]
변수를 다른 변수로 치환하여 푸는 방법이다. 세 가지 경우에 적용할 수 있는 각각의 풀이법이 있다.
4.1.4.1 첫번째 경우 [ 편집 ]
방정식 [math]\displaystyle{ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 }[/math]가 [math]\displaystyle{ M(tx,ty)=t^\alpha M(x,y), N(tx,ty)=t^\alpha N(x,y) }[/math]를 만족하는 경우에 쓸 수 있는 풀이방법이 있다. 이 경우 각각의 계수를
[math]\displaystyle{ M(x,y)=x^\alpha M(1,u), N(x,y)=x^\alpha N(1,u)(u=y/x) }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ M(x,y)=y^\alpha M(v,1), N(x,y)=y^\alpha N(v,1)(v=x/y) }[/math] 형태로 변환할 수 있다. 이 중 첫번째 경우로 방정식에 대입하여 식을 전개해 보자. [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ dy=udx+xdu }[/math] 꼴이 나올 것이다. 이를 방정식에 대입하면 [math]\displaystyle{ x^\alpha M(1,u)dx+x^\alpha N(1,u)(udx+xdy)=0 }[/math] 이 된다. [math]\displaystyle{ x^\alpha }[/math]로 나누면 [math]\displaystyle{ M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0 }[/math] 꼴이 되고, [math]\displaystyle{ (M(1,u)+uN(1,u))dx+xN(1,u)du=0 }[/math] 로 정리된다. 이것을 변수 분리 형태로 정리하면 [math]\displaystyle{ {dx \over x}+{N(1,u)du \over M(1,u)+uN(1,u)}=0 }[/math] 이 된다. 이 풀이법은 매우 복잡해 보이지만 중간 과정에서 [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 임을 활용해 방정식을 전개한 것을 생각하면 사실 위의 조건만 만족하는지를 따져본 이후 바로 [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ x=vy }[/math] 를 대입하여 풀면 된다.4.1.4.2 두번째 경우 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ {dy \over dx}=f(Ax+By+C), B
eq(0) }[/math]를 만족하는 경우에 적용할 수 있는 풀이법이다. 간단하게 [math]\displaystyle{ u=Ax+By+C }[/math] 로 치환하여 풀 수 있다.
4.1.4.3 베르누이 방정식 [ 편집 ] [math]\displaystyle{ {dy \over dx}+P(x)y=Q(x)y^n }[/math] 꼴의 미분방정식을 베르누이 방정식(Bernoulli’s Equation)이라고 한다. [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] 의 경우에는 선형 1계 미분방정식이고 특히 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ Q (x)=0 }[/math]인 경우 선형 제차 1계 미분방정식이므로, 상술되어 있는 풀이 방법을 통해 풀면 된다. 그 외의 경우 [math]\displaystyle{ u=y^{1-n} }[/math] 로 치환하여 선형 미분방정식 꼴로 변환하여 풀 수 있다.
4.2 2계 이상의 상미분 방정식 [ 편집 ]
여기서 부터는 약간 찍어 맞추는 듯한 풀이를 쓰게 된다.
4.2.1 제차 [ 편집 ]
적당한 실수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y=e^{rt} }[/math]라 가정한다. 이를 [math]\displaystyle{ ay”+by’+cy=0 }[/math]에 넣고 간단히 정리하면 [math]\displaystyle{ ar^2+br+c=0 }[/math]이다. 이 방정식의 근을 [math]\displaystyle{ r_1,\,r_2 }[/math]라 했을 때, 총 세 가지의 경우가 존재한다.
1. [math]\displaystyle{ r_1
eq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{R} }[/math]:
[math]\displaystyle{ y=e^{r_1t},\,y=e^{r_2t} }[/math]가 두 특수해가 된다. 일반해는 특수해의 선형결합이므로, 적당한 실수 [math]\displaystyle{ c_1,c_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t} }[/math]가 해.2. [math]\displaystyle{ r_1
eq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{C} }[/math]:
두 근이 복소수인 경우. [math]\displaystyle{ r_1=\alpha+i\beta }[/math]라 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ e^{r_1t}=e^{\alpha t}\left(\cos\beta t+i\sin\beta t\right) }[/math]이다 (오일러의 공식). 적당한 연산을 통해 실수부와 허수부가 각각 원 방정식의 특수해가 됨을 알 수 있다. 더욱이 이 두 특수해는 선형 독립이므로, [math]\displaystyle{ e^{\alpha t}\left(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t\right) }[/math]가 일반해이다.
3. [math]\displaystyle{ r_1=r_2 }[/math]:
먼저 [math]\displaystyle{ e^{r_1t} }[/math]가 한 해임을 알 수 있다. 이를 [math]\displaystyle{ y_1 }[/math]이라 하자. 나머지 한 특이해를 찾기 위해 Variation of Parameter 방법을 사용한다.
적당한 [math]\displaystyle{ v\left(t\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y_2=y_1v }[/math]가 방정식 [math]\displaystyle{ y”+Py’+Q=0 }[/math]의 해라고 가정하자. 여기에 [math]\displaystyle{ y_2 }[/math]를 대입하고 정리하면 [math]\displaystyle{ y_1v”+\left(2y_1’+Py_1\right)v’=0 }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ y_1
eq0 }[/math]이라고 가정하면, [math]\displaystyle{ v”+\left(\frac{2y_1′}{y_1}+P\right)v’=0 }[/math]이고, 이는 [math]\displaystyle{ v’ }[/math]에 관한 일차 선형 상미분 방정식이다. 이를 풀어주면 [math]\displaystyle{ v\left(t\right)=\int{\frac{\exp\left(-\int P\left(t\right)\mathrm{dt}\right)}{{y_1}^2}}\mathrm{dt} }[/math]이다. 특이할 점은, [math]\displaystyle{ y”+\frac{b}{a}y’+\frac{c}{a}y=0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ v\left(t\right)=t }[/math]라는 것이다. 따라서 두번째 특수해는 [math]\displaystyle{ y_2=te^{r_1t} }[/math]임을 알 수 있고, 따라서 일반해는 [math]\displaystyle{ c_1e^{r_1t}+c_2te^{r_1t} }[/math]이다.
4.2.2 비제차 [ 편집 ]
제차의 일반해를 [math]\displaystyle{ y_h }[/math], 비제차의 한 특수해를 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ y=y_h+\psi }[/math]는 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 된다. 증명은 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ \phi }[/math] 가 비제차 선형 미분방정식의 한 해라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \phi-\psi }[/math] 는 제차 선형 미분방정식의 해이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \phi-\psi=y_h }[/math] 이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \phi=y_h+\psi }[/math] 이다. 이는 곧 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 [math]\displaystyle{ y_h+\psi }[/math] 임을 나타낸다.문제는 여기서 어떻게 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]를 찾느냐 이다. 아래는 그 방법들.
Variaion of Parameters: 적당한 [math]\displaystyle{ u_1\left(t\right),\,u_2\left(t\right) }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ \psi=u_1y_1+u_2y_2 }[/math] 라 가정하자 ( [math]\displaystyle{ y_1,y_2 }[/math] 는 제차 선형 미분방정식의 두 해). 이를 원 방정식에 넣은 뒤 계산을 해주면 [math]\displaystyle{ {u_1}’=-\frac{y_2g}{W\left[y_1,y_2\right]},\,{u_2}’=\frac{y_1g}{W\left[y_1,y_2\right]} }[/math] 이다 ( [math]\displaystyle{ g }[/math] 는 비제차 항, [math]\displaystyle{ W }[/math] 는 Wronskian). Judicious Guessing: 이름에서 알 수 있듯이, 찍어 맞추는 것이다. 만약 비제차 항이 다항식이라면, 특수해도 다항식의 형태. 지수함수가 곱해져 있다면 특수해에도 지수함수가 곱해져 있을 것이다. 만약 사인이나 코사인이 있다면 복소수를 사용한 다항식의 형태가 특수해. 특수해의 각 계수는 미정계수법을 사용해 찾는다. 라플라스 변환
일반적으로는 두 번째 방법이 제일 빠르다. 만약 계산이 복잡해 진다면 라플라스 변환을 시도하자.
4.2.3 상수계수 상미분 방정식 [ 편집 ]
차수가 3 이상일 경우에는 기본적으로 2계 상미분 방정식과 동일한 방법을 사용한다. 비제차의 경우에는 Judicious Guessing이나 라플라스 변환을 사용해 특수해를 찾는 것도 동일.
4.3 비선형 상미분방정식 [ 편집 ]
이 문단은 비어 있습니다. 내용을 추가해 주세요.
4.4 연립 미분방정식 [ 편집 ]
미분방정식 여러 개가 연립되어 있는 형태. 여기서 부터는 행렬이 필수이며, 고유값과 같은 선형대수학적 지식도 필요하다.
이와 관련한 주제는 이와 관련한 주제는 편미분방정식 에서 다룹니다.
편미분방정식(Partial Differential Equation)은 독립변수가 여러 개인 미분방정식이다.
4.6 수치해석 적 방법 [ 편집 ]
정확한 해를 구하기 힘든 미분방정식이 많기 때문에 컴퓨터 등을 이용해 근사적인 해를 구하기 위한 방법들이 많이 존재한다.
5 각주
6강. 일반해와 특수해(2)
미분방정식(6)
2012년 12월 10일 월요일
오전 4:18
일반해란 무엇인가?
지난시간에 일반해에 대해 알려드리려다가…
이 각박한 세상 속에서 정신을 안 차려서…
엄청난 오개념을 포스팅 해 버렸습니다 ㅜ.ㅜ
오개념 짚어주신 오늘의 유머 ABC님 감사드립니다.
그래서 오개념 바로잡기 긴급 프로젝트에 들어갑니다.
전부터 느끼는 것인데…
전공책은 페이지 순서대로 공부하면 바보입니다.
전공서적은 소설책이 아닙니다.
필요한 부분은 먼저 공부 하는…
페이지 순서를 무시해야 될 경우가 자주 있어요
저도 원래는 당연히 맨 앞쪽부터 차례대로 공부 했지만
아무것도 모르고 억지로 공부하던 내용이
뒤에서 설명이 되어 있는 경험을 몇 번 겪어 본 뒤로는
웬만한 책에는 다 있는 색인을 적극 활용하게 되었어요
모르는 개념이 나왔다!!
그러면 책 맨 뒤로 가서 색인을 찾거나
맨 앞으로 가서 목차에서 모르는 부분 찾아서
그 부분 먼저 공부하고… 그랬지요
과학 공부하시는 많은 분들은
천성이 책을 볼 때 중간내용을 건너 뛰는 것을
본능적으로 거부감 갖는 분들이 많은데…
(저는 그랬어요 ㅋㅋㅋ)
책 왔다갔다 하면서 공부하시는 것!
적응 하셔야 할 겁니다.
그러니… 우선은 그냥… 저만 따라 오세요
필요한건 먼저 배우게 해 드릴게요 ㅋㅋ
그나저나 일단 저부터 오개념을 바로 잡아야 해서…
며칠 동안 다시 공부하다 보니 일반해를 제대로 설명하려면
한 두 번 글 쓰는 것으로는 감당이 안될 듯 하지만 어쨌든 시작 하겠습니다.
잠깐 앞 부분의 진도는 건너 뛰고
8.5절부터 봐야합니다.
한글판 보아스는 417페이지~~
8.5 계수가 상수이고, 우변이 0인 이차선형방정식
이런 형태의 미분방정식의 해를 고찰한다고 하면서 시작하네요.
그러고보니…. 우변이 0이면 동차방정식이라고 말씀 드렸죠?
기억 안 나시면 미분방정식(4) 를 참고하세요~!
이런 형태의 예제로 다음 방정식을 풀어 보겠습니다.
이 표기법을 사용하면 식 (5.2)는 다음과 같이 표현 됩니다.
괄호 부분을 인수분해하면
이렇게 표현이 가능합니다.
식 (5.5)는… 필요 없어서 안 씁니다.
그런데 지금 미분연산자를
마치 변수에 곱해진 문자처럼 다루고 있는데…
이게 수학적으로 타당한가?
이런 의아함이 생기죠?
미분방정식을 풀다가 보면
미분연산자를 통째로,
또는 부분적으로 이항시키면서 계산 할 경우가 많습니다.
마치 문자식의 사칙연산 하는 것 처럼…
이런 연산은 미분연산자의 연쇄법칙 에 의해
연산과정의 타당성을 보장 할 수 있습니다.
책에서는 이런 표현이 가능함을 확인하라고 하는데…
이건 해를 먼저 구한 다음에 직접 해 보면서 체험하는 것이
훨씬 와 닿을 것 같아서 일단은 넘어가겠습니다.
그럼 결과를 다시 가지고 와서
이걸 어떻게 풀어가느냐~~하면
우리는 지금 y가 뭔지 구하고 있었죠?
저거 만족하려면 y가 0이면 끝나네요 ㅋㅋㅋ
그런데 그러면 안되고…ㅋㅋㅋ
위 조건을 만족하는 y의 값이 해가 되는 것 입니다.
당연한 얘기죠?
가끔가다가…
라고 생각하시는 분이 계시는데….
연산자입니다.
연산자는 함수에 적용되어야 수학적 의미가 있는 것이지
그 자체로는 계산이 안 되는 개념입니다.
착각하지 마세요!
다시 본론으로 돌아와서…
이면
이렇게 되니까…
(쓰잘데기 없는 것 까지 설명하고 싶을 때가 있어요 ㅋㅋ)
암튼 우리는 식 (5.7)을 풀면 되는 것 입니다.
식(5.4)를 보조방정식, 또는 특성방정식 이라고 하는데…
보조방정식을 인수분해 하듯이 분리시켜서 식 (5.7)을 만들고
(5.7)에서 분리시킨 부분의 앞부분만 가지고 오면
이거죠?
이거 풀려면… 다시 미분방정식 형태로 풀어 써야 합니다.
너무 쓸데없이 자세히 설명한다고 뭐라 하지 마세요
이곳은 “처음 공부를 시작하는 대학생을 위한 블로그”입니다.
암튼 다시 풀어쓰면
저 마지막 식…
y라는 상태에 미분연산자를 적용시켰더니(빛을 비추었더니)
-4라는 고유값(물리량)을 내어 놓고(그림자가 생기고)
상태는 그대로 있더라~~~
라고 해석 할 수 있지요?
자… 한번 미분해서 상태가 유지되면서 앞에 계수만 튀어나오는 함수
뭐가 있을까요?
그건 바로 “익스포넨셜 함수”입니다.
대충 생각해도 답은 나오지만…
원론적으로 미방의 해가 익스포넨셜 함수 형태로 나오는 이유도
이미 다룬 적 있죠?
까먹으신 분들~~
피직이의 수리물리 강좌 4강 – 미분방정식의 해는 exponential?
편을 참고 해 주세요~
다시 본 내용으로 돌아와서
이 정도는 쉽죠?
나머지 하나
그리고 이제 중요한 말이 나옵니다.
식(5.8)의 두 해는 선형독립이다.
제가 맨 처음 미분방정식 강의를 하면서
선형이를 찾아 헤맸었죠?
그 때 찾은 선형이를 오늘 좀 더 명확히 해야 하겠네요 ^^
그냥 선형이 아니라 선형독립이어야 벡터공간에서의 표현이 가능합니다.
책에서 선형 독립에 대해서 3장을 참고하라고 되어있는데요
간단히 말하면 방향이 일치하지 않는 벡터들이 서로 선형 독립입니다.
약간 수학적 표현으로 “단위벡터가 일치하지 않는 관계”라고 할 수 있죠.
예를 들면…
위 두 벡터는 선형 종속입니다.
이 두 벡터는 선형종속관계입니다.
수학에서는 종속인지 독립인지 판별하는 방법이 있는데
임의의 계수를 곱해서 더했을 때
그 결과가 0이 될 수 있느냐 없느냐로 판별합니다.
선형종속이라고 판별 할 수 있습니다.
여기서 하나 더!
이 세 벡터는 얼핏 봐서… 더해서 0이 안 나오는데..
그럼 선형 독립이냐?
아닙니다.
보라색 벡터와 빨간색벡터에
적당한 상수를 곱해서(방향은 그대로이지만 길이만 바꿔서) 더해주면
이렇게 파란색 벡터와 반대방향의 초록색 벡터를 만들 수 있기 때문에
이런 벡터들도 서로 선형 종속관계입니다.
그럼 선형 독립이려면 어떤 관계여야 하나?
바로 벡터들이 서로 “직교”관계여야 합니다.
이 “직교”라는 개념이… 나중에 차원이 높아지면
우리가 상상하는 직교 개념과 좀 달라지긴 하지만…
일단 기본적으로 직교 개념은 단위벡터가 서로 수직인 것이 맞습니다.
우리가 제일 많이 쓰는 “직교좌표계”
영어로 rectangular coordinate system
또는 이를 만든 수학자 데카르트의 이름을 따서
데카르트 좌표계, 카르테시안 좌표계(Cartesian coordinate system)
이런 이름들이 붙어있는 직교좌표계가
바로 대표적인 선형독립인 벡터공간입니다.
x축, y축, z축은 그 어떤 조합으로도 서로를 상쇄시킬 수 없습니다.
이런 관계에 있는 것이 선형 독립이고…
이것을 판별하는 방법은 Wronskian 행렬식을 풀어보는 것 입니다.
Wronskian(론스키안)은 주어진 함수들이 선형 독립인지 종속인지를
판별하는 판별식으로 다음과 같은 행렬식으로 정의합니다.
보아스 수리물리 한글판 136페이지 식(8.5)
이 때, 위와 같이 정의된 론스키안 행렬식의 값이 0이 아니면 이 함수들은 선형 독립이다.
라고 되어있는데…
왜 이러는 걸까요?
선형 독립을 판별하기 위해
이상한 행렬식을 풀어야만 하는 불편한 진실
다음시간에 계속됩니다.ㅋㅋ
Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
모든 노트 및 정보를 한 곳에서 볼 수 있습니다.
자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 미분방정식
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일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 ‘일반적 해법’이 존재한다.
1차 선형 상미분방정식을 풀어내기 위해 이 ‘일반적 해법’만 익히면 문제 없을 것이다. 포스팅을 끝까지 읽으면 어느새 1차 선형 미방 풀이의 고수가 되어있을 것..
먼저 1계 선형 미분방정식의 형태에 대한 이야기를 시작하겠다.
1계 선형 미분방정식 “형태”
여기서 알아야 할 것은 표준형이 어떤 형태인가이다.
(1계 선형 미방을 풀기 위해서는 표준형을 잘 알아둬야 한다!)
표준형으로 바꿔주기
보통 알고있는 1차 선형방정식 형태에는 dy/dx의 계수 a1(x)가 붙어있다. 이 선형계수가 1이 아니라면 양변을 선형계수로 나눠서 dy/dx의 계수가 1이 되도록 만들어준다. 그럼 1계 선형 미분방정식에서 y의 계수인 P(x)를 찾을 수 있을 것이고, 이어서 f(x)부분도 찾을 수 있다. (위 이미지 참고)
이때 P(x)와 f(x)를 계수함수라고 부르는데, 이 계수함수 P와 f가 모두 연속이 되는 어떤 구간 I에서 해를 구하게 된다.
자 그럼이제 ‘해를 구하는 방법’에 대해 이야기할 차례다.
1계 선형 미분방정식 해 구하는 방법 – 두가지
만약에 미분방정식의 형태가 표준형인 dy/dx+P(x)y=f(x)가
ㅇ변수분리형이면 변수분리로 풀면 되고 – 방법 링크
ㅇ변수분리형이 아니라면 ‘적분 인자’라는 것을 이용한다. – 오늘 포스팅 내용이다.
참고:
선형이고 변수분리형인 미방: dy/dx + 2xy = 0
선형이고 변수분리 불가인 미방: dy/dx + y = x
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그럼 적분 인자가 뭘까? – 적분 인자 이해하기
1계 선형 미분 방정식을 푸는 방법 중에는 ‘양변에 특수한 함수 μ(x)를 곱해서’ 푸는 방법이 있다. 먼저 말하자면 μ(x)가 적분 인자다. 아무튼 이 방법을 통해 식을 전개해나가면 어떻게 되느냐? 적분의 과정을 거쳐서 미분방정식의 해 y(x)를 찾아낼 수 있다. 아직 무슨 얘긴가 싶을 수 있다. 이 얘기를 받아들이려면 다음 과정을 슥 보면 된다.
일단 앞서 배운 미분방정식의 형태인 ‘표준형 dy/dx+P(x)y=f(x)’을 기억하고 다음 내용을 읽어야 한다.
위 과정을 읽고나서 아하! 했으면 이걸 기억하자!!
ㅡ 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)의 양변에 적분인자를 곱한 방정식의 좌변은 “적분인자 곱하기 y”의 도함수 꼴이다.
이걸 알아야 문제에 적용가능하다. 어떻게 적용가능하느냐? 이따가 예제로 볼 거긴 하지만, 말로 대충 설명해보겠다. step1 ~ step4
step1)
표준형으로 변형한, 또는 이미 표준형으로 주어진 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)에서 P(x)를 파악가능하다.
step2)
P(x)를 아니까, 적분인자 m(x) = e^integral P(x) dx 를 얻는다.
미분방정식에서 P(x)만 파악하면 바로 적분인자를 얻어낼 수 있는 것이다.
step3)
주어진 미분방정식의 양변에 적분인자를 곱해야 한다. 그러면
이런 꼴이 나올텐데, 여기서 아까 말한 것을 기억해야 한다!! 좌변이 뭐였는가?
좌변은 d/dx [적분인자 y] 꼴이 자동적으로 된다! 이 말은 즉,
“적분인자를 곱한 방정식의 좌변을
형태로 다시 써줄 수 있다는 것이다!”
이렇게 다시 써줘야 양변을 적분하여 전개가 가능하다.
step4)
이제 양변을 적분하여 y에 관하여 풀면
y(x)를 찾아낼 수 있다!
사실 이렇게 보는 것보다는.. 펜 직접 들고 예제 한두번 풀어보는 게 이해에 훨씬 도움이 된다.
그래서 예제를 하나 안내하겠다.
유의점: x의 범위 설정 : 계수함수 P,f가 모두 연속이 되는 구간 I에서 해를 구하게 되는 거라고 했다.
혹시 읽는 사람 있으면 흔적 하나 남기구 가주세요~~ ㅠㅅㅠ
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키워드에 대한 정보 미분 방정식 일반 해
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