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구형파의 푸리에 변환? 다음 신호는 비주기 신호이므로 푸리에 급수가 아닌 푸리에 변환을 써야 합니다. 적분 구간을 -τ/2부터 τ/2까지로 바꿔줍니다. 분모의 ω가 있고 Sin 안에 ω가 있으므로 Sinc 함수로 바꿔줄 수 있습니다.
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[신호및시스템] 푸리에 변환의 예제 – 1 – 네이버 블로그
그림과 같은 파형 구형파(Rectangular Pulse)가 있다. p타우는 폭이 타우고 높이가 1인 구형파를 의미한다. 우함수의 성질을 이용해 푸리에 변환의 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 6/5/2021
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04-6. 푸리에 급수 예제를 손으로 풀어보기
푸리에 변환, 신호/푸리에 변환의 모든 것 … 펄스파(pulse wave) 혹은 구형파(矩形波)라고 불리는 신호이다. 구형파의 구(矩)는 ‘네모’라는 의미의 …
Source: infograph.tistory.com
Date Published: 10/2/2022
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[선형변환] 푸리에 변환 Fourier Translation – PinkWink
위에서 부터 구형파와 삼각파, 싱크(sinc)함수를 정의합니다. 이제. 충격함수를 푸리에 변환하면 1이라는 것과 그 쌍대성을 이용하여 1을 푸리에 변환 …
Source: pinkwink.kr
Date Published: 2/26/2021
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[Linear Algebra] Lecture 27-(1) 연속 시간 푸리에 변환 …
이제 이와 같이 생성한 사각파를 푸리에 변환(Fourier Transform)을 통해 주파수 영역으로 바꿔보자. 함수 f(t)를 만들었기 때문에 푸리에 변환식 (4.2)를 …
Source: twlab.tistory.com
Date Published: 9/13/2021
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Fourier Series
복소 지수함수 Fourier Series. • 직교 함수 집합 : 구간 t … 크기가 1이고 펄스 폭이 1인 사각 펄스(구형파) … 비주기 신호의 Fourier Transform.
Source: contents.kocw.or.kr
Date Published: 1/2/2021
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강철호
구형파의 특성은 시간 축 그래프에서 효율적으로 표현 … 그림 4.11 4초 주기로 반복되는 주기 구형파 함수 … 그림 4.18 구형파의 연속 시간 푸리에 변환.
Source: electron.silla.ac.kr
Date Published: 11/25/2022
View: 3319
구형파 – 나무위키:대문
구형파는 기본 파형의 한 종류로, 좌표평면에 나타내었을 때 사각형 모양의 파형 … 구형파 함수 이를 1차 변환하여 진폭과 주기를 변경할 수 있다.
Source: namu.wiki
Date Published: 6/20/2022
View: 1381
[디지털신호처리] 푸리에급수, 푸리에 변환 – 요람에서 무덤까지
식 (5.25)는 역 푸리에 변환(IFT)Inverse Fourier Transform이라고 하며, 주파수 스펙트럼 X(ω)로부터 시간신호 x(t)를 재현하는 주파수 합성이다. 이때 x …
Source: ogu45.com
Date Published: 2/9/2021
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주제에 대한 기사 평가 구형파 푸리에 변환
- Author: 공돌이의 수학정리노트
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- Date Published: 2021. 12. 11.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=YsG8fJsH9JE
구형파를 푸리에 변환한다면? / 스펙트럼의 특성
구형파의 푸리에 변환?
다음 신호는 비주기 신호 이므로 푸리에 급수가 아닌 푸리에 변환 을 써야 합니다.
-∞부터 -τ/2까지 신호의 값이 0이고, +τ/2부터 +∞까지 신호의 값이 0이므로
적분 구간을 -τ/2부터 τ/2까지로 바꿔줍니다.
[신호및시스템] 푸리에 변환의 예제 – 1
● 예제1 : 구형파(Rectangular Pulse)
그림과 같은 파형 구형파(Rectangular Pulse)가 있다.
p타우는 폭이 타우고 높이가 1인 구형파를 의미한다.
우함수의 성질을 이용해 푸리에 변환의 정의로 계산한다.
여기서 싱크 함수(sinc function)을 도입한다.
싱크 함수의 정의는
로 분자와 분모의 사인함수 관계를 잘 봐야한다. 책에 따라서 싱크 함수에 파이가 포함되는지 안되는지는 다를 수 있다.
푸리에 변환의 결과에서 싱크 함수 형태로 바꾸면,
● 예제2 : t를 곱한 구형파
그림과 같은 파형이 있다.
푸리에 변환의 성질 중에 다음을 이용한다.
n=1인 경우이고 구형파의 경우는 앞의 예제에서 답을 구했으므로 결과를 이용한다.
● 예제3 : 임펄스 열(Impulse Train)
위의 그림과 같은 임펄스 열이 있다. 시그마를 이용하여 함수를 표현한다.
위의 임펄스 열은 주기가 To인 주기 함수로 볼 수 있다. 주기 함수의 푸리에 변환은 원래 가능하지 않지만 임펄스를 이용하여 나타낼 수 있다. 주기 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
g(t)는 δ(t)라 하고 G(ω)는 g(t)의 푸리에 변환이라고 하면 델타의 푸리에 변환은 1이므로 G(ω) = 1이다.
위의 식에 G(ω) = 1을 대입하면,
임펄스 열의 푸리에 변환은 다시 임펄스 열이 된다.
04-6. 푸리에 급수 예제를 손으로 풀어보기
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앞 장까지 푸리에 급수에 대해 알아봤다.
푸리에 급수는 아래와 같은 식으로 표현되었다.
푸리에 급수의 삼각함수 표현
$$ \begin{align} &y(t) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \quad \quad (식\; 1) \\ &a_0 = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \quad \quad (식\; 1-1) \\ &a_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \quad \quad (식\; 1-2) \\ &b_n = \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \quad \quad (식\; 1-3) \end{align} $$
푸리에 급수의 복소지수 표현
$$ \begin{align} &y(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}{C_n e^{in\omega t}} \quad \quad (식\; 2) \\ &C_n = \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t)e^{-in\omega t} dt} \quad \quad (식\; 2-1)\\ \end{align} $$
푸리에 급수의 의미를 체감하기 위해서는, 간단한 파형 하나를 정해서 직접 손으로 푸리에 급수식을 유도해보는 게 좋다.
아래와 같은 파형의 신호가 있을 때, 이를 푸리에 급수를 이용해서 주파수 영역의 함수로 바꿔 보자. 펄스파(pulse wave) 혹은 구형파(矩形波)라고 불리는 신호이다.
구형파의 구(矩)는 ‘네모’라는 의미의 한자이다. 근데, 실생활에서 이 한자가 쓰이는 부분은 거의 없다. 군대에서 똑바로 각지어서 걷는다는 ‘구보’ 정도가 이 한자를 쓰는 경우이다. square wave를 일본에서 구형파라고 이름 붙인 것을 우리가 그냥 쓰는 듯하다.
(그림 1) 시간에 대한 신호 파형
그림을 보면 주기는 $2\pi$다. 따라서 $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}$이고, $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot \frac{1}{2\pi}=1$이 된다.
$-\pi$ ~ $\pi$까지에 대해서 푸리에 급수로 표현해 보자.
$-\pi$에서 $\pi$까지의 함숫값은,
$$ \left\{\begin{matrix} -1 & -\pi< t \leq 0 \\ 1 & 0 < t \leq \pi \end{matrix}\right.$$ 먼저 (식 1-1)을 이용해서 $a_0$를 구해보면 $a_0=0$이 됨을 알 수 있다. $$ \begin{align} a_0 &= \frac {1}{T} \int _{0}^{T}{y(t) dt} \\ & = \frac {1}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {-1}dt + \frac {1}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {1}dt \\ & = \frac {1}{2\pi} \left [ -t \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac {1}{2\pi} \left [ t \right ] _{0} ^{\pi} \\ & = \frac {1}{2\pi}(0-\pi) + \frac {1}{2\pi}(\pi-0) \\ & = 0 \end{align} $$ (식 1-2)를 이용해서 $a_n$을 구하면, $a_0$와 마찬가지고 $0$이다. $$\begin{align} a_n &= \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \cos n\omega t dt} \\ &= \frac{2}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {(-1)\cos {nt}}dt + \frac{2}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {(1)\cos {nt}}dt\\ &= \frac{1}{\pi} \left [ -\frac{1}{n} \sin {nt} \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac{1}{\pi} \left [ \frac{1}{n} \sin {nt} \right ] _{0} ^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} (0+0) + \frac{1}{\pi} (0-0) \\ & = 0 \end{align}$$ (식 1-3)을 이용해서 $b_n$을 구하면, $$ \begin{align} b_n &= \frac {2}{T} \int _{0}^{T}{y(t) \sin n\omega t dt} \\ &= \frac{2}{2\pi} \int _{-\pi} ^{0} {(-1)\sin {nt}}dt + \frac{2}{2\pi} \int _{0} ^{\pi} {(1)\sin {nt}}dt\\ &= \frac{1}{\pi} \left [ \frac{1}{n} \cos {nt} \right ] _{-\pi} ^{0} + \frac{1}{\pi} \left [ -\frac{1}{n} \cos {nt} \right ] _{0} ^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} (\frac{1}{n} \cdot 1-\frac{1}{n} \cos {n\pi}) + \frac{1}{\pi} (-\frac{1}{n} \cos {n\pi}+\frac{1}{n} \cdot 1) \\ &= \frac {1}{\pi}(\frac{2}{n} - \frac{2}{n}\cos{n\pi}) \\ &=\frac{1}{n\pi}(2-2(-1)^n) = \left\{\begin{matrix} 0 & (n:even\; number)\\ \frac{4}{n\pi} & (n:odd\; number) \end{matrix}\right. \end{align} $$ $b_n$ 값이 짝수일 때는 0이고 홀수일 때 $\dfrac {1}{n\pi}$이기에, $n=1$ ~ $\infty$ 값에 대해서는 $b_n=\dfrac {1}{(2n-1)\pi}$ 이라고 할 수 있다. 이제 $a_0$, $a_n$, $b_n$을 (식 1)에다가 넣으면, $$ \begin{align} y(t) &= a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)} \\ &= 0 + \sum _{n=1}^{\infty}{(0 + \frac{1}{(2n-1)\pi} \sin n\omega t)} \\ &= \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n-1)\pi} \sin n\omega t} \tag{식 3} \end{align} $$ (식 3)을 자세히 보면, 사인 그래프인데, 진폭은 $\dfrac {1}{(2n-1)\pi}$이고 주파수는 $n\omega$이다. $n$이 커짐에 따라 진폭과 주파수가 달라지는데, 진폭의 경우 $n$이 분모에 있기 때문에, $n$이 커짐에 따라 진폭은 점점 작아질 것이고, 주파수의 경우는 $n$이 커짐에 따라 점점 커진다. 실제 그래프를 그려보면, $n$이 $1$일 때는 그냥 사인 곡선인데, $n$이 커짐에 따라 점점 펄스파에 가까운 모습으로 변한다. $n=999$ 정도 되면 거의 완벽한 펄스파가 된다. n을 크게 했다는 것은, n개만큼의 서로 다른 주파수 파형을 합쳤다는 것이다. 더 정확한 표현은, 기본 주파수의 정수배가 되는 파형들을, 주파수가 커짐에 따라 진폭은 작게 해서 합쳤다는 것이고, 이렇게 더 많은 주파수들을 합칠수록 펄스파에 가깝게 되는 것이다. -끝- 반응형
[선형변환] 푸리에 변환 Fourier Translation
본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 선형변환 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학 (신윤기 저, 도서출판 인터비젼)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.
푸리에 변환의 정의
푸리에 급수가 주기함수를 대상으로 하고 있다면 푸리에 변환은 비주기함수에도 그 영역을 확장시킨 것입니다.
위에 푸리에변환과 역변환 식입니다. 이는
지수푸리에 급수식에서 그 계수를 구하는 위 식의 주기 T를 무한대로 극한을 보내면 됩니다.
그러면
찾을 수 있지요.
푸리에 변환의 몇몇 공식
푸리에 변환은 쌍대성을 가집니다. 이는
와 같이 같은 함수에 대한 변환과 역변환이 같은 모양을 가진다는 것인데요.
변환의 정의식에 t대신 -omega를 대입하여 찾을 수 있습니다. 몇몇 함수를 정의해보면
위에서 부터 구형파와 삼각파, 싱크(sinc)함수를 정의합니다. 이제
충격함수를 푸리에 변환하면 1이라는 것과 그 쌍대성을 이용하여 1을 푸리에 변환하면 2pi가 곱해진 주파수영역에서의 충격함수가 나타남을 알 수 있습니다. 충격함수에는 0에서 무한대까지의 모든 주파수 성분이 포함되어있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 시스템에 어떤 충격함수를 입력으로 가하면, 모든 주파수 성분에 대한 출력을 조사할 수 있음을 의미합니다. 이래서 충격함수에 의한 시스템의 응답, 즉, 충격응답(Impulse Response)가 아주 중요하다는 사실을 알 수 있습니다. 이렇게 해서 몇몇 중요한 함수의 푸리에 변환을 보면
입니다.
푸리에 변환의 중요한 성질
푸리에 변환은 선형성을
만족 합니다. 또한
이동정리를 만족합니다. 이는 지수승의 곱의 형태는 푸리에 변환을 하면 주파수영역의 이동을 의미합니다. 또 상대성을 이용하면 시간영역의 이동은 수파수 영역의 지수승의 곱을 의미하지요.
실수배의 관계를 가지기도 하며
위에서는 미분과 적분사이의 관계를 보여줍니다.
마지막으로 푸리에변환에서의 컨볼루션의 의미도 찾아볼 수 있습니다.
Fourier Tramsform.pdf
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[Linear Algebra] Lecture 27-(1) 연속 시간 푸리에 변환 (Continuous-Time Fourier Transform)
지난 시간까진 임의의 주기함수를 sin과 cos함수와 같은 기저함수(basis function)의 선형조합(Linear combination)으로 표현하는 방법인 푸리에 급수(Fourier Series)를 배웠다. 또한 여기에 허수(imaginary number)를 도입하여 지수함수로 간단히 표현하는 방법인 복소푸리에급수(Complex Fourier Series)에 대해서도 공부하였다. 이제 이번 강의부터는 복소푸리에급수로부터 출발하여 시간 영역에서 수집된 신호를 주파수 영역으로 변환시키는 푸리에 변환(Fourier Transform)에 대해 공부하도록 하겠다.
1. 푸리에 급수(Fourier Series)에서 푸리에 변환(Fourier Transform)으로
– Basic idea of Fourier Transform
지난 강의에서 배웠던 푸리에 급수는 임의의 주기함수(periodic signal)를 다루는 방법이다. 하지만 살다보면 주기함수보다 비주기함수(aperiodic signal)를 접할 경우가 훨씬 많다. 우리가 일상생활에서 대화할 때 내는 목소리, 콘서트장에서 듣는 가수의 음성, 자동차 경적 소리, 심지어 우리가 보는 창밖 풍경도 카메라로 찍어 2차원의 이미지로 변환했을 때의 신호는 비주기 신호이다. 이처럼 우리는 주기함수보다 비주기함수를 다루고 해석해야 할 일이 훨씬 많다. 그러나 푸리에 급수는 주기신호에만 작동하기 때문에 비주기 신호를 다룰 수 없다. 그렇다면 어떻게 비주기 신호를 다룰 수 있을까? 이러한 비주기 신호를 주기신호로 만들어주면 가능하다. 아래의 그림을 살펴보자.
Fig. 1 비주기 신호[Up]를 주기 신호[Down]로 만드는 과정
Fig. 1의 첫 번째 그림은 -T1에서 T1의 시간 동안 측정된 어떤 비주기 신호 f(t)를 나타낸다. 가로축은 시간 t를 나타내고 세로축은 신호의 강도를 의미한다. 이 f(t)는 어떤 반복되는 패턴이 없이 불규칙한 파형을 보이는 비주기 신호이다. 이미 배웠듯이 이러한 상태로는 푸리에 급수를 이용하여 신호를 나타낼 수 없다. 따라서 이 비주기 신호를 주기신호로 만들어야 한다. 어떻게 만들 수 있을까?
주기신호로 만들기 위한 핵심 아이디어는 바로 -T1~T1 사이의 신호를 하나의 주기 동안 반복되는 패턴이라고 생각하는 것이다. 즉 현재의 비주기 함수 f(t)를 기준으로 주기 T만큼 떨어진 곳에 똑같은 패턴의 신호를 놓는 것이다. 그렇게되면 원래의 비주기 함수 f(t)가 T주기로 계속 반복되는 패턴이 형성되어 결과적으로 주기신호가 만들어지는 것이다. 이렇게 만든 주기함수가 바로 Fig. 1의 아래쪽의 그래프이다.
Fig. 1의 아래쪽에 보이는 비주기 신호 f(t)로부터 만들어진 주기 신호는 f(t)에 물결표시를 붙여서 $\tilde{f}(t)$ (f tilde로 발음)로 표기한다. 양의 방향과 음의 방향으로 각각 T의 주기마다 원래의 비주기 신호가 반복되는 모습이다.
여기서 우리는 한 가지 매우 중요한 사실을 알 수 있는데, Fig. 1에서 한 주기 T의 구간만 놓고 봤을 때, 즉 -T/2~T/2 혹은 0~T에서는 주기신호와 비주기신호가 같다는 것이다. 별것 아닌 것으로 보이겠지만, 이는 매우 중요한 포인트이며 푸리에 급수에서 푸리에 변환으로 넘어가는 아주 핵심 개념이 된다. 이것이 첫 번째 핵심 아이디어이고, 두 번째 핵심 아이디어는 주기를 늘리는 것으로부터 시작한다. Fig. 1의 아래 그림에서 period T라고 표시된 주기를 점점 늘려나가는 상상을 해보자. 즉 가운데 있는 비주기신호와 그 다음 나타나는 비주기신호 사이의 거리가 점점 늘어나서 무한대로 멀어진다고 생각해보자. 이때의 그림은 바로 Fig. 1의 위에 나타난 비주기신호의 그림과 동일해질 것이다. 이와 같이 두 번째 핵심아이디어는 비주기신호로부터 만들어진 주기신호는 주기가 무한대로 증가할수록 원래의 비주기신호와 점점 같아진다는 것이다. 이 두 가지 핵심 아이디어를 식으로 표현하면 아래와 같다.
식 (1.1)은 첫 번째 핵심아이디어를 나타낸다. 즉 t의 크기가 T/2보다 작다는 것은 t가 한 주기 T내에 존재할 때를 의미하며, 이때 주기신호와 비주기신호는 같으며, Fig. 1의 아래의 주기신호에서 가운데 -T/2~T/2사이의 신호만을 의미한다. 식 (1.2)는 두 번째 핵심 아이디어를 의미하며, 주기신호 f(t)의 주기 T가 무한대로 갈수록 주기신호는 비주기신호와 점점 같아진다는 것이다. T가 무한대로 간다는 것은 Fig. 1의 아래의 주기신호에서 가운데 신호와 양 옆의 신호들과의 간격이 점점 넓어지는 것을 의미한다. 이 두 가지 핵심 아이디어를 푸리에 급수에 적용하면 우리는 비주기신호를 다룰 수 있는 푸리에 변환(Fourier Transform)을 정의할 수 있다. 이제 푸리에 급수에 이 아이디어를 적용해보자.
2. 분석방정식(Analysis equation)과 합성방정식(Synthesis equation)
– Analysis equation for Aperiodic signal
지금부터 공부할 내용은 앞서 배웠던 두 가지 아이디어를 푸리에 급수에 적용하여 분석방정식(Analysis equation)을 도출할 것이다. 분석방정식이라고 거창하게 이야기 했지만 사실 푸리에 급수의 계수를 구하는 식을 분석방정식이라 표현하는 것이므로 너무 어렵게 생각하지 말자. 우선 지난 시간에 배웠던 복소푸리에급수의 식을 다시 써보자.
식 (2)는 지난 시간에 배웠던 복소푸리에급수의 일반식을 그대로 쓴 것이다. 지난 시간에는 주로 T=2PI인 경우를 가정하여 푸리에급수를 다루어 왔으나, 임의의 주기 T에 대한 일반화된 식은 (2)와 같이 쓸 수 있다. 여기서 시간에 관한 변수를 x로 작성했었는데, 보다 직관적인 표기를 위해 시간에 대한 변수를 x대신 t로 바꾸어서 쓰도록 하겠다. 또한 주기 신호와 비주기 신호를 구분해야 하기 때문에 f(t)대신 물결표시를 붙여 f tilde로 표기하도록 한다. 이렇게 바꾸어 작성하면 (3)과 같이 쓸 수 있다.
식 (3.1)은 주기함수를 다룰 수 있는 푸리에급수에 관한 식을, (3.2)는 각 주파수 성분이 전체 신호에서 어느 정도의 기여를 하는지를 나타내는 가중치(weight), 혹은 계수(coefficient)를 구하는 식이다. 이때 (3.1)을 종합방정식(synthesis equation), 혹은 합성방정식이라 하고, (3.2)는 분석방정식(analysis equation)이라고 한다. (3.2)의 푸리에 급수 계수를 구하는 분석방정식들을 종합하여 합성방정식을 정의하고 이를 통해 어떤 주기신호에 대한 푸리에 급수를 정의할 수 있는 것이다.
지금부터가 중요하니 집중해서 보도록 하자. (3.2)를 보면 적분이 분명 한 주기에 대한 구간, 즉 -T/2~T/2사이에서 일어나고 있다. 다시 말하면 어떤 주기신호에서 한 주기 T의 구간에서 진행되는 적분이다. 그런데 우리는 두 번째 아이디어에서 주기 신호의 주기를 무한대로 보내면 비주기 신호와 점점 같아진다고 하였고, 주기 신호와 비주기 신호는 적어도 한 구간 T에서는 같다고 정의하였다. 이는 다시 말하면 식 (3.2)의 주기 신호(periodic signal)의 한 구간에 대한 적분에서 주기 T를 무한대로 보낸 것은 비주기 신호(aperiodic signal)를 한 주기 T에 대해서 적분한 것과 같음을 의미하는 것인데, 이때 T를 무한대로 보냈으므로 비주기 신호를 무한대의 영역에 걸쳐 적분한 것과 같다. 확인을 위해 먼저 식 (3.2)의 적분식에서 주기 T를 무한대로 보내보자.
(※ 참고로 식에 존재하는 T를 전부 한번에 무한대로 보내지는 않을 것이다. 이후에 합성방정식을 정리할 때 작용해야 할 부분들이 있기 때문에 T를 단계적으로 무한대로 보낼 것이다)
식 (3.2)는 주기 신호의 푸리에 급수의 계수를 구하는 식이다. 여기서 주기 T를 무한대로 보내면 각각 -T/2는 음의 무한대, T/2는 양의 무한대가 된다. 앞서 우리는 한 주기내에서는 주기와 비주기 신호가 같다고 정의했으므로 f tilde를 비주기 신호를 나타내는 문자 f(t)로 바꿔쓸 수 있다. 이렇게 하여 (3.3)과 같이 정리할 수 있는데, 여기서 1/T은 주파수 $f$와 같고, $2\pi/T$를 각주파수(Angular frequency)를 나타내는 기호인 오메가($\omega_0$)로 표기할 수 있다. 이렇게 하여 주기 신호(Periodic signal)의 푸리에 급수에 대한 계수 식 (3.2)를 (3.4)와 같이 비주기 신호(Aperiodic signal)에 대한 푸리에 급수 계수의 식으로 나타낼 수 있다.
다시 말하면 식 (3.2)를 Fig. 1의 아래쪽 주기 신호에 대한 한 구간(-T/2~T/2)에서의 식으로, (3.4)를 Fig. 1의 위쪽의 비주기 신호에 대한 식을 나타낸 것으로 이해하면 된다. 이 둘은 식의 형태는 약간 다르지만 동일한 신호를 나타내는 것이다. f와 f tilde를 유의해서 보자.
(※ 앞서 언급했지만 한 번더 강조하자면 여기서 적분기호 인테그랄 앞의 1/T과 복소지수함수에 존재하는 T는 아직 그대로 있는 것을 볼 수 있는데, 이들은 전체식을 유도할 때 다루기 위해 일단 그대로 두도록 하자. 전체 식과 같이 볼 때 어떤 작용을 하기 때문이다)
이제 우리는 식 (3.4)를 통해 비주기 신호에 대한 푸리에 급수의 계수들을 구할 수 있게 되었다. 식 (3.4)는 매우 중요한 역할을 하는 식이며, 이 식으로부터 우리는 푸리에 변환(Fourier Transform)을 정의할 수 있다. 아래의 식을 보자.
식 (3.4)는 앞서 말했듯이 비주기 신호 f(t)에 대한 푸리에 급수 계수를 구하는 식이다. 이제 식의 양변에 주기 T를 곱해주면 식 (4.1)과 같이 정리할 수 있는데, 아직까지는 지수함수의 지수부에 대한 입력 파라미터로 임의의 정수 n과 고정된 각주파수(angular frequency) $\omega_0$를 받는 것으로 정의되어 있다. 이 n과 $\omega_0$의 곱을 연속변수(continuous variable) 오메가($\omega$)로 정의하여 다시 식을 정리하면 (4.2)와 같이 정리할 수 있는데, 여기서 연속변수로 정의한다는 것은 각주파수 $\omega_0$가 0으로 가는 것을 의미한다. $\omega_0=2\pi/T$임을 생각해본다면 T를 무한대로 보냄에따라 $\omega_0$가 0으로 가고, 그에 따라 오메가가 연속 변수가 됨을 유추할 수 있다. 여기서 cn앞에 곱해져 있는 주기 T는 아직 무한대로 보내지 않은 상태이다. 여기까지 정리한 식 (4.2)가 바로 푸리에 변환(Fourier Transform)이다.
식 (4.2)는 비주기 신호 f(t)를 무한대의 영역에서 적분하여 $F(\omega)$로 변환시키는데, 사실 식 (4.3)과 같이 $F(\omega)$를 주기 T로 나누어주면 푸리에 급수 계수 cn을 구할 수 있게 된다. 이는 매우 중요한 사실을 의미하는데, 원래의 푸리에 급수는 주기 신호만 다룰 수 있고, 주기 신호의 푸리에 급수 계수 cn만을 구할 수 있는데, 식 (4.2)를 통해서 비주기 신호에 대한 푸리에 급수 계수 cn을 구할 수 있게 된 것이다. 이것이 푸리에 변환이 하는 핵심 역할중 하나이다. 결국 는 비주기 신호 f(t)의 푸리에 급수 계수들에 대한 포락선 함수(envelope function)라 할 수 있다.
여기서 다시 한 번 생각해보자. 푸리에 급수의 계수 cn을 구한다는 것은 어떤 의미인가? 계수 cn은 어떤 신호를 푸리에 급수로 표현했을 때, 특정 주파수가 그 신호를 만들어내는데에 있어 얼마만큼 기여하는지를 나타내는 수치이다. 어떤 신호에 대한 푸리에 계수 cn을 모두 구해서 주파수를 x축으로 하여 이 계수들을 전부 나열했다고 생각해보자. 이때의 그래프는 해당 신호의 주파수에 대한 분포를 나타내는 것이다. 결국 푸리에 계수 cn을 구한다는 것은 어떤 신호의 주파수 성분의 분포를 구하여 주파수의 분석이 가능하도록 만들어주는 수학적 도구라고 할 수 있다.
이처럼 식 (4.2)의 비주기 신호에 대한 푸리에 변환을 할 때 구하고자 하는 주파수 성분의 계수를 구하기 위해선 입력값으로 $n\omega_0$를 넣어주면 계수 cn을 구할 수 있게 되는 것이다. (4.3)과 같이 은 주기 T가 곱해진 값이 구해지고, 실제 계수 cn을 구하기 위해선 T로 나누어주면 된다. 이러한 cn을 연속적으로(continuously)구해서 연결해주면 f(t)의 계수값들에 대한 포락선(envelope)이 구해진다. 포락선이란 쉽게 말해 임의의 신호의 최대값들을 연결하여 구성한 신호로 어떤 신호의 전체 외곽선(outline)을 나타낸 것으로 생각하면 된다(wiki 참조).
이렇게하여 비주기 신호의 푸리에 급수의 계수를 정의할 수 있는 푸리에 변환을 정의하였다. 푸리에 변환은 다른 말로 분석방정식(Analysis equation)이라 하는데, 그 이유는 뒤이어 공부할 합성방정식의 내용에서 함께 설명하도록 하겠다. 비주기 신호의 푸리에 변환 (4)는 비주기 신호의 합성방정식을 정의하는데에 있어 매우 중요한 역할을 한다. 이제 이를 기반으로 비주기 신호의 합성방정식을 정의해보자.
– Synthesis equation for Aperiodic signal
비주기 신호를 다룰 수 있는 푸리에 급수(합성방정식)를 정의하는 전략은 크게 두 단계로 나뉘는데, 먼저 비주기 신호의 양옆에 같은 패턴의 신호를 주기적으로 붙여서 주기 신호로 만들고, 그 다음 이렇게 만들어진 주기 신호의 주기를 무한대로 보내어 비주기 신호를 주기 신호와 같이 정의할 수 있도록 만드는 것이다. 즉 주기 신호에 대한 푸리에 급수식으로부터 비주기 신호의 푸리에 급수 식을 정의하는 것이다. 아래의 식을 보자.
식 (5.1)은 주기 함수에 대한 푸리에 급수식이다. 여기서 $\omega_0=2\pi/T$와 식 (4)에서 정의했던 cn에 대한 식을 기존의 식에 각각 대체해주면 (5.2)와 같이 정리할 수 있다. 이때 cn에 대한 식은 오메가($\omega$) 를 아직 연속변수로 설정하지 않은 상태, 즉 식 (4.1)의 상태이다. 다음으로 주기 T를 $T=2\pi/\omega_0$와 같이 대체하여 (5.3)과 같이 정리하자. 이제 마지막으로 주기 T를 무한대로 보내자. 주기가 무한대로 감에 따라$\omega_0$가 0으로 수렴하고 결국 delta omega($d\omega$)가 된다. 이 delta omega에 의해 이산적인 합을 계산하는 시그마는 연속적인 합을 계산하는 적분(integral)으로 변화하게 되고, n과 곱해졌던 $\omega_0$들은 연속변수인 $\omega$로 쓸 수 있다. 이렇게 식을 정리하면 최종적으로 식 (5.4)와 같이 쓸 수 있다.
식 (5.4)는 최초의 주기신호의 푸리에 급수 (5.1)에 푸리에 변환(Fourier Transform)식 (4.2)를 적용하여 유도한 것이다. 이렇게 유도된 식 (5.4)가 바로 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)이다. 푸리에 변환과 역푸리에 변환을 다시 한 번에 정리해보자.
식 (6.1)를 보면 비주기 신호의 함수 f(t)가 시간의 영역($dt$)에서 무한대에 걸쳐 적분이 이루어지고 있다. 그리고 그 결과는 입력 주파수 $\omega$에 대한 출력값 이다. 즉 를 그래프 상으로 보자면 수평(horizontal)축은 주파수$\omega$이고 수직(vertical)축은 해당 주파수가 얼마만큼의 강도를 갖는지에 대한 값 이다. 결과적으로 (6.1)의 푸리에 변환을 통해 시간 영역(time domain)에서 정의된 비주기 함수 f(t)를 주파수 영역(frequency domain)으로 변환시키는 꼴이 된다. 이렇게 변환을 시키게 되면 f(t)에 주파수들이 어떻게 분포해 있는지를 파악할 수 있다. 이와 같이 시간 영역에서의 신호를 주파수 영역에서 분석(Analysis)할 수 있도록 만들어 주는 것이 푸리에 변환(Fourier Transform)이고 이를 분석방정식(Analysis equation)이라 한다. 또한 식에 존재하는 허수로부터 푸리에 변환 결과가 식 (6.2)와 같이 복소수 형태로 나온다는 것을 유추할 수 있다. 혹은 (6.3)과 같이 푸리에 변환의 크기(magnitude)와 각도(angle)로 표현할 수 있다. 식 (6.3)의 크기와 각도는 각각 푸리에 스펙트럼(Fourier Spectrum)과 위상(phase)이라고 할 수 있는데, 경우에 따라서는 스펙트럼 못지않게 위상에도 중요한 정보가 담겨있는 경우가 많다.
푸리에 변환식과는 반대로 식 (7.1)는 비주기 신호에 대한 주파수 영역의 함수 가 주파수 영역($d\omega$)에서 무한대에 걸쳐 적분이 이루어지고 있다. 그리고 그 결과는 원래의 시간 영역에서의 비주기 함수 f(t)이다. 이는 결과적으로 어떠한 비주기 신호의 주파수 영역에서의 값들을 적분하여 원래의 신호를 복원하는 것이다. 이것이 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)이고 주파수 영역의 값들을 합성(synthesis)하여 시간 영역에서의 신호를 만들어주는 합성방정식(Synthesis equation)이다.
이와 같이 푸리에 변환 및 역변환은 시간 영역에서 수집된 신호를 주파수 영역에서 분석할 수 있게 해주고, 주파수 영역의 값들을 이용해 다시 시간 영역의 신호로 합성할 수 있는 방법론을 제공해준다. 따라서 푸리에 변환이 분석방정식, 푸리에 역변환이 합성방정식으로 각각 불리는 것이다. 이러한 관계를 표현한 것이 식 (7.2)이다. 푸리에 변환/역변환을 이용하면 특정 주파수대의 신호를 제거하거나 더해주는 등 다양한 조작이 가능하며 실제로는 잡음(noise) 제거, 혹은 음성 변조 등의 응용이 가능하다.
3. 연속시간 푸리에 변환의 예
– Continuous-Time Fourier Transform of Square wave
연속시간 푸리에 변환(Continuous Fourier Transform)의 이해를 돕기 위해 예를 들어보자. 마찬가지로 사각파(square wave)를 이용하도록 하겠다. 아래 그림은 임의의 비주기 사각파를 나타낸다.
Fig. 2 비주기 사각파(Aperiodic square wave)를 주기 사각파로 만드는 과정
Fig. 2의 왼쪽 그림은 비주기 사각파를, 오른쪽은 양쪽에 일정 주기 T만큼 띄워서 동일한 패턴의 사각파를 놓아 주기 사각파(periodic square wave)로 만든 모습이다. 주기 신호로 만들었기 때문에 푸리에 급수로 위의 신호를 나타낼 수 있다. 이제 푸리에 급수를 적용하여 -T/2~T/2 구간에서 적분을 해보자.
식 (8)은 Fig. 2의 주기 사각파의 푸리에 계수를 구하기 위한 분석방정식(Analysis equation)이다. -T/2~T/2 구간을 살펴보면 총 세 곳으로 나누어서 적분을 수행할 수 있다. 이렇게 나눈 구간으로 만든 적분식이 (8.1)인데, 이중 -T0~T0를 제외한 나머지 구간은 f(t) 값이 0이기 때문에 식을 생략할 수 있다. 생략한 나머지 구간에 대한 식은 (8.2)와 같이 정리할 수 있고, 적분을 수행하면 (8.3)과 같이 되는데, 지수함수(exponential)식에 오일러 공식을 적용하여 정리하면 (8.4)와 같이 정리할 수 있다. cos항은 상쇄되어 없어지고 sin항만 남게 되는데, 이 부분이 (8.5)이다. 이제 소거되는 항들을 없애주어 정리하면 사각파의 푸리에 급수 계수를 구하는 식은 최종적으로 (8.6)과 같이 정리할 수 있다.
식 (8)에서 사각파에 대한 분석방정식을 도출하였으므로 이 식을 합성방정식(synthesis equation)에 대입하여 푸리에 급수로 표현하여 Fig. 2와 같이 사각파를 생성할 수 있다. 이제 이와 같이 생성한 사각파를 푸리에 변환(Fourier Transform)을 통해 주파수 영역으로 바꿔보자. 함수 f(t)를 만들었기 때문에 푸리에 변환식 (4.2)를 구현해주면 푸리에 변환을 할 수 있다. 아래 그림은 위의 사각파에 대한 푸리에 변환 결과이다.
Fig. 3 사각파의 주기에 따른 푸리에 변환 결과
Fig. 3은 사각파 푸리에 변환 결과를 나타낸다. 그러면서 동시에 사각파의 주기를 점점 늘리면서 푸리에 변환의 결과가 어떻게 변하는지를 나타내고 있다. Fig. 3의 첫 번째 줄의 왼쪽 그림은 사각파의 주기가 T0의 4배일 때의 파형을 나타내고, 오른쪽은 푸리에 변환 결과 그래프를 나타낸다. 푸리에 변환 그래프를 보면 우선 0에 가까운 저주파 구역의 푸리에 계수들이 높은 값을 가지고 있고, 고주파로 갈 수록 상대적으로 낮은 값을 가지고 있는 것으로 보인다. 이것이 의미하는 것은 왼쪽의 사각파형을 만들기 위해서는 낮은 주파수의 성분이 상대적으로 더 높은 기여를 하고 있음을 의미한다.
푸리에 변환 그래프에서 빨간색 그래프를 볼 수 있는데, 이는 각 푸리에 계수들의 극대값들을 이어 그린 포락선(envelope)이다. 이 포락선은 어떤 신호의 전반적인 패턴을 파악할 수 있는 신호로써 실제 신호처리에서도 신호분석을 위한 중요한 요소로써 사용되기도 한다.
다음 두 번째 줄의 그래프는 T0의 8배에 해당하는 주기를 가졌다. 첫 번째 사각파보다 주기가 2배 길어진 셈인데, 그에 따른 오른쪽의 푸리에 변환 그래프를 보면 앞의 그래프에 비해 보다 촘촘한 형태를 띄는 것을 볼 수 있다. 왜 이런 현상이 발생하는 것일까? 이는 주기를 늘림에 따라 주파수가 줄어들기 때문이다. 사각파의 푸리에 계수를 구하는 식 (8.6)을 다시 써보자.
1/T가 주파수 f와 같기 때문에 식 (8.6)의 주기 부분을 다시 정리해보면 (8.7)과 같이 정리할 수 있다. 주파수와 주기의 관계에 따라 주기가 증가할수록 주파수는 감소하기 때문에 똑같은 n=1일 때의 계수도 주기가 늘어날 수록 더 작은 주파수를 표현하는 셈이 되기 때문이다. 또한 푸리에 변환 그래프에서 값의 크기가 원래 사각파의 주기가 늘어남에 따라 줄어드는 모습을 볼 수 있는데, 이는 주파수를 보다 세밀한 영역에 걸쳐 표현했기 때문에 해당 주파수의 실제값에 근접하게 되는 것이다.
Fig. 3의 마지막 줄의 그래프를 보면 사각파는 T0의 32배에 해당하는 주기를 가진 것이고, 이때의 푸리에 변환의 그래프는 보다 부드러운 형태가 된 것을 볼 수 있다. 이런식으로 주기 무한대까지 증가한다면 결과적으로 푸리에 변환의 포락선은 연속적(continuous)인 그래프의 형태에 가까워질 것이다. 이것이 연속시간 푸리에 변환(Continuous-Time Fourier Transform)이다.
정리하자면 최초의 비주기 사각파에서 동일한 패턴의 신호들을 양쪽에 더해 주기 신호를 만들고, 여기에 푸리에 급수를 적용한다음, 다시 주기를 무한대로 보내서 푸리에 변환을 수행한 것이다. 식 (4.2)의 푸리에 변환식을 보면 비주기 함수 f(t)를 적분하여 푸리에 변환을 수행하는데, 이는 기존의 주기 신호의 주기를 무한대로 보내어 원래의 비주기 신호와 동일하게 만든것이다. 이러한 수학적 트릭을 통해 우리는 애초에 다룰 수 없었던 비주기 신호를 푸리에 급수로 다루는 것은 물론 푸리에 변환을 통해 주파수 영역에서 해석할 수 있는 기틀을 마련한 것이다.
아래는 본문에서 다루었던 연속 시간 푸리에 변환을 구현한 MATLAB 코드이다. 코드의 마지막 부분에 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)에 대한 코드도 작성하였으니 관심있다면 돌려보기 바란다. (※ 참고로 아래의 코드는 연속시간 푸리에 변환의 개념을 설명하기 위한 코드이므로 최적화된 코딩은 아니며, 수식을 최대한 직관적으로 구현하려고 노력하였다)
4. 마치며(continue)
이번 강의에선 연속시간 푸리에 변환에 대해 공부하였다. 푸리에 변환의 주요 목적은 주파수 영역에서 신호를 해석하는 것, 그리고 비주기 함수를 다루는 것이다. 실생활에서 대부분이 비주기 신호이고, 이러한 비주기 신호는 푸리에 급수로는 다룰 수 없었다. 그러나 이를 주기 함수로 만들고, 다시 주기를 무한대로 보내는 등의 트릭을 이용하여 우리는 비주기 함수를 푸리에 변환시킬 수 있었다.
그러나 아직 주기함수를 푸리에 변환시키는 것에 대해서는 이야기하지 않았다. 다음 강의에서는 주기함수의 푸리에 변환에 대해 배우고 이산 푸리에 변환으로 넘어가도록 하자.
[디지털신호처리] 푸리에급수, 푸리에 변환
정현파(sinusoids)의 의미
정현파는 신호의 해석과 처리에서 매우 중요한 역할을 하는 기본적인 신호이다. 정현파는 아래 그림과 같이 길이가 <$A$>인 실에 매달려 반시계 방향으로 각속도 <$\omega$>를 가지고 <$T$>초 마다 한 바퀴씩 등속회전운동을 하는 송의 위치 <$x(t)$>를 시간에 대해 그려 얻는다. 이렇게 신호의 시간에 따른 값의 변화를 나타낸 것을 신호의 파형 이라고 하는데, 공이 한 바퀴씩 돌 때마다 <$x(t)$>는 같은 파형을 반복하게 된다. <$A$>: 진폭 amplitude
정현파가 진동하여 가질 수 있는 값의 범위
정현파가 진동하여 가질 수 있는 값의 범위 <$\phi$>: 위상 phase
각으로 표시된 원점에서 코사인파의 꼭짓점(사인파의 0점)까지의 거리
각으로 표시된 원점에서 코사인파의 꼭짓점(사인파의 0점)까지의 거리 <$\omega$>: 각주파수 radian frequency
정현파가 1초에 이동할 수 있는 라디안 각
$$\omega = {{2\pi} \over {T}} = 2\pi f$$
정현파가 1초에 이동할 수 있는 라디안 각 $$\omega = {{2\pi} \over {T}} = 2\pi f$$ <$T$>: (기본) 주기 (fundamental) period
정현파가 같은 파형을 반복하는 (최소)시간 간격
$$T = {{2\pi} \over {\omega}} = {1 \over f}$$
정현파가 같은 파형을 반복하는 (최소)시간 간격 $$T = {{2\pi} \over {\omega}} = {1 \over f}$$ <$f$>: 주파수 frequency
정현파가 1초에 같은 파형을 반복하는 횟수(진동횟수)
$$f = {1 \over T} = {{\omega} \over {2 \pi}}$$
신호의 표현과 주파수
햇빛과 프리즘의 예는 다음과 같은 중요한 결론을 담고있다.
신호를 더 기본적인 신호들로 쪼갤 수 있다는 것 신호를 시간이 아닌 주파수의 관점 에서 살펴보는 것이 매우 유용하다는 것
[그림 5-1]의 두 신호는 모두 주기가 <$T=1$> 인 주기 신호이다. 하지만 주기가 같다고 해서 주파수 특성이 같다고 말할 수 없다. 왜냐하면 [그림 5-1(b)]의 신호가 [그림 5-1(a)]의 사인파에 비해 값이 빠르게 변하기 때문이다. [그림 5-1(b)]의 신호는 그림에 나타낸 것과 같이 주파수가 1Hz와 3Hz인 두 개의 사인파로 이루어진 신호이다. 그러나 신호의 파형만 보고 이를 알아내는 것은 불가능하므로 햇빛을 나누는 프리즘과 같은 역할을 해 줄 도구가 필요하다. [그림 5-1]에서는 [그림 5-1(b)]의 신호를 두 개의 정현파로 쪼갰지만, 정현파가 아닌 다른 형태의 신호를 기본 신호로 사용함수도 있을 것이다. 그렇다면 기본 신호로 어떤 신호를 사용하는 것이 좋을까? 다음과 같은 성질을 만족하는 신호를(빛이나 색의 삼원색과 같은 역할을 하는) 기본 신호로 선택한다면 여러 가지로 편리하다. 이러한 기본 신호를 수학에서는 기저basis라고 한다.형태가 단순하고, 신호의 표현을 구하기 쉬워야 한다. 다양하고 폭넓은 신호들을 표현할 수 있어야 한다. 표현된 신호에 대한 시스템의 응답을 편리하게 표기할 수 있어야 한다. 한 주파수에 대해 오직 하나의 기본 신호만 존재(일대일대응) 해야 한다.
기본 신호 <$\{ \psi _i (t) \}$>가 선정되면, 식 (5.1)과 같이 이들의 일차 결합으로 신호를 나타낼 수 있으며, 신호의 표현을 구하는 문제는 결국 계수 <$c_i$>를 구하는 문제가 된다.
$$x(t) = \sum_{i} c_i \psi _i (t) \qquad \cdots \ (5.1)$$
정현파는 좋은 기본 신호가 갖추어야 할 성질들을 모두 만족하는 최적의 신호로서, 이 장에서는 정현파를 이용하여 주파수의 관점에서 신호를 표현하고 해석하는 문제를 다루게 된다. 이때 햇빛에 대한 프리즘의 역할을 푸리에 급수와 변환이 맡으므로, 이를 신호의 푸리에 해석 이라고도 한다.
모든 정현파는 파형의 모양이 같으므로 서로 구별할 수 있는 정보는 <$t=0$>에서 한 주기의 파형이 어느 위치에서 출발해서(위상 <$\phi$>) 얼마만한 크기로(진폭 <$A$>) 얼마나 빨리 반복되는지(주파수 <$f_0$>)에 관한 것 뿐이다. 따라서 이를 나타내면 다음과 같이 된다.
$$x(t) = Acos(s\pi f0 t + \phi) = Acos(\omega _0 t + \phi) \qquad \cdots \ (5.2)$$
그러므로 정현파를 시간의 함수로 파악하여 시간축 상의 그래프로 나타내기보다 주파수의 함수로 취급하여 주파수축 상에서 진폭과 위상으로 나타내는 것이 훨씬 효과적으로 정보를 전달할 수 있다. 이것이 바로 (주파수) 스펙트럼이며, 신호의 주파수 해석에서 가장 기본이 되는 핵심 개념이다.
[그림 5-2]는 정현파의 스펙트럼을 나타낸 것이다. 식 (5.2)의 진폭과 위상을 [그림 5-2(a)]와 같이 바로 그릴수도 있지만, 오일러Euler 공식을 이용하여 정현파를 식 (5.3)과 같이 복소 정현파로 바꾸어 표현하고 [그림 5-2(b)]처럼 이것의 진폭과 위상을 그리는 것이 더 일반적이다. 주파수축은 그림에서 보듯이 <$f$>Hz나 <$\omega$>rad/sec 어느쪽을 사용해도 상관없다.$$x(t) = {A \over 2}e^{j\phi}e^{j2\pi f_0 t} + {A \over 2}e^{-j\phi}e^{-j2\pi f_0 t} \qquad \cdots \ (5.3)$$
푸리에 급수
정현파를 이용하여 신호의 표현을 찾는 문제는 프랑스의 수학자 푸리에가 주기 신호를 주파수가 서로 다른 정현파의 합으로 나타낼 수 있음을 처음 발견한 것에서부터 시작되었다. 따라서 이를 일컬어 푸리에 해석Fourier analysis이라고 한다.
주기 신호와 푸리에 급수
정현파를 기본 신호로 채택하여 주파수에 대한 신호 표현을 찾아내는 문제를 다룰 때, 같은 파형이 규칙적으로 반복되는 주기 신호가 무질서한 신호보다 다루기가 쉬우므로 우선적인 대상이 될 것이다.
푸리에의 결과에 따르면, 주기신호는 그 신호와 같은 주기를 갖는 정현파와 이 정현파의 정수배의 주파수를 갖는 정현파들의 합으로 표현할 수 있다. 이때 주기 신호와 주기(<$T$>)가 같은 정현파를 기본파fundamental wave라 하고, 이 정현파의 주파수 <$f_0 = {1 \over T} \left \{ \omega_0 = {2\pi \over T} \right \}$>를 기본 주파수fundamental period 라 한다. 또한 <$kf_0 (k\omega _0, \ k=2,3,4,\ \cdots \ )$>의 주파수를 갖는 정현파를 <$k$>고조파harmonics 라고 한다.
[그림 5-1(b)]나 [그림 5-3]과 같이 몇 개의 정현파의 합으로 표현되는 주기 신호도 있지만, 보통은 더 많은 수, 경우에 따라서는 무한개의 정현파가 필요한 주기 신호도 있다. 따라서 푸리에의 결과를 일반화하여 수식으로 나타내면 다음과 같은 급수의 형태가 되며, 이렇게 정현파를 이용한 주기 신호의 표현을 푸리에 급수(FS) Fourier Series 라고 한다.$$x(t) = 직류(DC) + 기본파(cos항 + sin항) + 고조파들(cos항 + sin항) \\ \qquad a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}a_k cos k\omega _0 t + \sum_{k=1}^{\infty}b_k sin \omega _0 t \qquad \ \cdots \ (5.4)$$
[기본파, 고조파, 푸리에 급수]기본파: 주기 신호와 같은 주기를 갖는 정현파
고조파: 기본파의 주파수(기본주파수)의 정수배 주파수를 갖는 정현파
푸리에 급수: 주기 신호를 기본파와 고조파들의 합으로 나타낸 것
주기 신호를 식 (5.4)와 같이 표현하려면 푸리에 계수라고 하는 각 항의 계수 <$a_0 , \ a_k , \ b_k$>를 구해야 하는데, 정현파 신호의 직교성을 이용하면 다음과 같이 쉽게 구할 수 있다.
$$a_0 = {1 \over T}\int_{T} x(t)\ dt \qquad \cdots \ (5.5)$$
$$a_k = {2 \over T}\int_{T} x(t)cosk\omega _0 t\ dt \qquad \cdots \ (5.6)$$
$$b_k = {2 \over T}_{T}x(t)sink \omega_0 t \ dt \qquad \cdots \ (5.7)$$
푸리에 급수의 세 가지 표현
생략
형식 푸리에 급수 계수 계산 변환 공식 삼각함수 $$x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}a_k cosk\omega _0 t \\ \qquad + \sum_{k=1}^{\infty}b_k sink\omega _0 t$$ $$a_0 = {1 \over T}\int_{T} x(t)dt$$ $$a_k = {2 \over T}\int_{T} x(t)cosk\omega _0 tdt$$ $$b_k = {2 \over T}_{T}x(t)sink \omega_0 t dt$$ $$a_0 = c_0 = X_0$$ $$a_k = c_k cos\phi _k$$ $$b_k = -c_k sin\phi_k = j(X_k – x_{-k})$$ 간결형
삼각함수 $$x(t) = \sum_{k=0}^{\infty}c_k cos(k\omega _0 + \phi _k)$$ $$c_0 = a_0 ,\ \phi _0 = 0$$ $$c_k = \sqrt{a_k^2 + b_k^2}$$ $$\phi_k = -tan^{-1} \left ({b_k \over a_k} \right )$$ $$c_0 = X_0$$ $$c_k = 2|X_k |$$ $$\phi_k = \angle X_k$$ 지수함수 $$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k e^{jk\omega _0 t}$$ $$X_k = {1 \over T}\int_T x(t) e^{jk\omega_0 t}\ dt$$ $$X_0 = a_0 = c_0$$ $$X_k = {c_k \over 2}e^{j\phi k} = {1 \over 2}(a_k – jb_k )$$ $$X_{-k} = X_k^*$$
푸리에 급수는 주기 신호가 기본 주파수의 정수배가 되는 주파수 성분만 가진다는 중요한 사실을 알려준다.
이러한 푸리에 급수 표현이 성립하기 위해서는 푸리에 급수가 수렴해야 하며, 수렴에 관한 조건을 정리한 것이 다음의 디리클레Dirichlet 조건이다.
신호의 한 주기 내에서 <$x(t)$>는 절대 적분가능absolutely integrable해야 한다.
$$\int_{T}|x(t)|\ dt$$ 신호의 한 주기 내에 존재하는 극대 극소점의 수는 유한해야 한다. 신호의 한 주기 내에 존재하는 불연속점의 수는 유한해야 한다.
[진폭 스펙트럼의 역할]진폭 스펙트럼은 힌소가 갖는 다양한 주파수 성분의 양(정현파의 진폭)을 나타낸다. 진폭 스펙트럼은 일반적으로 저주파에서 고주파로 갈 수록 값이 감쇠하는 양상을 보인다. 그리고 파형의 시간적 변화가 완만한 신호는 진폭 스펙트럼의 감쇠가 급격하고, 반대로 시간적으로 급격한 변화를 보이는 신호는 진폭스펙트럼의 감쇠가 완만하다.
파형 변화가 급하지 않고 비교적 매끄러운 신호라면, 신호의 대략적인 모양을 만들어주는 몇 개의 두드러진 저주파수 정현파와 세부적인 변화를 맞추어주는 작은 값의 고주파수 정현파들만으로 신호를 만들 수 있다. 이때문에 진폭 스펙트럼은 주파수 증가에 따라 빠르게 감쇠한다. 따라서 적은 수의 푸리에 급수 항으로도 양호하게 근사적으로 합성할 수 있다. 극단적인 예로 정현파의 경우에는 기본 주파수 <$\omega_0$>에서만 진폭 스펙트럼의 값이 나타난다. 반면에, 불연속점을 갖는 사각 펄스와 같이 급격한 변화를 포함하는 신호는 이를 구현하기 위해 많은 주파수 성분이 필요할 뿐 아니라 고주파 성분의 크기도 상대적으로 무시할 수 없는 값을 갖는다. 따라서 진폭 스펙터름은 주파수에 따라서 느리게 감쇠할 것이고, 신호를 근사적으로 합성할 때 오차를 작게 하려면 많은 수의 푸리에 급수 항이 필요하다.
사각 펄스 신호는 푸리에 급수로 전개하면 무한개의 주파수 성분을 가진다. [그림 5-10]은 스펙트럼에 존재하는 고조파들을 차례로 더하여 사각 펄스 신호를 합성하는 과정을 보인 것이다. 그림에서 보면 세 개의 고조파만 더해져도 사각 펄스와 비슷한 모양을 갖추지만, 아직 불연속점의 날카로운 모서리가 이 합성 신호에는 나타나지 않는다. 왜냐하면 날카로운 모서리를 구현하기 위해서는 급격히 변하는 (고주파수)성분이 필요하기 때문이다. 고조파의 수를 점진적으로 늘림에 따라 모서리는 서서히 날카로워지며 신호는 사각 펄스에 더욱 가까워진다.
그런데 [그림 5-10]에서 고조파의 수를 늘려가도 불연속점 부근에서 오버슈트가 생기며 파형이 평탄하지 않고 진동하는 현상을 관찰할 수 있다. 이론적으로는 무한개의 고조파를 더하면 정확히 사각펄스가 되어야 하지만, 실제 조파 합성 신호는 고조파의 수를 아무리 늘리더라도 불연속점 근처에서 항상 불연속 크기의 약 9%의 오버슈트가 생기며, 고조파수에 비례하여 진동도 더 빨라진다. 이러한 현상을 깁스Gibbs 현상이라고 한다.
[위상스펙트럼의 역할]위상스펙트럼은 각 주파수 성분의 시간축 상의 위치를 표시한다. 그러므로 진폭 스펙트럼이 같더라도 위상 스펙트럼이 다르면 신호의 파형이 달라진다. 이에 대한 예를 [그림 5-11]에 나타냈다.
[그림 5-11]의 신호는 모두 기본파와 제3고조파가 더해져서 만들어진 것으로, 진폭은 동일하나 위상이 다른 경우이다. [그림 5-11(a)]는 기본파와 고조파의 위상이 <$\phi_1 = \phi_3 = 0$>인 신호이고 [그림 5-11(b)]는 <$\phi_1 = \phi_3 = - {\pi \over 2}$>로 합성된 신호로서 파형이 완전히 다르다.그렇다면 두 정현파의 위상 <$\phi_1$>와 <$\phi_3$>사이에 어떤 관계가 있으면 원래의 파형 [그림 5-11(a)]가 유지될 수 있을까? 그림에서 보면 기본파와 제3고조파가 시간축 상에서 똑같은 거리만큼 이동한다면 신호의 파형은 바뀌지 않을 것이며, 이를 나타낸 것이 [그림 5-11(c)]이다. 이 경우 제3고조파의 주파수가 기본파의 세 배이므로 같은 시간 이동에 상응하는 위상은 세 배가 된다. 즉 <$\phi_3 = 3\phi_1$>으로, 각 고조파가 그 주파수에 비례하는 위상각만큼 달라지면 파형이 그대로 유지된다.
위상 스펙트럼의 또 다른 중요성은 불연속점과 같은 급격한 변화가 있는 신호를 통해 살펴볼 수 있다. 불연속점에서의 순간적인 변화를 만들어내기 위해서는 스펙트럼에 포함된 모든 (또는 대부분의) 고조파 성분이 불연속점 직전에서 같은 부호를 가져야 하며, 불연속점 직후에서 반대 부호를 가져야 한다. 다시 말해, 불연속점에서 모든 고조파 성분이 동일한 부호 변화를 보이며, 0점을 통과하도록 위상이 일치해야 한다. 이렇게 하면 합성된 신호의 불연속점에서는 날카로운 변화가 생기게 된다. 불연속점을 갖는 어떠한 신호의 파형에 대해서도 이러한 관계는 성립한다.
하나의 예로 [그림 5-12]의 톱니파 신호를 살펴보자. 이 그림에는 톱니파 신호의 파형과 함께 이 신호를 푸리에 급수로 전개한 결과의 첫 세 성분이 그려져 있다. 모든 주파수 성분의 위상은 불연속 신호를 푸리에 급수로 전개한 결과의 첫 세 성분이 그려져 있다. 모든 주파수 성분의 위상은 불연속 점인 <$t = \pm 1$>직전에는 모든 성분이 양이고 그 직후에는 음이 되도록 결정된다. 모든 고조파에서 일어나는 이러한 부호 변화가 더해져서 불연속점이 형성되는 것이다. <$t = 0$>에서 모든 고조파의 값은 0이 되지만 전후의 부호 변화가 일치하지는 않음을 볼 수 있다. 만약 위상 스펙트럼에 대한 조건이 맞지 않으면 모서리가 깎여나가고 퍼진 파형을 얻게 될 것이다.
이상의 논의에서 보았듯이, 신호를 합성할 때 위상 스펙트럼도 진폭 스펙트럼만큼 중요하다. 고조파의 진폭과 위상을 함께 적절히 조합해야 임의의 주기 신호 <$x(t)$>를 합성할 수 있으며, 이 고유한 조합이 바로 푸리에 스펙트럼Fourier Spectrum 이다.
푸리에 변환
세상에는 주기 신호보다 비주기 신호가 훨씬 많다. 따라서 비주기 신호에 대해서도 주파수 영역으로 변환할 수 있는 도구가 필요하다. 이때 가능하다면 논리적 일관성을 위해 이 도구가 푸리에 급수와 동일한 이론적 배경을 가지는 것이 바람직할 것이다.
푸리에 변환의 개요
푸리에 급수는 그 대상이 주기 신호에 한정되므로 더 폭넓게 비주기 신호에도 적용할 수 있는 주파수 영역 변환 도구를 찾아야만 한다. 하나의 방편으로 비주기 신호를 주기 <$T = \infty$>인 주기 신호로 간주해 푸리에 급수를 확장해 볼 수 있을 것이다.
이에 앞서 먼저 주기 신호의 주기를 점점 크게 하면 어떤 현상이 생기는지 [그림 5-14]의 사각 펄스 주기 신호를 가지고 살펴보자.
주기 신호는 기본 주파수 <$\omega_0$>의 정수배인 주파수 성분만 존재하기 때문에 <$\omega_0$>의 간격으로 늘어선 선 스펙트럼으로 나타난다. 그런데 <$\omega_0$>는 주기 T에 반비례하므로, 주기 <$T$>를 크게 할 수록 <$\omega_0$>는 점점 작아져서 선 스펙트럼의 배열 간격이 점점 줄어들어 조밀해진다.
[그림 5-14]를 보면, 신호의 주기가 두 배가 되면선 스펙트럼의 배열 간격이 반으로 줄어들어 스펙트럼이 빽빽해진다([그림 5-14(b)]). 주기를 크게 할수록 이러한 현상은 더욱 심해지고([그림 5-14(c)]), 극단적으로 주기가 무한대이면, 즉 <$T \longrightarrow \infty$>의 극한을 취하면 <$\omega_0 \longrightarrow 0$>이 되어 스펙트럼이 연속적으로 이어지는 형태가 된다([그림 5-14(d)]). 이러한 개념에 대한 수학적 접근을 위해 푸리에 급수를 나타내는 식 (5.11)을 다시 쓰면 다음과 같다.$$x(t) = \sum_{k = – \infty}^{\infty}X_k e^{jk\omega_0 t} = \sum_{k = – \infty}^{\infty} \left ( {\omega_0 \over 2\pi} \int_{-{T \over 2}}^{T \over 2} x(t)e^{-jk\omega_0 t} dt \right )e^{-jk\omega_0 t} \qquad \cdots \ (5.22)$$
<$T \longrightarrow \infty$>의 극한을 취하면 <$\omega_0 = {2\pi \over T}$>는 무한소가 되므로 <$\omega_0$>는 <$d\omega$>로, <$k\omega_0$>는 연속 변수 <$\omega$>로, 총합은 적분으로 바뀌어 식 (5.22)는 다음과 같이 바뀐다.
$$x(t) = \int_{\infty}^{\infty} \left [ {d\omega \over 2\pi} \int_{\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \right ] e^{j\omega t} \\ \qquad = {1 \over 2\pi}\int_{\infty}^{\infty} \left [ \int_{\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \right ]e^{-j\omega t}d\omega \qquad \cdots \ (5.23)$$
식 (5.23)의 두 번째 등식의 대괄호 안의 적분 항은 <$\omega$>의 함수이므로, 이를 다음과 같이
$$X(\omega ) = \int_{\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt \qquad \cdots \ (5.24)$$
로 정의하면 식 (5.23)은 다음과 같이 된다.
$$x(t) = {1 \over 2\pi}\int_{\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t}d\omega \qquad \cdots \ (5.25) $$
식 (5.24)를 푸리에 변환(FT)Fourier Transform이라 하며, 시간함수 <$x(t)$>의 주파수 스펙트럼 <$X(\omega )$>를 구하는 주파수 분해에 해당한다. 식 (5.25)는 역 푸리에 변환(IFT)Inverse Fourier Transform이라고 하며, 주파수 스펙트럼 <$X(\omega )$>로부터 시간신호 <$x(t)$>를 재현하는 주파수 합성이다.
이때 <$x(t)$>와 <$X(\omega )$>는 항상 일대일 대응 관계가 성립하는 쌍으로서 푸리에 변환쌍Fourier Transform Pair이라고 하며 <$x(t) \iff X(\omega )$>로 표기한다. 또한 표기가 편리하도록 <$X(\omega )$>가 <$x(t)$>의 푸리에 변환임은 <$X(\omega ) = \mathcal{F}\{ x(t) \}$>로, 역 푸리에 변환임은 <$x(t) = \mathcal{F}^{-1} \{ X(\omega ) \}$>로 나타낸다.
<$X(\omega )$>는 주기 신호의 푸리에 스펙트럼 <$X_k$>와 달리 연속된 주파수에 대해 값을 갖는 복소 함수로서 식(5.26)과 같이 극좌표 형식으로 쓸 수 있다. <$|X(\omega )|$>와 <$\angle X(\omega )$>를 주파수 <$\omega$>에 대해 그린 것이 진폭 스펙트럼과 위상 스펙트럼이다.
$$X(\omega ) = |X(\omega )|e^{-j\angle X(\omega )} \qquad \cdots \ (5.26)$$
푸리에 변환은 비주기 신호를 연속적인 주파수를 갖는 복소 정현파 <$e^{j\omega t}$>의 성분별로 구분하여 표시한 것이다.
$$X(\omega ) = \mathcal{F}\{ x(t) \} = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t} dt$$
푸리에 변환도 푸리에 급수와 마찬가지로 수렴 조건을 만족하는 신호에 대해서만 변환할 수 있다. 푸리에 변환은 주기 <$T$>가 무한대인 푸리에 급수에 해당되므로 기존의 디리클레 조건에서 주기와 관련된 부분들이 바뀌게 된다. 이를 정리하면 다음과 같다.
전 시간 구군에 대해 <$x(t)$>는 절대 적분 가능해야 한다.
$$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt\ < \ \infty \qquad \cdots \ (5.27)$$ 어떤 유한한 시간 구간에서의 신호의 극대 극소점의 수는 유한해야 한다. 어떤 유한한 시간 구간에서 신호의 불연속점의 수는 유한해야 한다. 유한한 에너지를 갖는 에너지 신호는 항상 식 (5.27)의 절대 적분 가능 조건을 충족시킨다. 이와 달리 계단 신호나 주기 신호와 같이 무한한 에너지를 갖지만 전력이 유한한 전력신호는 식 (5.27)을 충족시키지 못한다. 그렇지만 이러한 신호들은 폭넓고 흔하게 사용되므로, 전력 신호는 이론적으로는 푸리에 변환이 존재하지 않지만 필요에 의해 특별히 푸리에 변환이 존재하는 것으로 취급한다. 전력 신호의 푸리에 변환은 주파수 영역에서 임펄스 함수를 포함한다. 주기 신호의 푸리에 변환 비주기 신호 <$x(t)$>의 푸리에 변환 <$X(\omega ) $>와 이 비주기 신호를 주기 <$T$>로 반복시켜 얻은 주기 신호 <$x_T (t)$>의 푸리에 변환 <$X_T (\omega )$>의 관계를 살펴보자.
푸리에 급수 표현을 이용하여 <$x_T (\omega )$>의 푸리에 변환을 구하면
$$X_T = \int_{-\infty}^{\infty} x_T (t)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty}\left ( \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_k e^{jk\omega _0 t} \right )e^{-j\omega t}dt \\ \qquad = \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_k \int_{-\infty}^{\infty} \left ( e^{jk\omega _0 t} \right ) e^{-j\omega t}dt = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k \delta (\omega – k\omega_0) \qquad \cdots \ (5.31)$$
이다. 식 (5.31)로부터 주기 신호의 푸리에 변환은 기본 주파수의 정수배에 위치한 임펄스 함수들로 이루어져 있으며, 임펄스의 세기는 <$x_T (t)$>를 푸리에 급수로 전개했을 때 그 주파수의 푸리에 계수 <$X_k$>의 <$2\pi$>배로 주어짐을 알 수 있다.
그런데 한 주기 구간 동안 <$x_T (t)$>는 <$x(t)$>와 같고, 그 외의 구간에서 <$x(t) = 0$>이라는 사실을 이용하면, 주기 신호의 푸리에 계수 <$X_k$>는 다음과 같이 된다.
$$X_k = {1 \over T}\int_{T}x_T (t)e^{-jk\omega _0 t}dt = {1 \over T}\int_{-\infty}^{\infty}x(t) e^{-jk\omega t}dt = {1 \over T}X(k\omega_0 ) \qquad \cdots \ (5.32)$$
식 (5.32)를 식(5.31)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.
$$X_T (\omega ) = {2\pi \over T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega _0 ) \delta (\omega – k\omega_0 ) = \omega_0 \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega _0 ) \delta (\omega – k\omega_0 ) \qquad \cdots \ (5.33)$$
식(5.32)에서 보면, 주기 신호의 푸리에 급수의 계수 <$X_k$>는 비주기 신호의 푸리에 변환 <$X(\omega )$>를 크기를 <$1 \over T$>배하여 기본 주파수의 정수배, 즉 고조파 주파수 <$k\omega_0$>에서 샘플링한 값이다. 또한 식 (5.33)으로부터 주기 신호의 푸리에 변환은 비주기 신호의 푸리에 변환 <$X(\omega )$>를 고조파 주파수 <$k\omega_0$>에서 임펄스 샘플링한 것으로, 임펄스의 세기는 해당 주파수의 비주기 신호 푸리에 변환 값 <$X(k\omega _0 )$>에 주기 신호의 기본 주파수 <$\omega_0$>를 곱한 값이다.
이상의 결과로부터, 주기 신호를 푸리에 급수로 나타내든 푸리에 변환으로 나타내든 간에 주기 신호의 스펙트럼은 같은 파형을 가진 비주기 신호의 푸리에 변환을 샘플링한 이산 함수가 되며, 선 스펙트럼의 간격은 기본 주파수 <$\omega_0$>로 주어진다는 결론을 얻을 수 있다. 이는 [그림 5-14]와도 일치한다.
푸리에 변환의 성질
[변조]어떤 신호에 다른 신호를 곱하여 새로운 신호를 만들어 내는 동작을 변조modulation라고 하는데, 가장 기본적인 변조 방식이 [그림 5-16]에 나타낸 진폭변조(AM)Amplitude Modulation이다. 진폭 변조는 신호 <$x(t)$>에 정현파 <$cos\omega _0 t$>를 곱하여 정현파의 진폭을 변조시키는데, 정현파<$cos\omega _0 t$>는 신호 <$x(t)$>를 담아 나르는 역할을 하기 때문에 반송파carrier라 하며, 주파수 <$\omega_0$>를 반송 주파수carrier frequency라고 한다. 정현파<$cos\omega _0 t$>로 진폭 변조된 신호의 푸리에 변환을 구하면
$$\mathcal{F} \left\{x(t)cos\omega_0 t \right\} = {1 \over 2}\int_{-\infty}^{\infty}\left [ x(t)(e^{-j\omega_0 t}) \right ] e^{-j\omega t}dt \\ \qquad = {1 \over 2}\left (\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j(\omega – \omega_0)t}dt + \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j(\omega + \omega_0)t}dt \right ) \qquad \cdots \ (5.36) \\ \qquad = {1 \over 2} \left (X(\omega – \omega_0 ) + X(\omega + \omega_0 ) \right )$$
이다. 식 (5.36)은 <$x(t)$>에 주파수 <$\omega_0$>인 정현파를 곱하면 스펙트럼 <$X(\omega )$>가 <$\pm \omega_0$>만큼 이동됨을 보여준다. 이처럼 진폭 변조는 신호의 주파수 대역 이동에 이용한다. 예를들어, 모든 라디오 방송국이 동시에 음성 신호들을 방송한다면, 신호 상호 간에 간섭으로 수신기는 그 방송들을 분리할 수 없을 것이다. 그러나 각 라디오 방송국이 서로 다른 반송 주파수를 할당받아 주파수를 이동한 (변조된) 신호를 전송하게 되면, 라디오 수신기는 원하는 방송의 주파수 대역에 동조하여 방송을 수신할 수 있게 된다.
변조를 사용하는 또 다른 예로는 원래의 기저대역baseband 신호가 전송채널(안테나, 동축케이블, 광섬유 등)에 전송하기에 적합하지 않는 경우를 들 수 있다. 예를 들어, 음성 신호는 주파수대가 너무 낮아서, 즉 파장이 너무 길어서 이를 전파하려면 큰 안테나가 필요하다. 이 문제를 해결하려면 변조에 의해 (파장이 짧은) 높은 주파수 영역으로 스펙트럼을 이동시키면 된다.
이외에도 유용한 성질들이 많이 있으나, 아래 표에 푸리에 변환의 주요 성질들을 정리하여 나타내었다.
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