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그래프 이론에서 최단 경로 문제란 가장 짧은 경로에서 두 꼭짓점을 찾는 문제로서, 가중 그래프에서는 구성하는 변들의 가중치 합이 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 문제이다. 예를 들면, 도로 지도 상의 한 지점에서 다른 지점으로 갈 때 가장 빠른 길을 찾는 것과 비슷한 문제이다.

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최단 경로 문제 – 나무위키

그래프 상에서 정점과 정점 간의 최단 거리를 구하는 문제. … 그래프 상에서 단일 소스로 부터 다른 정점까지의 최단 경로를 구하는 알고리즘.

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Source: namu.wiki

Date Published: 4/18/2022

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최단 경로 문제 – 정리

다양한 문제 상황 … 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로 … 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 ‘음의 간선’이 없을 때 정상적으로 동작.

+ 여기에 표시

Source: better-tomorrow.tistory.com

Date Published: 9/19/2022

View: 8590

1753번: 최단경로

문제. 방향그래프가 주어지면 주어진 시작점에서 다른 모든 정점으로의 최단 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오. 단, 모든 간선의 가중치는 10 이하의 자연수이다.

+ 자세한 내용은 여기를 클릭하십시오

Source: www.acmicpc.net

Date Published: 12/14/2021

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• Date Published: 2019. 6. 15.
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최단 경로 문제

그래프 이론에서 최단 경로 문제란 가장 짧은 경로에서 두 꼭짓점을 찾는 문제로서, 가중 그래프에서는 구성하는 변들의 가중치 합이 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 문제이다. 예를 들면, 도로 지도 상의 한 지점에서 다른 지점으로 갈 때 가장 빠른 길을 찾는 것과 비슷한 문제이다. 이 때, 각 도로 구간에서 걸리는 시간을 변의 가중치라 할 수 있다.

보통은 주어진 가중 그래프에서 (V는 꼭짓점, E는 변, 가중치 함수 f : E → R) ∑ p ∈ P f ( p ) {\displaystyle \sum _{p\in P}f(p)} 가 v에서 v’로 가는 모든 경로들 중 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 문제이다. 이런 문제는 단일-쌍 최단 경로 문제라고 부르며, 아래의 일반화된 문제들과는 차이가 있다.

단일-출발 최단 경로 문제 : 단일 꼭짓점 v 에서 출발하여 그래프 내의 모든 다른 꼭짓점들에 도착하는 가장 짧은 경로를 찾는 문제이다.

: 단일 꼭짓점 에서 출발하여 그래프 내의 모든 다른 꼭짓점들에 도착하는 가장 짧은 경로를 찾는 문제이다. 단일-도착 최단 경로 문제 : 모든 꼭짓점들로부터 출발하여 그래프 내의 한 단일 꼭짓점 v 로 도착하는 가장 짧은 경로를 찾는 문제이다. 이 문제에서 그래프 내의 꼭짓점들을 거꾸로 뒤집으면 출발 최단 경로 문제로 바뀔 수 있다.

: 모든 꼭짓점들로부터 출발하여 그래프 내의 한 단일 꼭짓점 로 도착하는 가장 짧은 경로를 찾는 문제이다. 이 문제에서 그래프 내의 꼭짓점들을 거꾸로 뒤집으면 출발 최단 경로 문제로 바뀔 수 있다. 전체-쌍 최단 경로 문제 : 그래프 내의 모든 꼭짓점 쌍들 사이의 최단 경로를 찾는 문제이다.

위의 일반화된 문제들은, 전체-쌍 중 단일-쌍만으로 찾아가는 단순 접근 방식보다, 확실히 더 효율적인 알고리즘을 가진다.

알고리즘 [ 편집 ]

아래는 이 문제를 해결하기 위한 주요 알고리즘들이다.

데이크스트라 알고리즘 : 단일-쌍, 단일-출발, 단일-도착 최단 경로 문제를 풀 수 있다.

벨먼-포드 알고리즘 : 변의 가중치가 음수라면 단일 출발 문제를 풀 수 있다.

A* 탐색 알고리즘 : 탐색 속도를 높히기 위한 휴리스틱 방법을 사용하며, 단일-쌍 최단 경로 문제를 풀 수 있다.

플로이드-와셜 알고리즘 : 전체-쌍 최단 경로 문제를 풀 수 있다.

응용 [ 편집 ]

최단 경로 알고리즘은 웹 지도 등에서 실제 위치들 사이에 자동으로 경로를 탐색하여 운전방향을 잡아주고 명확한 경로를 찾는 데에 응용된다.

꼭짓점(V)은 상태, 변(E)은 가능한 전이로 표현되는 그래프와 같이, 만약 비결정적 추상 기계로 표현되는 어떤 문제에 대하여, 최단 경로 알고리즘은 목표 상태에 도달하기 위한 최적의 선택 순서를 찾거나, 주어진 상태에 도달하는 시간의 하한선을 찾는데 사용될 수 있다.

예를 들어, 한 꼭짓점이 루빅스 큐브와 같은 퍼즐 상태에 있고 각 방향의 가장자리 끝선이 한 번의 회전과 일치한다면, 최단 경로 알고리즘은 최소로 회전시키는 루빅스 큐브의 해답을 찾는데 응용할 수 있다.

최단 경로 문제를, 네트워크 또는 장거리통신에서는 최소-지연 경로 문제라고 부르기도 하며, 최광폭 경로 문제와 함께 다루어지는 것이 보통이다. 예를 들어, 최단 (최소-지연) 최광폭 경로, 최광폭 최단 (최소-지연) 경로가 있다.

6단계 분리(six degrees of separation) 게임에서, 같은 영화에 출연하는 영화배우들을 나타내는 그래프에서 최단 경로를 찾는 데에 응용되기도 한다.

대니 첸은 운영 연구, 공장 설비 배치, 로봇공학, 수송, VLSI 설계 등에 응용할 수 있음을 언급하였다.

관련 문제 [ 편집 ]

이동하는 세일즈맨 문제는 모든 경로를 한번씩 지나갔다가 시작점으로 돌아오는 가장 짧은 경로를 찾는 문제이다. 최단 경로 문제와는 달리 이 문제는 NP-완전하여, 효율적인 해를 찾을 수 없다.(P-NP 문제 참고) 또한, 최장 경로 문제 역시 NP-완전하다

같이 보기 [ 편집 ]

참고 [ 편집 ]

(Journal of Korea Multimedia Society Vol. 19, No. 8,-A Combination Method of Trajectory Data using Correlated

Direction of Collected GPS Data, Kwang Min Koo, Heemin Park)https://pdfs.semanticscholar.org/3389/0374991fac0fcc3e12b9a4d9a9f60299b16d.pdf

최단 경로 문제

최단 경로 알고리즘 : 가장 짦은 경로를 찾는 알고리즘

다양한 문제 상황

– 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로

– 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

– 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

각 지점은 그래프에서 노드로 표현

지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

최단 경로 알고리즘의 종류

다익스트라 최단 경로 알고리즘

플로이드 워셜,

벨만 포드 알고리즘

이 중 빨간색이 코딩 테스트에서 가장 많이 등장

다익스트라 최단 경로 알고리즘

특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 ‘음의 간선’이 없을 때 정상적으로 동작

– 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현 X

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류

– 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복

동작 과정

출발 노드를 설정 최단 거리 테이블을 초기화 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신 3번과 4번을 반복

※ 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다.

알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.

처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 ‘최단 경로’를 갱신

다익스트라 알고리즘 구현 방법 2가지

방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

방법 2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

과정

1에서 출발한다.

1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리 계산

초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 ‘무한’으로 초기화 (999,999,999 or 1e9)

방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택

STEP 1

출발 노드에서 출발 노드의 거리는 0으로 본다.

STEP 2

1. 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산 (2번, 3번, 4번 연결)

1) 2번 : 0 + 2 = 2

2) 3번 : 0 + 5 = 5

3) 4번 : 0 + 1 = 1

2. 기존 테이블의 2, 3, 4번의 경로는 무한이었는데 더 짧은 경로를 찾았기 때문에 새로운 값으로 갱신한다.

이미 처리된 노드와 간선을 표시한다.

STEP 3

이후 모든 단계에서도 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택 해야 한다.

1. 4번 선택

2. 4번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산 (3번, 5번 연결)

1) 3번 : 1 + 3 = 4

2) 5번 : 1 + 1 = 2

3. 위 두 값이 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신

STEP 4

1. 2번 선택 -> 2번과 5번까지의 최단 거리가 2로 같은데 이럴 때 일반적으로 번호가 더 작은 노드 선택

2. 4번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산 (3번, 4번)

1) 3번 : 2 + 3 = 5

2) 4번 : 2 + 2 = 4

3. 2번에서 출발하여 3번과 4번까지의 거리는 기존 계산한 거리보다 더 길다.

1) 3번까지의 최단 거리 : 기존 4 vs 신규 5

2) 4번까지의 최단 거리 : 기존 1 vs 신규 4

4. 때문에 최단 거리 테이블을 갱신하지 않는다.

STEP 5

1. 5번 선택

2. 5번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산 (3번, 6번)

1) 3번 : 2 + 1 = 3

2) 6번 : 2 + 2 = 4

4. 위 두 값이 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신.

STEP 6

1. 3번 선택

2. 3번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산 (2번, 6번)

1) 2번 : 3 + 3 = 6

2) 6번 : 3 + 5 = 8

3. 3번에서 출발하여 2번, 6번까지의 거리는 기존 계산한 거리보다 더 길다.

1) 2번까지의 최단 거리 : 기존 2 vs 신규 6

1) 6번까지의 최단 거리 : 기존 4 vs 신규 8

4. 때문에 최단 거리 테이블을 갱신하지 않는다.

STEP 7

1. 6번 선택

2. 연결된 곳이 없기 때문에 pass

최단 거리 테이블이 의미하는 바

1번 노드로부터 출발했을 때 2~6번 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4라는 의미

‘방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택’ 하는 과정

이렇게 선택된 노드는 ‘최단 거리’가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.

한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해

#include #include #include #define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정 using namespace std; // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start) // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정 int n, m, start; // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열 vector > graph[100001]; // 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기 bool visited[100001]; // 최단 거리 테이블 만들기 int d[100001]; // 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환 int getSmallestNode() { int min_value = INF; int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스) for (int i = 1; i <= n; i++) { if (d[i] < min_value && !visited[i]) { min_value = d[i]; index = i; } } return index; } void dijkstra(int start) { // 시작 노드에 대해서 초기화 d[start] = 0; visited[start] = true; for (int j = 0; j < graph[start].size(); j++) { d[graph[start][j].first] = graph[start][j].second; } // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복 for (int i = 0; i < n - 1; i++) { // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리 int now = getSmallestNode(); visited[now] = true; // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인 for (int j = 0; j < graph[now].size(); j++) { int cost = d[now] + graph[now][j].second; // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if (cost < d[graph[now][j].first]) { d[graph[now][j].first] = cost; } } } } int main(void) { cin >> n >> m >> start; // 모든 간선 정보를 입력받기 for (int i = 0; i < m; i++) { int a, b, c; cin >> a >> b >> c; // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 graph[a].push_back({ b, c }); // pair } // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 fill_n(d, 100001, INF); // 다익스트라 알고리즘을 수행 dijkstra(start); // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력 if (d[i] == INF) { cout << "INFINITY" << ' '; } // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력 else { cout << d[i] << ' '; } } } 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색 필요 전체 시간 복잡도는 O(V^2) 그러나 노드의 개수가 많아지면 비효율성을 야기할 수 있다. 우선순위 큐 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 사용할 수 있다. 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다. 우선순위 큐 구현 방식 삽입 시간 삭제 시간 리스트 O(1) O(logN) 힙(Heap) O(logN) O(logN) 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다. #include #include #include #define INF 1e9 // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정 using namespace std; // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start) // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정 int n, m, start; // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열 vector > graph[100001]; // 최단 거리 테이블 만들기 int d[100001]; void dijkstra(int start) { priority_queue > pq; // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입 pq.push({ 0, start }); d[start] = 0; while (!pq.empty()) { // 큐가 비어있지 않다면 // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기 int dist = -pq.top().first; // 현재 노드까지의 비용 int now = pq.top().second; // 현재 노드 pq.pop(); // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시 if (d[now] < dist) continue; // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인 for (int i = 0; i < graph[now].size(); i++) { int cost = dist + graph[now][i].second; // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 if (cost < d[graph[now][i].first]) { d[graph[now][i].first] = cost; pq.push(make_pair(-cost, graph[now][i].first)); } } } } int main(void) { cin >> n >> m >> start; // 모든 간선 정보를 입력받기 for (int i = 0; i < m; i++) { int a, b, c; cin >> a >> b >> c; // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 graph[a].push_back({ b, c }); } // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 fill(d, d + 100001, INF); // 다익스트라 알고리즘을 수행 dijkstra(start); // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력 if (d[i] == INF) { cout << "INFINITY" << ' '; } // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력 else { cout << d[i] << ' '; } } } 플로이드 워셜 알고리즘 내용 및 코드 참고 www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=7

1753번: 최단경로

입력

첫째 줄에 정점의 개수 V와 간선의 개수 E가 주어진다. (1 ≤ V ≤ 20,000, 1 ≤ E ≤ 300,000) 모든 정점에는 1부터 V까지 번호가 매겨져 있다고 가정한다. 둘째 줄에는 시작 정점의 번호 K(1 ≤ K ≤ V)가 주어진다. 셋째 줄부터 E개의 줄에 걸쳐 각 간선을 나타내는 세 개의 정수 (u, v, w)가 순서대로 주어진다. 이는 u에서 v로 가는 가중치 w인 간선이 존재한다는 뜻이다. u와 v는 서로 다르며 w는 10 이하의 자연수이다. 서로 다른 두 정점 사이에 여러 개의 간선이 존재할 수도 있음에 유의한다.

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