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3. 실수, 유리수와 무리수 [중3 수학] – 언제나 휴일
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무리수와 실수, 실수체계 – 수학방
유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 …
Source: mathbang.net
Date Published: 1/17/2021
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자연수, 정수, 실수 ( 유리수, 무리수 ) 의 정의 – 탐색시간의 블로그
자연수란 ( 자연수의 정의 ). : 1부터 시작하여 1씩 커지는 수. · 정수란 ( 정수의 뜻 ) · 유리수 ( rational number, 有理數 ) · 무리수 · 실수란 · 실수의 …
Source: www.seektime.info
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프로그래머 기초 수학 2-3 – 유리수, 무리수, 실수 – yceffort
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Date Published: 9/22/2021
View: 7253
수학기초 – 실수, 유리수, 무리수, 정수, 자연수 – Boolean
수학기초 이 문서는 학습용으로 압축한 자료이며 모든 저작권은 수학방에 있음을 알려드립니다. 실수, 무리수,유리수,정수, 자연수의 분류 자료출처: …
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3. 실수, 유리수와 무리수 [중3 수학]
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3. 실수, 유리수와 무리수
실수
수직선 상의 모든 수
크기나 시간처럼 연속으로 변하는 양을 측정하는 데 사용합니다.
유리수
분모가 0이 아닌 형태의 분수로 나타낼 수 있는 실수
정수와 유한 소수, 순환하는 무한 소수가 있습니다.
무리수
분수로 나타낼 수 없는 실수
무리수는 순환하지 않는 무한 소소입니다.
정수
0을 포함하여 수직선 상에서 0에서 상대적 거리를 자연수로 표현할 수 있는 수
양의 정수, 0, 음의 정수가 있습니다.
양의 정수는 자연수입니다.
수직선과 유리수, 무리수
모든 실수는 수직선 상의 한 점에 대응합니다.
두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있습니다.
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무리수와 실수, 실수체계
오늘 공부할 건 매우 중요한 내용이에요. 수학의 기본이 되는 수의 체계에 대한 내용이거든요.
이제까지 알고 있던 모든 수 자연수, 정수, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수에 더해서 무리수라는 새로운 이름의 수를 공부할 거예요. 무리수는 새로운 수가 아니라 이미 알고 있는 수에요. 다만 어떤 수를 무리수라고 하는지 몰랐을 뿐이에요.
또 실수라는 것도 공부할 건데, 이게 앞으로 수학 시간에 계속 사용할 거니까 잘 알고 있어야 해요.
이 글에서는 각 수의 뜻과 특징, 서로를 구별하는 방법, 수의 관계를 이해해야 합니다.
무리수와 실수
이제까지 공부했던 수의 체계를 정리해볼까요? 일단 1, 2, 3, …… 같은 자연수가 있어요. 자연수(양의 정수)와 0, 자연수에 (-) 부호를 붙인 음의 정수로 나눠지는 정수도 있고요. 분수 꼴로 나타낼 수 있는 유리수도 있지요. 자연수는 정수에 포함되고, 정수는 유리수에 포함돼요. 결국, 자연수는 유리수에 포함되는 거죠.
유한소수와 무한소수도 공부했어요. 무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수로 나눌 수 있었죠? 유한소수와 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으니 유리수에요. 그러니까 유한소수와 순환소수는 유리수에 속해요.
그럼 분수 꼴로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수는 어떤 수에 속할까요? 바로 무리수에 속해요.
무리수는 유리수가 아닌 수예요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수니까 그 반대인 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수예요. 순환하지 않는 무한소수 중 가장 대표적인 게 뭐죠? 바로 π죠. 그 외에도 처럼 근호가 씌워진 수를 무리수라고 할 수 있어요. 단 처럼 근호를 없앨 수 있는 수는 유리수에요. 이름만 처음 들었다 뿐이지 이미 다 알고 있는 수들이죠?
유리수와 무리수의 뜻을 잘 생각해보세요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 없을 거고요. 따라서 모든 수는 유리수와 무리수로 나눌 수 있는데 이 두 가지를 합쳐서 실수라고 합니다. 실수는 실제 수를 말하고 영어로는 Real Number라고 해요.
앞으로 특별한 언급 없이 그냥 수라고 한다면 모두 실수라고 생각하면 돼요.
무리수: 유리수가 아닌 수
꼴의 분수로 나타낼 수 없는 수
순환하지 않는 무한소수, π
근호를 못 없애는 제곱근
실수: 유리수 + 무리수
그림에서 가장 주의깊게 봐야할 건 무한소수에요. 무한소수 중 순환소수는 유리수고, 순환하지 않는 무한소수는 무리수에요.
아래는 위 그림을 벤다이어그램으로 나타낸 건데, 꼭 기억하세요. 수의 체계를 아주 잘 나타내고 있어서 문제에서 자주 나오는 그림이거든요. 이 글에서는 이 그림하나만 기억하면 돼요.
다음 설명 중 틀린 것을 모두 고르시오.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 된다.
(2) 정수는 무리수에 속한다.
(3) 정수는 자연수에 속한다.
(4) 유리수가 아니면 무리수이다.
(5) 유리수면서 동시에 무리수인 수는 없다.
위의 그림을 잘 보세요. 자연수는 정수에 속하고, 정수는 유리수에 속해요. 그러니까 자연수는 유리수에 속하죠. 또, 유리수와 무리수 모두 실수에 속하고요. 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되네요.
(1) 유리수와 무리수를 합하면 실수가 되므로 맞아요.
(2) 정수는 무리수에 속하는 게 아니라 유리수에 속하니까 틀렸어요.
(3) 자연수가 정수에 속하니까 거꾸로 됐네요. 틀렸어요.
(4) 유리수가 아니면 무리수에요. 반대로 무리수가 아니면 유리수지요.
(5) 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 맞아요. 반대로 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수는 없어요.
따라서 틀린 건 (2), (3)입니다.
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무리수: 분수꼴로 나타낼 수 없는 수
유리수가 아닌 수
순환하지 않는 무한소수, 근호를 못 없애는 수
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자연수, 정수, 실수 ( 유리수, 무리수 ) 의 정의 ?
중학생 수학 교과과정에서 나오는 수의 정의 대해서 알아 봅니다.
자연수란 ( 자연수의 정의 )
: 1부터 시작하여 1씩 커지는 수. ( 0 이나 음수를 포함하지 않음 )
0은 자연수가 아닙니다.
자연수 예) 1, 2, 3, 4, …
정수란 ( 정수의 뜻 )
: 0을 포함하고, 자연수 및 음의 자연수를 포함하는 수.
정수의 예 ) … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, …
유리수 ( rational number, 有理數 )
: 실수(實數) 중에서 정수(整數)와 분수(分數)를 합친 수 ( 분수로 나타낼수 있는 수 )
무리수
: 유리수가 아닌 수를 무리수라 하고, 소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수인 수
무리수의 예 ) √2=1.41421356…, √3=1.73205080…, π=3.1415926… ( 분수로 나타낼수 없는 수 )
실수란
: 유리수와 무리수를 포함하는 수
실수의 분류
실수 ( 유리수, 무리수 )
유리수 ( 정수, 정수가 아닌 유리수 )
정수 ( 양의정수 (자연수), 0, 음의 정수 )
소수 ( prime number, 素數 )
: 1과 자기 자신만으로 나누어 떨어지는 1보다 큰 양의 정수
소수의 예 ) 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 …
약수 ( 約數 )
: 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수
12의 약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
소인수분해
: 모든 자연수는 소수들의 곱으로 유일하게 나타낼 수 있다.
예 ) 180의 소인수 분해는 180 = 22 × 32 × 5 이고, 2, 3, 5는 소수인 약수(소인수) 입니다.
머리속에 정리가 쉽게 됩니다.
프로그래머 기초 수학 2-3 – 유리수, 무리수, 실수
유리수
유리수란, 나눗셈 또는 분수, 즉 ‘비율로 나타낼 수 있는 모든 수’ 를 유리수라고 한다. 정수는 모두 자기자신과 1의 비율로 나타낼 수 있으므로 유리수다.
분수에서, 분모와 분자가 1외에 다른 공통된 약수를 가진다면, 그 약수로 동시에 나누어도 값은 변하지 않는데, 이를 약분 이라고 하며, 더 이상 나눌 수 없어 분모와 분자가 서로 소인 분수를 기약분수 라고한다.
20 72 = 2 2 × 5 2 3 × 3 2 = 5 2 × 3 2 = 5 18 \frac{20}{72} = \frac{2^2 \times 5}{2^3 \times 3^2} = \frac{5}{2 \times 3^2} = \frac {5}{18} 72 20 = 2 3 × 3 2 2 2 × 5 = 2 × 3 2 5 = 18 5
분수로 나타낸 두 유리수를 계산할 때, 분모가 다르다면 이를 같게 만들어야 한다. 이를 통분 이라고 하며, 통분된 새로운 분모를 공통분모 라고한다.
5 12 − 3 8 = ( 5 × 2 12 × 2 ) − ( 3 × 3 8 × 3 ) = 10 24 − 9 24 = 1 24 \frac{5}{12}- \frac{3}{8} = (\frac{5 \times 2}{12 \times 2}) – (\frac{3\times3}{8 \times 3}) = \frac {10}{24} – \frac{9}{24} = \frac {1}{24} 12 5 − 8 3 = ( 12 × 2 5 × 2 ) − ( 8 × 3 3 × 3 ) = 24 10 − 24 9 = 24 1
어떤 수와 다른 수를 비교했을때, 얼마나 큰가 하는 것을 두수의 비 라고 하며, a : b a : b a:b 로 나타낸다. 두 비의 값이 같아서 등호로 연결한 것을 비례식 이라고 한다. 그리고 등호 가까이에 있는 것은 내항 , 바깥에 있는 것은 외항 이라고 한다.
a : b = c : d a : b = c: d a : b = c : d
비례식은 분수꼴로 써서 풀수 있고, 이 때 양변에 분모의 공배수를 곱한다. 그 결과로 내항의 곱과 외항의 곱이 같아진다.
a b = c d a b × ( b × d ) = c d × ( b × d ) a × d = b × c \frac a b = \frac c d \frac a b \times ( b \times d) = \frac c d \times (b \times d) a \times d = b \times c b a = d c b a × ( b × d ) = d c × ( b × d ) a × d = b × c
비율을 1 100 \frac {1}{100} 1001 단위로 표현한 것은 백분율이라고 한다. 1 4 \frac 1 4 41는 25 100 \frac{25}{100} 10025 이며 곧 25%라고 표시할 수 있다. 흔치는 않지만, 농도 등을 나타낼 때는 1 1000 \frac{1}{1000} 10001을 쓸 수 있는데, 이는 퍼밀(‰) 이라고 한다.
유리수는 분수 외에 소수점을 써서 소수로 나타낼 수 있다. 이 때 분모가 10의 거듭제곱일 때는, 소수가 유한하게 끝나게 되는데 이를 유한소수 라고한다.
10 진수의 밑인 10의 소인수는 2와 5다. 기약분수인 어떤 유리수의 분모를 소인수 분해했더니, 2와 5의 거듭제곱으로만 이루어졌다고 다고정하자. 분자는 무엇이든지 간에, 모든 유리수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
N 2 m × 5 n \frac {N}{2^m \times 5^n} 2 m × 5 n N
이제 m m m 과 n n n 중, 더 작은쪽에 해당하는 소인수를, 큰쪽의 거듭제곱과 같을 때까지 분모와 분자에 곱해보자.
9 40 = 9 2 3 × 5 × ( 5 2 5 2 ) = 9 × 5 2 2 3 × 5 3 = 9 × 5 2 1 0 3 = 225 1000 = 0.225 \frac{9}{40} = \frac{9}{2^3 \times 5} \times (\frac {5^2}{5^2}) = \frac{9 \times 5^2}{2^3 \times 5^3} = \frac{9 \times 5^2}{10^3} = \frac{225}{1000} = 0.225 40 9 = 2 3 × 5 9 × ( 5 2 5 2 ) = 2 3 × 5 3 9 × 5 2 = 1 0 3 9 × 5 2 = 1000 225 = 0.225
결과가 10의 거듭제곱 꼴이 되므로, 이유리수를 소수로 나타내면 유한소수가 된다.
만약 2나 5외에 다른 소인수가 분모에 있으면, 소수점 밑 어딘가부터 같은 숫자 패턴이 반복하게 된다.
11 6 = 1.8333333…. 1 7 = 0.142857142857…. \frac{11}{6} = 1.8333333…. \frac{1}{7} = 0.142857142857…. 6 11 = 1.8333333…. 7 1 = 0.142857142857….
이런 소수를 순환소수 라고 한다. 소수점 아래에 반복되는 부분을 순환마디 라고 하며, 점을 찍어서 표현한다.
11 6 = 1.8 3 ˙ 1 7 = 0. 1 ˙ 4285 7 ˙ \frac{11}{6} = 1.8\dot{3} \frac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7} 6 11 = 1.8 3 ˙ 7 1 = 0. 1 ˙ 4285 7 ˙
순환소수를 분수로 바꾸는 방법을 생각해보자.
x = 0.33333….10 x = 3.3333…. x = 0.33333…. 10x = 3.3333…. x = 0.33333….10 x = 3.3333….
두 식을 빼면
9 x = 3 ∴ x = 3 9 = 1 3 9x = 3 \therefore x = \frac 3 9 = \frac 1 3 9 x = 3 ∴ x = 9 3 = 3 1
1.8 3 ˙ 1.8\dot{3} 1.83˙ 처럼, 순환마디가 바로 뒤에 오지 않으면, 순환마디가 동일하도록 만든다음에 뺄셈을 하면 된다.
x = 1.833333… x = 1.833333… x = 1.833333…
10 x = 18.333333… 10x = 18.333333… 10 x = 18.333333…
100 x = 183.333333… 100x = 183.333333… 100 x = 183.333333…
90 x = ( 183 − 18 ) = 165 ∴ x = 165 90 = 11 6 90x = (183-18) = 165 \therefore x = \frac {165}{90} = \frac{11}{6} 90 x = ( 183 − 18 ) = 165 ∴ x = 90 165 = 6 11
무리수
유리수 처럼 분수로도 나눌 수 없는 숫자가 있다.
x 2 = 2 x = 2 x = − 2 x = ± 2 x^2 = 2 x = \sqrt{2} x = -\sqrt{2} x = ± \sqrt{2} x 2 = 2 x = 2 x = − 2 x = ± 2
± 2 ± \sqrt{2} ±2 는 2의 제곱근 이라고 한다.
이 처럼 분수로 나타낼 수 없는 숫자는 무리수라고 한다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수를 나타내는데, 예를 들어 2 \sqrt{2} 2 는 1.4142135…이다. 결과적으로, 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다.
그리고 − 1 \sqrt{-1} −1 처럼, 제곱해서 음수가 되는 수는 존재하지 않으므로, 실수 체계에 속하지 않는다. 무리수도 숫자 이므로, 덧셈 뺄셈은 일반적인 경우와 같다.
a n ± b n = ( a ± b ) n a b = a b a b = a b a\sqrt{n} ± b\sqrt{n} = (a ± b)\sqrt{n} \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} \sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b} a n ± b n = ( a ± b ) n a b = ab ab = a b
근에 안에 있는 수가 제곱수일 경우, 이를 벗겨 내 버릴 수도 있다.
24 = 2 3 × 3 = 2 2 × ( 2 × 3 ) = 4 × 2 × 3 = 2 6 \sqrt{24} = \sqrt{2^3 \times 3} = \sqrt{2^2 \times (2 \times 3)} = \sqrt{4} \times \sqrt{2 \times 3} = 2\sqrt{6} 24 = 2 3 × 3 = 2 2 × ( 2 × 3 ) = 4 × 2 × 3 = 2 6
분모에 제곱근 기호가 있다면, 통분 같은 계산을 위해 정수화 하는 것이 좋다. 이를 분모 유리화 라고 한다.
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