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라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다. 대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다.
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이제 껏 같이 스터디해온 4개의 짧은 영상들의 내용으로,
웬만한 미분방정식을 풀이하는 것이 가능할지 확인해봅시다 ^^
보시고 모르겠는 부분은 언제든 질문 주셔요!
🙂
네이버 스터디용 블로그 : https://blog.naver.com/bmw9707121
라플라스 변환 미분 방정식 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 – 네이버 블로그
1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠. 근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요). 첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 8/6/2022
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미분방정식의 라플라스 변환 – 권찡’s 공학이야기
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. … 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 …
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 6/22/2022
View: 5485
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기 – MATLAB & Simulink
라플라스 변환을 사용하여 초기 조건이 있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어, 다음 회로와 같은 저항-인덕터-커패시터(RLC) 회로를 풀 수 있습니다.
Source: www.mathworks.com
Date Published: 3/25/2022
View: 5488
라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이 – Ernonia
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정..
Source: dimenchoi.tistory.com
Date Published: 6/16/2021
View: 833
3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용
미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 …
Source: cccforone.tistory.com
Date Published: 10/18/2021
View: 3606
공업수학 6장 : 변환의 미분, 변환의 적분, 변수계수 상미분방정식
안녕하세요~~ 어느덧 라플라스 변환의 마지막 정리입니다!! 오늘의 포스팅은 변환의 미분, 변환의 적분, 그리고 변수계수 상미분방정식에 대한 내용 …
Source: numong22.tistory.com
Date Published: 8/1/2022
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주제에 대한 기사 평가 라플라스 변환 미분 방정식
- Author: BOS의 스터디룸
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- Date Published: 2020. 1. 10.
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[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제
#미분적분학
사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다.
라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다.
대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!)
라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
자 드디어 저희들의 라플라스 포스팅 최종 목적지에 도착을 했습니다.
지금까지 포스팅 해왔던 내용을 바탕으로 미분방정식을 풀어보며 라플라스 포스팅을 마치도록 합시다
저희가 할 내용을 그림으로 표현해 보면
커다란 화살표처럼 한바퀴 쭉 도는 겁니다.
이번 포스팅은 새로운 개념은 없으며 그냥 문제풀이 포스팅이에요.
그럼 라플라스 변환의 필수 재료인 라플라스 변환표를 가져다 놓고 시작하도록 합시다.
참고로 학교마다 다르긴 한데 제가 아는 한도내에서는(즉 저희 학교기준으로는)
수학 시험 때는 표를 제공 안하고 외워서 보니
포스팅에서 표 보고 푼다고 표를 안 외우시면 큰일 나실 수 있습니다.
자신의 학교 시험이 표를 외워야 하는지 안외워도 되는지는 스스로 알아 두시길 바랍니다.
그럼 1번 예제 시작하겠습니다.
첫 번째 입니다.
1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠
근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요)
첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다.
변환이 완료 되었습니다.
미분에 대한 항이 다 사라졌음을 볼 수 있습니다.
바로 를 미지수로 가지는 대수 방정식이죠
이제 저 대수방정식을 풀어서 미지수 를 구해봅시다.
가 나왔습니다.
이제 무엇을 하면 될까요???
네 ㅎㅎ 바로 역변환입니다.
다행스럽게도 표에 있는 형태가 바로 나왔네요
역변환을 해보면
가 구해졌습니다.
이번엔 차수를 2차로 늘려보죠
2번째 예제는 입니다.
2차 미분방정식이니 초기값이 2개 필요하겠죠
이번엔 초기값을 주고 풀어보죠
라고 하고 풀어봅시다.
첫번째로 라플라스 변환을 해보죠
대수방정식으로 변환이 완료되었습니다.
이제 를 구해보죠
참고로 저기 붉은색 으로 색칠해 놓은 부분은 별다른 이유는 없습니다.
그냥 저것을 Characteristic Equation (특성 방정식)이라고
불리는 것 정도만 알고 계시면 됩니다.
(일반적인 미분방정식 풀이에서도 한번 등장했던 단어죠)
어쨋든 식이 표에 없는 모양입니다.
따라서 표에 있는 모양으로 변형시켜야 합니다.
(내고 나서 후회하는 건데 좀 식이 지저분하게 나올겁니다…..)
변형시켜 보죠
식이 변형 완료 되었습니다.
분수가 마구잡이로 들어가서 그렇지 분명 표에 있는 형태입니다.
다시 써보면 아래와 같은데
s-Shifting의 개념이 들어갔네요 ㅎㅎ
이제 계산된 결과를 역변환 해봅시다.
가 나왔습니다.
즉 미분방정식의 해는
인 것이죠
슬슬 익숙해 지셨죠 이제 진행을 빨리 해보겠습니다.
마지막 예제 입니다.
을 풀어보죠
초기값은 간단하게 을 줍시다.
먼저 변환을 하고 풀면
가 나옵니다. 표에 없으니 있는 모양으로 바꿔줍시다.
표에 있는 모양이 나왔습니다.
이번엔 t-Shfting 개념이 들어가 있네요
그것에 유의하며 역변환 해보면 아래와 같죠
이것으로 포스팅 마치도록 하겠습니다.
제 라플라스 포스팅을 보시는 분들은 이것까지만 하면 끝입니다.
아마도 뒤에 하게될 포스팅 내용은 필요 없을거에요
다음 포스팅 부터는 아마 99.99%의 분들이 필요 없을법한 브롬위치 적분을 통한 라플라스 역변환 입니다.
사실상 여기서 끝이니 인사드릴께요
지금까지 봐주셔서 감사합니다
수고하셧어요
예제풀이 포스팅 이니 만큼 요약은 없습니다.
15장 포스팅 끝
미분방정식의 라플라스 변환
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다.
가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다.
t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다.
보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다.
만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는
이런 식이 되는 것입니다.
이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다.
위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다.
앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다.
특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠
그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다.
또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경우, 라플라스 변환으로 풀릴수도 있습니다.
직접 한번 풀어보겟습니다.
초기 값이 주어졌을때 보다 간단히 해를 구할수 있습니다.
중간에 연습한다고 삼천포로 빠져서 그렇지 분수 형태로 나누고 나서 하시면 가장 편합니다.
좀 더 내용 심화를 해서 이변수 함수의 라플라스 변환에 대해서도 알고 넘어갑시다.
예를 들어봅시다.
위 내용과 같이 변수가 t에 관해 미분되어있는 경우만이 이전의 미분된 함수의 라플라스 변환 공식에 따르게 되고,
x에 관해 미분되있을 경우는 영향을 주지 못합니다.
이런 이변수함수 혹은 다변수 함수의 라플라스 변환은 편미분 방정식을 푸는 하나의 툴로써 사용되니 알아두면 좋겟죠
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이
라플라스 변환
라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다.
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정식까지요.
오늘은 라플라스 변환에 대해 알아보겠습니다.
정의
라플라스 변환은 아래와 같이 정의됩니다.
$$
\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = \int^\infty_0 e^{-st} f(t)dt
$$
즉, 라플라스 변환은 $t$에 대한 함수 $f(t)$를 $s$에 관한 함수 $F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$로 변환합니다.
예시로 지수함수의 라플라수 변환을 보겠습니다.
$$
\begin{align}\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace &= \int^\infty_0 e^{-st}e^{-3t}dt \\ &= \int^\infty_0 e^{-(s+3)t}dt \&= \left[\frac{-e^{-(s+3)t}}{s+3}\right]^\infty_0 = \frac{1}{s+3} \end{align}
$$
단, 마지막 줄은 $s>-3$일 때만 수렴합니다. 따라서 이 변환의 정의역은 $s>-3$입니다.
나머지 함수의 라플라스 변환 결과는 아래와 같습니다.
$\mathcal{L}\lbrace t^n \rbrace=\frac{n!}{s^{n+1}}$ $\mathcal{L}\lbrace e^{at} \rbrace = \frac{1}{s-a}$ $\mathcal{L}\lbrace \sin kt \rbrace=\frac{k}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \cos kt \rbrace = \frac{s}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \sinh kt \rbrace = \frac{k}{s^2-k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \cosh kt \rbrace = \frac{s}{s^2-k^2}$
한 가지 외우는 팁을 알려드리자면,
$\sin t, \cos t$는 원 위의 점을 나타내기 때문에 라그랑주 변환의 분모가 원의 방정식 꼴을 하고 있고,
$\sinh t, \cosh t$는 쌍곡선 위의 점을 나타내기 때문에 분모가 쌍곡선의 방정식 꼴입니다.
한편 분자의 경우 $\sin$류 함수는 $k$, $\cos$류 함수는 $s$ 입니다.
그래서 저는 “SK텔레콤은 CS(Computer Science) 회사!”라고 외웠습니다 ㅎㅎ;
아직은 이게 어떻게 미방을 푸는지 전혀 모르겠습니다만, 일단 따라와주시기 바랍니다.
성질
함수가 라플라스 변환을 가지기 위해서는 다음 조건을 만족해야 합니다.
정의
$|f(t)| \leq Me^{ct}$를 만족하는 상수 $c, M>0, T>0$가 존재할 때 $f$는 지수차수 $c$인 함수라고 한다.
정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$는 $s> c$에서 존재한다.
이 정리는 아까 전에서 $\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace$의 정의역이 $s>-3$인 이유를 설명합니다.
$e^{-3t}$의 지수차수가 $-3$이므로 $s>-3$에서 라플라스 변환을 가집니다.
또한 위의 표를 보면 한 가지 공통점을 눈치챌 수 있습니다.
모든 라플라스 변환은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴합니다.
이는 다음 정리로 요약할 수 있습니다.
정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t)$은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴한다.
마지막 중요한 점, 라플라스 변환은 선형연산입니다.
이는 정적분이 선형이므로 당연한 결과이지만 매우 중요합니다.
라플라스 역변환
라플라스 역변환은 말 그대로 라플라스 변환을 거꾸로 하는 것입니다.
예를 들어 $\mathcal{L}^{-1} \lbrace \frac{1}{s+3} \rbrace = e^{-3t}$입니다.
위에서 봤다시피 대부분 라플라스 변환은 간단한 (분자)/(분모) 꼴이기 때문에, 라플라스 역변환을 하기 위해서는 부분분수로 최대한 주어진 식을 간단한 유리식으로 바꾸는 것이 좋습니다.
예시는 아래와 같습니다
$$
\begin{align}\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace \frac{s^2+6s+9}{(s-1)(s-2)(s+4)} \right\rbrace &= \mathcal{L}^{-1}\left\lbrace -\frac{16/5}{s-1} + \frac{25/6}{s-2} + \frac{1/30}{s+4} \right\rbrace \\ &= \frac{-16}{5}e^t + \frac{25}{6}e^{2t} + \frac{1}{30}e^{-45}\end{align}
$$
부분분수로 바꾸는 과정은 헤비사이드라는 방법을 사용했으니 모르시는 분은 찾아보시길 바랍니다.
마지막 줄에서 라플라스 (역)변환이 선형이라는 성질을 사용했습니다.
도함수의 라플라스 변환
정리 $\mathcal{L}\lbrace f^{(n)}(t) \rbrace = s^n F(s) – s^{n-1}f(0) – s^{n-2}f'(0) – \cdots – f^{(n-1)}(0)$
위 식은 수학적 귀납법으로 보일 수 있는데 과정이 꽤 복잡하므로 생략합니다.
중요한 것은, 이 정리가 라플라스 변환을 미분방정식 풀이의 사기캐로 만들어준다는 것입니다.
백문이 불여일견, 예시를 통해 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이를 보여드리겠습니다.
아래 미분방정식을 풀어보겠습니다.
$$
y’ + 3y = 13 \sin 2t, \quad y(0)=6
$$
1단계: 양변에 라플라스 변환을 취한다
$\mathcal{L}\lbrace y \rbrace = Y(s)$라고 두고 라플라스 변환을 취하겠습니다.
$$
\mathcal{L} \lbrace y’ + 3y\rbrace = sY(s) – y(0) + 3Y(s) = \mathcal{L} \lbrace 13\sin 2t \rbrace = \frac{26}{s^2+4}
$$
2단계: $Y(s)$를 부분분수로 표현한다
$$
Y(s) = \frac{6s^2+50}{(s+3)(s^2+4)}=\frac{8}{s+3}+\frac{-2s+6}{s^2+4}
$$
3단계: 라플라스 역변환을 취한다.
$$
y = 8e^{-3t} -2 \cos 2t + 3 \sin 2t
$$
짠! 이렇게 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
나중에 기회가 된다면 조금 더 복잡한 함수에 대해서 라플라스 변환을 적용하는 방법을 알아보겠습니다.
3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용
Contents
1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 이용하면 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
예시를 통해서 라플라스 변환을 이용해서 ODE를 풀어내는 방법을 살펴보겠습니다.
EX
우선 각 항에 라플라스 변환을 취해서 식을 대수 영역으로 전환해줍니다.
그 후 라플라스 변환이 취해진 해에 대해 식을 다시 정리할 수 있습니다.
우리가 원하던 해는 대수방정식의 해가 아니라 미분방정식의 해이기 때문에 위의 결과에 라플라스 역변환을 취해줍니다. 그러면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.
2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
제차 미분방정식을 풀이할 때와 마찬가지로 라플라스 변환을 취하고, 라플라스 변환된 해에 대해 식을 정리할 수 있습니다.
정리된 식의 형태를 살펴보면 homogeneous 일 때의 해($Y_h(s)$)와 특수해($Y_p(s)$)의 조합인 것을 확인할 수 있습니다. 이제 라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 구할 수 있을 것입니다.
이해를 위해 예시를 살펴보겠습니다.
EX
우선 라플라스 변환을 취해서 대수방정식을 얻은 후 식을 정리합니다.
이제 라플라스 역변환을 취해 식을 정리해주어야 하는데, 이를 위해서 식을 재정리할 필요가 있습니다. 보통 라플라스 역변환을 위한 식 정리는 유리식의 항등성을 이용합니다.
라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.
여기서 $H(t)$는 Heviside Step Function이고, 주어진 미분방정식을 $t>0$에 대해 고려하면 $H(t)=1$로 두고 미분방정식의 해를 사용하면 됩니다. (사실 $t$가 시간인 경우가 많아 $t>0$에 대해서 고려하긴 합니다.)
공업수학 6장 : 변환의 미분, 변환의 적분, 변수계수 상미분방정식
안녕하세요~~ 어느덧 라플라스 변환의 마지막 정리입니다!! 오늘의 포스팅은 변환의 미분, 변환의 적분, 그리고 변수계수 상미분방정식에 대한 내용입니다. 제목이 길어 분량이 많아보일 수 있으나, 전혀 그렇지 않습니다. 그저 공식 몇 개 더 외우면 될 뿐이에요 ㅎㅎ. 말 그대로 변환한 함수를 미분했을 때와 적분했을 때, 원 함수와의 관계를 알아보는 단원입니다. 시작할게요!
6-1. 변환의 미분
먼저 변환의 미분은 위 그림과 같습니다. F(s)를 미분하게 되면, F'(s)=-L[tf(t)]의 관계를 보입니다. 즉, 기존의 f(t) 앞에 -t가 하나 더 붙었죠. 두 번 미분하게 되면 F”(s)=L[t²f(t)]가 됩니다. 이번에는 t²가 앞에 붙었습니다. 대략적으로 보니, 규칙성이 보입니다. 따라서 이를 일반화하게 되면 위 그림의 빨간색으로 물결친 부분과 같습니다. 금방 외울수 있을거에요!
6-2. 변환의 적분
두 번째는 변환의 적분입니다. 문제를 풀면서 많이 사용되는 공식이기 때문에 매우 유용합니다!! 잘 봐주세요. 기존의 변환된 함수 F(s)를 적분하게 되면 ∫F(s)ds=L[f(t)/t]의 관계를 보입니다. 역시 공식만 보면 쉬워보입니다. 그 아래에 있는 문제를 같이 풀어보죠. ln(1+w²/s²)의 역변환을 구하는 문제입니다.
i) 우선 ln을 둘로 쪼개주면 ln(s²+w²)-2lns가 됩니다. 이 함수를 F(s)라 하겠습니다. 우리가 찾아줄 원함수는 f(t)입니다.
ii) F(s)를 바로 역변환하려고 하니, 길이 잘 보이지 않습니다. 미분을 하면 뭔가 우리가 아는 형태가 나올 것 같습니다. 따라서 미분을 해주면 F'(s)=2s/(s²+w²) – 2/s가 나옵니다. 이제서야 우리가 아는 형태가 나오네요. 따라서 F'(s)를 역변환 한 원함수를 g(t)라 해줍니다. 즉, g(t)=2coswt-2입니다.
iii) 하지만 아직 f(t)를 찾지 못했습니다. 이제 g(t)와 f(t)의 관계에 알아보도록 하겠습니다. 위의 초록색으로 박스친 곳을 봐주세요! f(t)의 변환된 형태를 F(s)라고 했습니다. 따라서 f(t) = L^-1(F(s))입니다. 이제 라플라스 기호 안에 있는 F를 F’의 형태로 바꿔줍시다. F(s)=-∫F'(s)ds의 관계에 있습니다. 적분기호 앞에 -가 붙는 이유는 아래의 사진을 보면 이해할 수 있을겁니다. 그러면, -∫F'(s)ds의 변환된 형태는 뭘까요? 앞서 F'(s)를 역변환한 함수는 g(t)였습니다. 따라서 적분의 변환 공식을 사용하면 L^-1[-∫F'(s)ds] = -g(t)/t가 됩니다. 그러므로, f(t)와 g(t)의 관계는 f(t)=-g(t)/t입니다. 이 논리만 이해하신다면, 변환의 적분은 마스터 한겁니다! 최종적인 답은 f(t)=2(1-coswt)/t가 됩니다.
integral앞에 -가 붙는 이유
6-3. 변수 계수를 가지는 상미분방정식(ODE)
이 정리는 새로운 내용이 아닙니다. 변환의 미분 내용의 연장선이라고 볼 수 있겠죠. 예를 들어 ty”+(1-t)y’+ny=0이라는 미분방정식이 주어졌습니다. 늘 하던대로 이 방정식의 해를 구하기 위해선 양변을 라플라스 변환 시켜준 후, 다시 역변환 해서 구해주면 됩니다. 좌변을 변환해줄 때, y”과 y’앞에 t에 대한 함수들이 붙어있습니다. 따라서 각각 변환의 미분 공식을 사용하여 표현해주기만 하면 됩니다. 따라서 위 그림처럼 변환을 해주면 L[ty”+(1-t)y’+ny] = -(s²-s)Y’+(n+1-s)Y가 됩니다.
그렇다면 여기는 이렇게 지나가면 되냐 또 그건 아닙니다. 아쉽게도 우리는 중간고사 때 배웠던 1계 상미분방정식의 풀이였던 베르누이 방정식(Bernoulli equation)과 변수 분리 등을 사용해서 다시 사용해야 됩니다. 왜냐고요? 당장 위 문제만 봐도 변환된 형태가 -(s²-s)Y’+(n+1-s)Y입니다. 1계 상미분 방정식의 형태였죠. 그 전까지는 Y 빼고 나머지를 다 넘겨서 역변환 해주면 됐지만, 이 경우에는 Y에 대한 1계 상미분방정식을 푼 다음, 역변환을 해줘야 됩니다. 한 단계가 더 추가됐죠. 짜증나더라도, 공식을 다시 보고 와야됩니다 ㅠㅠ 링크를 걸어드릴게요!
https://numong22.tistory.com/155?category=1025128
Example 4
가볍게 변수계수를 가지는 ODE에 관한 예제를 보는 것으로 마치겠습니다. ty”+2(2t-1)y’+4(t-1)y=0이고 초기값이 y(0)=1, y'(0)=-2로 주어진 문제입니다. 풀이 순서는 다음과 같습니다.
i) 먼저 좌변을 변환해줍니다. 변환의 미분 공식을 활용해서 제가 써놓은대로 해주시면 됩니다. 학생들이 변환의 미분을 할 때, -를 안붙여서 실수하는 경우가 많으니 주의해주세요! 정리해주면 L[ty”+2(2t-1)y’+4(t-1)y] = -(s+2)²Y’-4(s+2)Y+3이 됩니다.
ii) 우변에는 0밖에 없으니, 변환해도 0입니다. 따라서 주어진 방정식은 -(s+2)²Y’-4(s+2)Y+3=0이 됩니다. 이제 이 방정식을 1계 상미분방정식 형태로 바꿔줍니다. 그러면 Y’+4/(s+2)*Y=3/(s+2)²이 됩니다.
iii) 위의 1계 상미분방정식의 형태를 보니, 베르누이 방정식입니다. 따라서 변수들을 설정하여 Y를 구해줍니다. 사실 대부분의 경우가 베르누이 방정식으로 풀리고, 아주 적은 비중이 변수분리, 그리고 완전 상미분방정식을 사용하는 문제는 보지 못했습니다. 그러니까 베르누이 방정식은 꼭 기억해주셔야 되요!! 아무튼 풀게 되면 Y=1/(s+2) + C/(s+2)⁴ (C는 적분상수)이 나옵니다.
iv) 다행히도, Y 자체는 우리가 아는 형태로 나왔습니다. 바로 역변환을 해주면 y=exp(-2t) + Ct³*exp(-2t)가 나옵니다. 제 1 이동정리가 사용되어 exp(-2t)를 붙여준겁니다. 문제 자체는 그닥 어렵지 않은 수준입니다.
이렇게 해서 라플라스 변환의 모든 단원들이 끝났습니다!!! 원래는 여기서 끝내려고 했는데, 그래도 시험 전에 풀어볼 만한 유형들을 소개해주고 싶어서, 문제를 한 4~5개 같이 풀어보는 포스팅을 올리는 것을 마지막으로 하겠습니다!! 다음 포스팅을 읽기 전에 지금까지 배운 정리들을 다시 한 번 보고 와주세요!! 감사합니다~~
ps) 부족하지만, 제가 푼 기출들의 풀이가 보고싶으신 분들은 [공업수학 : 프롤로그] 글에 좋아요와 이메일 주소를 남겨주시면 보내드리겠습니다! 위한에 올라와 있는 기출이 아닌, 최신 기출(20년도 교수님 별로, 21년도)을 많이 가지고 있기 때문에 유용할거라 생각됩니다 ㅎㅎㅎ. 링크를 걸어드릴테니 참고해주세요!
https://numong22.tistory.com/153
키워드에 대한 정보 라플라스 변환 미분 방정식
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