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[기본개념] 평균변화율 – 부형식 수학
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평균변화율 복습 (개념 이해하기) | 함수 – 칸아카데미
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수학 개념 정리/공식 : 미분계수, 평균변화율, 미분계수의 …
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Date Published: 6/11/2022
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Date Published: 4/10/2022
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변화량 – 나무위키:대문
미분에서는 이 기울기를 변화율이라고 부르게 되는데, 여기서 평균변화율은 두 점 사이의 그래프 전체의 기울기이다.
Source: namu.wiki
Date Published: 4/23/2022
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- Author: 수악중독
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수학 공식 | 고등학교 > 평균변화율과 미분계수
평균변화율
함수 $ y = f(x) $에서 $ x $의 값이 $ a $에서 $ b $까지 변할 때의 평균변화율은 \begin{gather*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) – f(a)}{b-a} = \frac{f(a+\Delta x) – f(a)}{\Delta x}
\end{gather*}
평균변화율의 기하학적 의미
평균변화율은 $ ( a, \ f(a) ) $, $ ( b, \ f(b) ) $를 잇는 직선의 기울기와 같다.
미분계수
함수 $ y = f(x) $의 $ x=a $에서의 미분계수는 \begin{gather*}
f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) – f(a)}{x-a}
\end{gather*}
미분계수의 기하학적 의미
미분계수 $ f'(a) $는 $ ( a, \ f(a) ) $에서의 접선의 기울기와 같다.
이차함수 $ f(x) = x^2 $에서 $ x $의 값이 $ 1 $에서 $ 3 $까지 변할 때의 평균변화율과 $ x=a $에서의 미분계수는 같다. 상수 $ k $의 값을 구하여라.
평균변화율은 \begin{gather*}
\frac{3^2 – 1^2}{3-1} = 4
\end{gather*} $ x=a $에서 미분계수는 \begin{gather*}
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^2 – a^2}{h} = 2a
\end{gather*} 두 값이 같아야 하므로 \begin{gather*}
2a = 4 \ \ \ \therefore \ \ a=2
\end{gather*}
잡동사니
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[수학2]-[2.미분]-[①미분]-[ (1) 평균변화율 ]평균변화율
아래와 같은 함수가 있습니다.
x값이 a에서 b로 변할 때, 함수 값은 f(a)에서 f(b)로 변합니다. x가 a에서 b까지 변할 때 그 변화율은 아래와 같이 정의됩니다.
변화율이라는 것은 변화의 비율입니다. 위 경우는 y변화량을 x변화량으로 나눈 것입니다. y변화량과 x변화량은 그리스어 델타를 이용하여 나타냅니다. 델타는 대문자 Δ 와 소문자 δ 가 있는데, 대문자를 사용하겠습니다. 델타를 사용하는 이유는 Difference(차이)라는 영어의 첫글자와 D와 같은 그리스어이기 때문입니다. 변화량을 그림에 표시하면 아래와 같습니다.
델타를 이용하여 변활율을 나타내면 아래와 같습니다.
이 변화율은 평균변화율이라고 부릅니다. 그냥 ‘변화율’이라고 불러도 의미상 통하긴 하는데, 이후에 평균변화율과 대비되는 다른 변화율이 등장하기 때문에 구분을 위해 ‘평균’을 붙여줍시다.
평균변화율의 기하적인 의미는 무엇일까요? 기하적이라는 것은 쉽게말하면 ‘그래프에서’라는 뜻입니다. 평균변화율의 기하적인 의미는 (a,f(a))와 (b,f(b))라는 두 점 사이의 ‘기울기’입니다.
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