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피보나치(Fibonacci) 수열의 일반항 구하기 – 수학과 사는 이야기
피보나치(Fibonacci) 수열의 일반항 구하기. 수학 이야기 2011. 4. 27. 19:45. 반응형. 문제 계단을 한 칸씩 오르거나 두 칸씩 오른다. 칸의 개수가 20인 계단을 …
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 10/8/2022
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피보나치 수열의 일반항 구하기 – mathpeak 매쓰피크
피보나치 수열의 유래 : 레오나르도 피보나치(Fibonacci ; 1174~1250)가 1202년에 저술한 주산서(Liber Abbaci) 12장에서 “어떤 사람이 사방이 벽으로 …
Source: mathpeak.tistory.com
Date Published: 10/27/2021
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피보나치 수열 – 나무위키
다음과 같은 점화식으로 피보나치 수열을 정의할 수 있다. … 위에서 언급한 비네의 식에서 피보나치수열의 일반항을 황금비로 표시할 수 있는데, …
Source: namu.wiki
Date Published: 5/10/2021
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피보나치 수열(Fibonacci Sequence)의 일반항 – MATH FACTORY
피보나치 수열 다음을 만족하는 수열 $ \{ a_n \} $을 피보나치 수열이라고 한다. \begin{gather*} a_1 = 1, \ \ a_2 = 1, \ \ a_{n+2} = a_{n+1} + …
Source: www.mathfactory.net
Date Published: 3/16/2022
View: 1191
피보나치 수열의 일반항 1 – peeton
(링크) 여러가지 수열 점화식의 일반항 https://peeton.tistory.com/9 특성방정식을 통한 일반항 구하기는 (링크)의 5번. 수열 중 가장 유명한 수열이 …
Source: peeton.tistory.com
Date Published: 7/16/2022
View: 1604
피보나치수열의 일반항 구하기 – 상식체온
피보나치 수열이라는 재미있는 수열이 있습니다. 관련 포스팅을 한 적이 있는데 이번 시간에는 피보나치수열의 특징이 아닌 일반항을 구해보도록 …
Source: nous-temperature.tistory.com
Date Published: 12/30/2021
View: 5988
피보나치 수열의 일반항 유도 – 생새우초밥집
피보나치 수열의 일반항은 비네 공식Binet Formula이라 부르기도 한다. 피보나치 수열은 워낙 많은 성질을 가지고 있고 생각지도 못한 부분에서 응용이 되기도 한다.
Source: freshrimpsushi.github.io
Date Published: 6/21/2021
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주제에 대한 기사 평가 피보나치 수열 일반항
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2017. 2. 16.
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피보나치(Fibonacci) 수열의 일반항 구하기
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문제 계단을 한 칸씩 오르거나 두 칸씩 오른다. 칸의 개수가 20인 계단을 오르는 방법의 수를 구해보자.
풀이
칸의 개수가 $n$일 때 오르는 방법의 수를 `a_{n}`이라고 하자. `a_{1}=1`,`a_{2}=2`,`a_{3}=3`임을 알 수 있다. 수열 `\{a_{n} \}`을 귀납적으로 정의해 보자. `n `칸의 계단을 오르는 방법의 수는 처음에 `1` 칸을 오르는 경우와 `2 `칸을 오르는 경우로 나누어 볼 수 있다. `1` 칸을 오르는 경우는 `a_{n-1}`, `2 `칸을 오르는 경우는 `a_{n-2}`이다. 그러므로 `a_n =a_{n-1} + a_{n-2}` 따라서 `a_{n+2}=a_{n} + a_{n+1}`이다. `1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, \cdots`
이 수열은 피보나치 수열이다. 아래와 같이 표현해도 다르지 않다.
문제 그림과 같이 $1\times 10$의 직사각형 판을 $1\times 1$ 또는 $1\times 2$ 판으로 덮는 방법은 모두 몇 가지 인가?
풀이
일반화를 위해 $1\times n$인 판을 생각하자. 이런 문제는 작은 자연수부터 차근차근 생각하면 된다. $n=1$일 때와 $n=2$일 때는 아래와 같다. $n=4$일 때는 아래와 같다. 모든 방법의 수를 $a_n$으로 두고 숫자로 표현해 보면 각각 $(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)$이므로 $a_4 =5$인데 이를 맨 앞에 $1$이 오는 경우와 $2$가 오는 경우로 나누어 생각하면 $a_4 =a_3 +a_2$임을 알 수 있고 쉽게 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$을 찾을 수 있다.
피보나치수열 여러가지 모양으로 표현된다.
가장 널리 알려진 문제는 토끼 문제이다. 윤리적인 문제는 무시하고 문제를 보자.
토끼 암컷과 수컷 한 쌍이 있다. 태어나 한 달 동안은 자라서 어른이 되고 다시 한 달이 지날 때마다 꼬박꼬박 한 쌍의 남매 토끼를 낳는다. 죽는 토끼가 없다면 12달 후 몇 쌍의 토끼가 있을까?
이제 일반항을 구해보자.
$a_1 =1, a_2 =1 $
$ a_{n+2} =a_{n+1} +a_n $
와 같이 귀납적으로 정의된다.
일반항을 구하기 위하여 점화식을
$a_{n+2} -\alpha a_{n+1} =\beta(a_{n+1} -\alpha a_n )$ 의 모양으로 바꾼다.
$a_{n+2} -\alpha a_{n+1} =\beta(a_{n+1} -\alpha a_n )=\beta^2 (a_n -\alpha a_{n-1} )=\cdots=\beta^n (a_2 -\alpha a_1 )=\beta^{n+1}$
$\therefore a_n -\alpha a_{n-1} =\beta^{n-1}$……………①
$\alpha, \beta$를 바꾸어 생각해도 마찬가지이다.
$\therefore a_n -\beta a_{n-1} =\alpha^{n-1}$……………②
①②를 연립하여 풀면
$$a_n = \frac{1}{\beta-\alpha} (\beta^n -\alpha^n )$$ 이다.
한편, $\alpha +\beta=1,\;\; \alpha \beta=-1$이므로
$\alpha, \beta$는 2차방정식 $x^2 -x-1=0$의 두 근이다.
$$\beta = \frac{1+\sqrt5}{2} , \;\; \alpha = \frac{1-\sqrt5}{2}$$라고 한다면
피보나치수열의 일반항은
$$a_n = \frac{1}{\sqrt5} \Bigg(\bigg( \frac{1+\sqrt5}{2} \bigg)^n -\bigg( \frac{1-\sqrt5}{2} \bigg)^n \Bigg)$$이다.
Fibonacci.pdf
자연속의 피보나치 수열
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피보나치 수열의 일반항 구하기
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피보나치 수열의 유래 :
레오나르도 피보나치(Fibonacci ; 1174~1250)가 1202년에 저술한 주산서(Liber Abbaci) 12장에서 “어떤 사람이 사방이 벽으로 둘러싸인 장소에 토끼 한 쌍을 놓았다. 만일 매달 각 쌍의 토끼가 두 번째 달부터 새로운 쌍의 토끼를 낳는다고 가정하면 1년 동안에 한 쌍의 토끼가 낳을 수 있는 토끼는 몇 쌍인가?”라는 질문이라고 본다.
피보나치 수열의 일반항
특성방정식을 이용하여 피보나치 수열 일반항 구하기
피보나치 수열의 일반항을 구하는 문제
(풀이)
생성함수를 이용하여 일반항 구하기
참고 : 피보나치 수열의 항등식 https://mathpeak.tistory.com/349
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피보나치 수열(Fibonacci Sequence)의 일반항
피보나치 수열
다음을 만족하는 수열 $ \{ a_n \} $을 피보나치 수열이라고 한다.
\begin{gather*}
a_1 = 1, \ \ a_2 = 1, \ \ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \ \ (n = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots)
\end{gather*}
피보나치 수열의 일반항
피보나치 수열의 일반항은 다음과 같다.
\begin{gather*}
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}
\end{gather*}
증명
점화식 $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} $을 다음과 같이 변형한다.
\begin{gather*}
a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta ( a_{n+1} – \alpha a_n )
\end{gather*}
전개하면
\begin{gather*}
a_{n+2} = (\alpha + \beta) a_{n+1} – \alpha \beta a_n
\end{gather*}
이고, $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} $과 같아야 하므로
\begin{gather*}
\alpha + \beta = 1, \ \ \alpha \beta = -1
\end{gather*}
이다.
\begin{align*}
a_{3} – \alpha a_{2} &= \beta ( a_{2} – \alpha a_{1} ) \\[5px]
a_{4} – \alpha a_{3} &= \beta ( a_{3} – \alpha a_{2} ) \\[5px]
a_{5} – \alpha a_{4} &= \beta ( a_{4} – \alpha a_{3} ) \\[5px]
& \ \ \vdots \\[5px]
a_{n} – \alpha a_{n-1} &= \beta ( a_{n-1} – \alpha a_{n-2} )
\end{align*}
이고, 변변 곱하면
\begin{gather*}
a_{n} – \alpha a_{n-1} = \beta^{n-2} ( a_{2} – \alpha a_{1} )
\end{gather*}
$ a_1 = 1 $, $ a_2 = 2 $, $ 1 – \alpha = \beta $이므로
\begin{gather*}
a_{n} – \alpha a_{n-1} = \beta^{n-1} \ \ \ \ \cdots \ \textrm{①}
\end{gather*}
이다.
마찬가지 방식으로 점화식 $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} $을
\begin{gather*}
a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha ( a_{n+1} – \beta a_n )
\end{gather*}
으로 변형하면
\begin{gather*}
a_{n} – \beta a_{n-1} = \alpha^{n-1} \ \ \ \ \cdots \ \textrm{②}
\end{gather*}
이다.
①에 $ \beta $를 곱하고
\begin{gather*}
\beta a_{n} – \alpha \beta a_{n-1} = \beta^{n}
\end{gather*}
②에 $ \alpha $를 곱한 후
\begin{gather*}
\alpha a_{n} – \alpha \beta a_{n-1} = \alpha^{n}
\end{gather*}
변변 빼면
\begin{gather*}
(\beta – \alpha) a_n = \beta^n – \alpha^n \ \ \ \therefore \ \ a_n = \frac{\beta^n – \alpha^n}{\beta – \alpha}
\end{gather*}
이다.
$ \alpha + \beta = 1 $, $ \alpha \beta = -1 $이므로 $ \alpha $, $ \beta $는
\begin{gather*}
x^2 – x – 1 = 0
\end{gather*}
의 두 근이고, 근의 공식에 의하여
\begin{gather*}
x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{gather*}
이다.
\begin{gather*}
\alpha = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}, \ \ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{gather*}
로 놓으면
\begin{gather*}
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}
\end{gather*}
이다.
피보나치 수열의 일반항 1
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(링크) 여러가지 수열 점화식의 일반항
https://peeton.tistory.com/9
특성방정식을 통한 일반항 구하기는 (링크)의 5번.
수열 중 가장 유명한 수열이 피보나치 수열일것이다.
피보나치 수열은 토끼의 번식 문제에서 등장하였지만, 이 수열은 아주 많은 자연 현상으로 부터 나타나고 있고
피보나치 수열은 황금비와도 연관이 있으며, 인쇄 용지의 크기, 신용카드의 크기, 앵무조개등 많은 곳에서 볼 수 있다.
그 피보나치 수열의 점화식을 만들고, 그 점화식으로 일반항을 구해보자.
고등학교 수열 과정만 알아도 충분히 이해할 수 있다.
다음의 피보나치 수열의 점화식을 만들어보자.
(n+2)번쨰 항은 앞의 두 항 (n+1), (n)번째 항을 더하여 생성된다.
그러면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
점화식의 특성방정식은, a대신 x를 대입하면 만들 수 있다.
(n+2)항은 X^2으로, (n+1)항은 X, (n)항은 1로 치환하자.
특성방정식에 대해서는 몰라도 상관이 없다. 특성방정식에서의 두 근을 사용하는 이유는
a(n+1)번째 항을 적당히 두개로 분리하여 새로운 등비수열을 만드는 것에 있다.
여기서 두 가지 식으로 나뉘어 진다.
좌변과 우변에 같은 수열이 생겨났다. 그 수열은 각각 공비가 베타와 알파인 수열이다.
피보나치 일반항은 구했지만 n번쨰 항을 구하기엔 계산이 간단하지가 않아 컴퓨터 계산의 힘을 빌려야한다.
손으로 직접 500번째 항을 구하기엔 좋지 않지만, 일반항을 구한것에 의미를 두자.
피보나치 수열은 황금비와 큰 연관이 있는데, 연속된 두 항의 비가 곧 황금비가 된다.
글의 첫 부분에 있는 “여러가지 수열 점화식과 일반항”의 4번 항목을 이해하면
이 글에서 왜 특성방정식의 두 근이 등장하는지 알 수 있다.
위와 같은 선형점화식을 다루는데에 있어 행렬과 고유값등을 몰라도 ‘새로운 등비수열을 만드는 것’ 만
이해하면 어렵지 않다.
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피보나치수열의 일반항 구하기
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피보나치 수열이라는 재미있는 수열이 있습니다.
관련 포스팅을 한 적이 있는데 이번 시간에는 피보나치수열의 특징이 아닌 일반항을 구해보도록 하겠습니다.
먼저, 피보나치 수열이 무엇인지 잠시 다시 한번 언급해 보도록 하겠습니다.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…처럼 이루어진 수열을 말합니다.
이 수열을 자세히 보면, 뒤에 있는 항은 바로 앞에 있는 두 개의 항의 합으로 이루어져 있습니다. 이전 관련 포스팅에서 언급한 것처럼 가장 자연적인 수열이라고 할 수 있습니다.
이 수열의 일반항은 어떻게 구할까요?
21은 앞에 나온 8과 13을 더해서 나온 수인데, 이를 하나의 문자 식으로 쓰면 첫 번째 앞에 있는 항을 a n 이라고 하면, 두 번째 항은 a n+1 이 되고, 세 번째 항은 a n+2 라고 할 수 있는데, a n+2 = a n+1 + a n 으로 나타낼 수 있습니다.
어디서 많이 본 수열처럼 보이지 않나요? 오른쪽에 두 개의 항을 왼쪽으로 이항을 하면 다음과 같습니다.
맞습니다. 며칠 전에 썼던 저의 아래 글을 참고하면, 앞에 숫자만 다른 p+q+r ≠ 0인 수열이 되었습니다.
https://nous-temperature.tistory.com/674
피보나치수열은 첫 번째 항은 1, 두 번째 항이 1이고, 위에서 제시한 식을 2차 방정식이라고 하면, 두 근은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
한 근을 알파라고 하고, 다른 근을 베타라고 한다면, 알파와 베타는 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.
이전 “수열이 귀납적 정의, 동차 선형 점화식 일반항 구하기” 글에서 두 근이 알파와 베타라고 했을 때 일반항은 다음과 같다고 계산했었습니다.
위 식의 알파와 베타에 앞에서 계산한 알파와 베타를 넣어서 계산하면 다음과 같이 정리할 수 있겠네요.
매우 복잡한 식이 나왔지만, 조금 인내를 가지고 하나씩 계산해 보도록 하겠습니다. 아래처럼 계산하니 조금씩 규칙성이 보이기 시작하는 듯합니다.
분자를 최대한 간단하게 더 계산해 보겠습니다.
이제 거의다 계산이 끝나 갑니다. 조금만 더 힘을 내 보자고요.
가장 자연을 닮았다고 하는 피보나치수열의 일반항은 다음과 같습니다.
아직 수열 관련해서 포스팅할 게 있습니다. p+q+r=0인 수열의 일반항 풀이가 며칠 이내에 곧 이어질 예정입니다.
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피보나치 수열의 일반항 유도
피보나치 수열의 일반항 유도
피보나치 수열의 일반항 유도
The general term of fibonacci sequence
목차 정리
설명
유도
정리
수열 $\left\{ F_{n} \right\}_{n=0}^{\infty}$ 이 $F_{n+1} := F_{n} + F_{n-1}$ 과 같이 정의되어있다고 하자. $F_{0} = F_{1} = 1$ 이면 $\displaystyle r_{0} : = {{1 + \sqrt{5} } \over {2}}$ 와 $\displaystyle r_{1} : = {{1 – \sqrt{5} } \over {2}}$ 에 대해 $$ F_{n} = {{ {r_{0}}^{n+1} – {r_{1}}^{n+1} } \over { r_{0} – r_{1} }} $$
설명
위에서 소개된 피보나치 수열은 $0$ 부터 시작하는 것에 주의하자.
피보나치 수열의 일반항은 비네 공식Binet Formula이라 부르기도 한다. 피보나치 수열은 워낙 많은 성질을 가지고 있고 생각지도 못한 부분에서 응용이 되기도 한다. 아예 피보나치 수열만 가지고 책이 나와있는 수준이고, 교과서나 인터넷에도 설명이 많으므로 일단 생략하기로 한다.
유도
방정식 $$ \begin{align*} & r^2 – r – 1 \\ =& \left( r – {{1 + \sqrt{5} } \over {2}} \right) \left( r – {{1 – \sqrt{5} } \over {2}} \right) \\ =& ( r – r_{0} ) ( r – r_{1} ) \end{align*} $$ 을 생각해보자. 위 방정식에 따르면 $$ {r_{0}}^2 – {r_{0}} – 1 = 0 \\ {r_{1}}^2 – {r_{1}} – 1 = 0 $$ 이 성립한다. 조금 더 보기 좋게 바꾸면 $$ {r_{0}}^2 = {r_{0}} + 1 \\ {r_{1}}^2 = {r_{1}} + 1 $$ 이다. 이제 수학적 귀납법을 사용해 $$ F_{n} = {{ {r_{0}}^{n+1} – {r_{1}}^{n+1} } \over { r_{0} – r_{1} }} $$ 이 참임을 보일 것이다.
$n=0$ 일 때, $$ F_{0} = {{ {r_{0}}^{0+1} – {r_{1}}^{0+1} } \over { r_{0} – r_{1} }} = 1 $$
$n=1$ 일 때, $$ F_{1} = {{ {r_{0}}^{1+1} – {r_{1}}^{1+1} } \over { r_{0} – r_{1} }} = 1 $$
$n=k$ 일 때 $$ F_{k} = {{ {r_{0}}^{k+1} – {r_{1}}^{k+1} } \over { r_{0} – r_{1} }} $$ 이 성립한다고 가정해보자.
$\left\{ F_{k} \right\}$ 는 피보나치 수열이므로
$$ \begin{align*} F_{k+1} =& F_{k} + F_{k-1} \\ =& {{ {r_{0}}^{k+1} – {r_{1}}^{k+1} } \over { r_{0} – r_{1} }} + {{ {r_{0}}^{k} – {r_{1}}^{k} } \over { r_{0} – r_{1} }} \\ =& {{ {r_{0}}^{k} ( r_{0} + 1 ) – {r_{1}}^{k} ( r_{1} + 1 ) } \over { r_{0} – r_{1} }} \\ =& {{ {r_{0}}^{k} \cdot { r_{0} }^{2} – {r_{1}}^{k} \cdot { r_{1} }^{2} } \over { r_{0} – r_{1} }} ( \because {r_{0}}^2 = {r_{0}} + 1, {r_{1}}^2 = {r_{1}} + 1 ) \\ =& {{ {r_{0}}^{k+2} – {r_{1}}^{k+2} } \over { r_{0} – r_{1} }} \end{align*} $$ 정리하면 $$ F_{k+1} = {{ {r_{0}}^{k+2} – {r_{1}}^{k+2} } \over { r_{0} – r_{1} }} $$ 인데, 이는 $$ F_{n} = {{ {r_{0}}^{n+1} – {r_{1}}^{n+1} } \over { r_{0} – r_{1} }} $$ 이 $n=k+1$ 일때도 성립한 것이다.
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키워드에 대한 정보 피보나치 수열 일반항
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