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나비에-스토크스 방정식 – 나무위키:대문
이 경우 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)이라는 이름은 뉴턴 유체(Newtonian flu)의 응력-변형률 관계식(constitutive equation …
Source: namu.wiki
Date Published: 10/20/2021
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나비에-스토크스 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 N-S 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술(記述)하는 비선형 편미분방정식이다. 클로드 루이 나비에와 …
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 8/24/2022
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나비에-스토크스 방정식[Navier-Stokes’ equation] – 네이버 블로그
나비에-스토크스 방정식[Navier-Stokes’ equation] … 이 방정식은 물리학 중 역학에 관련된 수많은 곳에 널리 사용되고 있다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 8/18/2021
View: 7629
나비에 스토크스 방정식 유도 (Navier-Stokes equations) 이해하기
나비에 스토크스 방정식 유도 (Navier-Stokes equations) 이해하기. 송도방랑객 2022. 7. 5. 21:47. 반응형. 나비에 스토크스 방정식에 대해 이해한 바를 정리하고자 …
Source: cheungjae.tistory.com
Date Published: 7/17/2022
View: 9028
[Fluid Mechanics] 01: 연속 방정식 & 나비에 – 완숙의 에그머니
Navier-Stokes Equation. 나비에 스톡스 방정식은 그럼 무엇인가. 뉴턴 법칙을 오일러 관점에서 서술한 식이다. net_F = m*a에서 RHS의 …
Source: wansook0316.github.io
Date Published: 11/5/2022
View: 7957
Navier-Stokes (나비에-스톡스) 예제 – 갓준표의 4대역학
x방향으로의 힘 평형 방정식을 나비에-스톡스로 구해주는 것이고,. 모르는 항이 너무 많기 때문에. Continuity Equation을 이용해서 정보를 얻는 것 …
Source: godjunpyo.com
Date Published: 4/5/2021
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- Author: 재우스쿨
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- Date Published: 2014. 8. 19.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 N-S 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술(記述)하는 비선형 편미분방정식이다. 클로드 루이 나비에와 조지 가브리엘 스토크스가 처음 소개하였다. 오일러 방정식을 확장한 것이다.
활용 [ 편집 ]
날씨 모델, 해류, 관에서 유체흐름, 날개주변의 유체흐름 그리고 은하안에서 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수 있으며 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관내의 혈류, 오염물질의 확산 등을 연구하는데 사용되고 있다.
나비에-스토크스 문제 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 입니다.
이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 강해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다. 1934년에 장 르레가 약해의 존재성을 증명했으나, 제한된 조건이 아닌 상황에서 강해의 존재성을 증명하지 못했다. 2차원의 경우 올가 라젠스카야가 완벽히 해결했고, 후에 많은 수학자들이 적절한 조건하에서 강해의 존재성을 증명했으나, 아직까지 완전한 강해의 존재성은 증명되지 않았다. 3차원의 경우 나비에-스토크스 방정식의 강해가 존재하거나, 유한 시간안에 폭발하는 해가 존재함을 보이는 것을 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움(Navier–Stokes existence and smoothness) 문제라 한다. 2000년 5월 24일 클레이 수학연구소에서는 이 문제를 포함, 7개의 밀레니엄 문제를 해결하는데 각각 1,000,000달러의 상금을 내 걸었다.
2014년에 테렌스 타오가 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 경우 유한 시간 안에 폭발하는 해가 존재한다는 것을 보였다.
공식 [ 편집 ]
나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 쓰이지만, 다음은 아인슈타인 표기법을 사용해 쓴 것이다.
∂ u i ∂ t + u j ∂ u i ∂ x j = f i − 1 ρ ∂ p ∂ x i + ν ∂ 2 u i ∂ x j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+
u {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}
식에서 각 기호는 그 시각, 지점에서의
u: 속도 f: 단위체적당 걸리는 외력 ρ: 밀도 p: 압력 ν: 점성 계수 이다.
위 식을 벡터를 이용하여,
∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = f − 1 ρ ∇ p + ν △ u {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}\cdot
abla ){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {f-}}{\frac {1}{\rho }}
abla p+
u \triangle {\boldsymbol {u}}}
로 쓸 수도 있다.
∇ {\displaystyle
abla } 는 델 (연산자)이다.
Δ {\displaystyle \Delta } 는 라플라스 연산자이다.
방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)에 기반하고 있으며, 좌변이 가속도, 우변이 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타내고 있다.
같이 보기 [ 편집 ]
서지 [ 편집 ]
Acheson, D. J. (1990), 《Elementary Fluid Dynamics》, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Oxford University Press, ISBN 0-19-859679-0
Batchelor, G. K. (1967), 《An Introduction to Fluid Dynamics》, Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), 《Fluid mechanics》, Course of Theoretical Physics 6 2 revis판, Pergamon Press, ISBN 0-08-033932-8 , OCLC 15017127
Rhyming, Inge L. (1991), 《Dynamique des fluides》, Presses polytechniques et universitaires romandes
Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), 《Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering》, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8
Currie, I. G. (1974), 《Fundamental Mechanics of Fluids》, McGraw-Hill, ISBN 0-07-015000-1
V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.
나비에-스토크스 방정식[Navier-Stokes’ equation]
나비에-스토크스 방정식은 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid)의 작용하는 힘과 운동량의
변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. (뉴턴 제2법칙의 확장)
이 방정식은 물리학 중 역학에 관련된 수많은 곳에 널리 사용되고 있다.
수학적인 관점에서 보자면 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간)상에 해가
항상 존재하는지 존재한다면 해를 어떻게 구하는지 특이점은 없는지 매끄러운지 등이
증명되지 않았다. 이렇기 때문에 공학 최전선에서조차 전산유체역학에 의존한다.
이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 밀레니엄 문제이다.(밀레니엄 7대 난제)
프랑스 물리학자 클로드루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 F=ma를 유체 역학에서
사용하기 쉽게 바꾼 방정식이다.
나비에-스토크스 방정식은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그
형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면
생각하는 ‘고정된 좌표계’에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴역학을 적용하기
위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이
이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다.
물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량,
운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그중 가장
복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다.
때때로 질량 보존 법칙까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다.
“나비에-스토크스 방정식을 푸는 것은 어렵다. 어찌나 어려운지 고성능 컴퓨터가
발명되기 전까지 수학자들은 몇몇 요령들과 근삿값에 만족해야 했다.
그렇지만 실제로 유체가 하는 운동을 생각해 보면, 어려울 수밖에 없다.
개울의 흐르는 물이나 해변에 부딪혀 깨지는 파도를 보면 유체가 극도로 복잡하게
흐를 수 있다는 것을 알 수 있다.”
“나비에-스토크스 방정식은 현대의 운송 시스템에 혁신을 불러일으켰다. 그중에서도
여객기의 디자인에 가장 큰 영향을 미쳤을 텐데, 여객기들은 효과적으로 나는 것은
둘째 치고 안정적이고 믿음직하게 날아야 하기 때문이다.”
“기후의 두 가지 핵심적인 구성 요소는 대기와 대양이다.
둘 다 유체이고, 둘 다 나비에-스토크스 방정식을 통해 연구될 수 있다.”
─ 이언 스튜어트, 『세계를 바꾼 17가지 방정식』
1. 기본형
가장 기본적인 형태. 응력과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.
2. 비압축성(incompressible)
• 먼저 벡터를 사용해서 나타낸 식
• 직교좌표에서 텐서를 사용해서 나타낸 식.
• 스칼라를 사용해서 나타낸 식
• 구면좌표계
• 원통좌표계
3. 비점성(inviscid)
위 incompressible과 비교해보면 비점성인 경우에는 μ=0이기 때문에 3번째 항이 사라졌다.
이 식은 오일러 방정식이라고도 한다.
4. 압축성
나비에 스토크스 방정식 유도 (Navier-Stokes equations) 이해하기
송도방랑객
나비에 스토크스 방정식에 대해 이해한 바를 정리하고자 합니다.
그 전에 기본적으로 알아야 할 사항입니다.
나비에 스토크스 방정식을 한 문장으로 표현하면 아래와 같습니다.
‘점성을 가진 유체에 작용하는 힘과 운동량의 변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식’
‘점탄성이 없는 유체(뉴턴 유체)에 대한 일반적인 운동 방정식’
(점탄성과 점성은 다릅니다)
나비에 스토크스 방정식은
유도 과정이 복잡하고
그 중간중간 단순화를 가정하는 것이 많아
공식이 여러가지가 있지만
가장 보기 편한 것이 아래의 식 같습니다.
위 식을 이해하기 위해서
먼저 알아야 할 것이 있습니다.
수학적인 내용입니다.
——————————————————-
미소 유체 시스템에 Newton의 제 2법칙(F=ma)을 적용하기 위해
유동의 가속도 벡터장 a 를 계산하여야 합니다.
속도 벡터 V의 전시간 미분을 계산하면 아래와 같습니다.
(일반적으로 d는 전미분, ∂는 편미분이라고 생각하면 된다.)
여기서 u, v, w 는 시간 t에 영향을 받는 함수이므로, 아래와 같이 표기 됩니다.
이를 전미분이라 하며, 편미분처럼 다른 변수를 상수로 취급하여 단순 미분해버리면 안됩니다.
즉, x축 속도벡터인 u를 보면, 아래와 같습니다.
위에서 x축에 대한 가속도를 구했지만
유체는 3차원 공간에서 흐르니 x, y, z 다 필요하겠죠.
따라서 이를 x, y, z축으로 확장시키면 아래와 같습니다.
이게 바로 나비에 스토크스 방정식의 좌변이 2가지로 쓰이는 이유입니다.
이제 본격적으로 들어갑니다.
미소 유체 시스템에 가해지는 힘은 중력에 의한 힘과, 미소체적의 x, y, z 표면에 가해지는 힘 두 가지가 있습니다.
이를 표현하면 아래와 같습니다.
즉,
그렇다면, 저 각각의 힘을 어떻게 구할까요?
중력에 의한 힘 Fgrav 는 그래도 간단합니다.
미소구간 표면에 가해지는 외력을 구하는게 조금 어려운데,
아래를 잘 살펴보세요
이제 나비에 스토크스 방정식을 완성하기 위해
점성력 까지 고려해 줍니다.
좀 더 볼까요?
이를 바탕으로, x축에 대한 표면력을 먼저 구하면
이를 또 3차원으로 확장하면
이제 위에서 봤던 식
에 위에서 구한것들을 넣어줍시다.
이를 다시 표현하면
최종적으로 처음 봤던 식이 다시 나오져
의미를 살펴보면 아래와 같다고 할 수 있습니다.
응력 텀에 점성력까지 반영 돼 있고
체적력이 뭐 중력에 의한 힘이겠죠?
여기까지가 뉴턴유체, 비압축성 유체에 대한 나비에 스토크스 방정식
유도라고 할 수 있겠고, 비점성이라면 좀 더 단순해지구요
압축성을 고려하면 좀 더 복잡해지게 됩니다.
[유체역학] 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)
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오늘은 전산유체역학에서 잠시 나왔던 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 자세히 알아보도록 하겠습니다. 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 일정한 상태량을 갖는 비압축성 뉴턴 유체에 대한 선형 운동량 보존에 관한 방정식입니다.
나비에 스토그스 방정식(Navier-Stokes, eaquation) (출처: 세계를 바꾼 17가지 방정식(사이언스북스, 2016)
프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)를 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식입니다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있습니다. 하지만 문헌상에서 이용 가능한 해석 해는 거의 존재하지 않으며, 그러한 해는 손꼽을 정도로 매우 적습니다. 실제 거의 대부분의 유체역학 문제는 해석적으로 풀 수 없으며, 근사적 방법이나 컴퓨터의 도움이 필요로 합니다.
앞선 말한 것 처럼 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것 입니다. 유체는 고체와 달리 고정된 좌표 개념이 없기 때문에 분석이 매우 힘듭니다. 따라서 유체에 뉴턴 역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식입니다. 유체역학에서 중요한 물리량은 질량, 운동량, 에너지이며 이 세가지 물리량의 보존 법칙이 유체역학에서의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 중요한 방정식이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.
이 수식을 통해 유체에 대한 운동을 확인 할 수 있습니다. 항공기가 뜨는 원리, 담배연기 확산, 기계의 내부유로 설계, 날씨예보 등에 쓰입니다. 세계를 바꾼 가장 주요한 수식 중에 하나가 아닐 수가 없습니다.
방정식 예1) 담배연기 방정식 예2) 항공기 이륙
나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 유체의 압축성을 나타냅니다. 오일러 방정식(Euler equation)에 점성항을 더한 것이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.
Euler eqaution(출처: 나무위키)
오일러 방정식(Euler equation)은 비점성 영역을 나타낸 방정식이며, 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)의 근사화라고 볼 수 있습니다.
간단하게 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 확인하여 보았습니다. 아직도 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 해의 존재성 조차 모르는 수식입니다. 난해한 수식이라고 볼 수 있습니다. 하지만 우리 삶에서 많은 도움을 주고 있는 수식이기도 합니다. 현재 미국 클레이 연구소에서는 밀레니엄 난제로 등록되어 있기도 합니다. 수치해석으로 얻은 근사 값으로도 우리 삶을 이끌고 있는 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 답이 나오는 그 날이 왔으면 좋겠습니다.
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