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라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다. 대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다.
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안녕하세요 🙂
앞으로는 미분방정식에서 중요한 개념인
‘라플라스변환’ 에 대해서 스터디 영상을 종종 올려드릴 예정이에요 ^^
같이 스터디 잘 진행봅시다 ㅎ
네이버 스터디용 블로그 : https://blog.naver.com/bmw9707121
미분 방정식 라플라스 변환 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 – 네이버 블로그
1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠. 근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요). 첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 10/19/2021
View: 7348
미분방정식의 라플라스 변환 – 권찡’s 공학이야기
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. … 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 …
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 1/27/2022
View: 7967
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기 – MATLAB & Simulink
라플라스 변환을 사용하여 초기 조건이 있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어, 다음 회로와 같은 저항-인덕터-커패시터(RLC) 회로를 풀 수 있습니다.
Source: www.mathworks.com
Date Published: 4/1/2022
View: 4194
라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이 – Ernonia
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정..
Source: dimenchoi.tistory.com
Date Published: 5/3/2022
View: 3499
[공업수학] 6. 편미분 방정식 : 라플라스 변환 해법 – SUBORATORY
이전에 포스팅한 라플라스 변환은 f(t)에 관한, 즉 일변수 t에 대한 상미분방정식을 풀기 위한 해법으로써 소개되었다. 대수방정식을 거쳐 해를 …
Source: subprofessor.tistory.com
Date Published: 11/1/2021
View: 4800
3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용
미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 …
Source: cccforone.tistory.com
Date Published: 12/20/2021
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Source: toplist.xosotanphat.com
Date Published: 4/3/2021
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Top 12 라플라스 변환 미분 방정식 All Answers
[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제 : 네이버 블로그 · 15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 : 네이버 블로그 · 미분방정식의 …Source: toplist.giarevietnam.vn
Date Published: 7/7/2021
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주제에 대한 기사 평가 미분 방정식 라플라스 변환
- Author: BOS의 스터디룸
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- Date Published: 2019. 12. 27.
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[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제
#미분적분학
사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다.
라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다.
대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!)
라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
자 드디어 저희들의 라플라스 포스팅 최종 목적지에 도착을 했습니다.
지금까지 포스팅 해왔던 내용을 바탕으로 미분방정식을 풀어보며 라플라스 포스팅을 마치도록 합시다
저희가 할 내용을 그림으로 표현해 보면
커다란 화살표처럼 한바퀴 쭉 도는 겁니다.
이번 포스팅은 새로운 개념은 없으며 그냥 문제풀이 포스팅이에요.
그럼 라플라스 변환의 필수 재료인 라플라스 변환표를 가져다 놓고 시작하도록 합시다.
참고로 학교마다 다르긴 한데 제가 아는 한도내에서는(즉 저희 학교기준으로는)
수학 시험 때는 표를 제공 안하고 외워서 보니
포스팅에서 표 보고 푼다고 표를 안 외우시면 큰일 나실 수 있습니다.
자신의 학교 시험이 표를 외워야 하는지 안외워도 되는지는 스스로 알아 두시길 바랍니다.
그럼 1번 예제 시작하겠습니다.
첫 번째 입니다.
1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠
근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요)
첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다.
변환이 완료 되었습니다.
미분에 대한 항이 다 사라졌음을 볼 수 있습니다.
바로 를 미지수로 가지는 대수 방정식이죠
이제 저 대수방정식을 풀어서 미지수 를 구해봅시다.
가 나왔습니다.
이제 무엇을 하면 될까요???
네 ㅎㅎ 바로 역변환입니다.
다행스럽게도 표에 있는 형태가 바로 나왔네요
역변환을 해보면
가 구해졌습니다.
이번엔 차수를 2차로 늘려보죠
2번째 예제는 입니다.
2차 미분방정식이니 초기값이 2개 필요하겠죠
이번엔 초기값을 주고 풀어보죠
라고 하고 풀어봅시다.
첫번째로 라플라스 변환을 해보죠
대수방정식으로 변환이 완료되었습니다.
이제 를 구해보죠
참고로 저기 붉은색 으로 색칠해 놓은 부분은 별다른 이유는 없습니다.
그냥 저것을 Characteristic Equation (특성 방정식)이라고
불리는 것 정도만 알고 계시면 됩니다.
(일반적인 미분방정식 풀이에서도 한번 등장했던 단어죠)
어쨋든 식이 표에 없는 모양입니다.
따라서 표에 있는 모양으로 변형시켜야 합니다.
(내고 나서 후회하는 건데 좀 식이 지저분하게 나올겁니다…..)
변형시켜 보죠
식이 변형 완료 되었습니다.
분수가 마구잡이로 들어가서 그렇지 분명 표에 있는 형태입니다.
다시 써보면 아래와 같은데
s-Shifting의 개념이 들어갔네요 ㅎㅎ
이제 계산된 결과를 역변환 해봅시다.
가 나왔습니다.
즉 미분방정식의 해는
인 것이죠
슬슬 익숙해 지셨죠 이제 진행을 빨리 해보겠습니다.
마지막 예제 입니다.
을 풀어보죠
초기값은 간단하게 을 줍시다.
먼저 변환을 하고 풀면
가 나옵니다. 표에 없으니 있는 모양으로 바꿔줍시다.
표에 있는 모양이 나왔습니다.
이번엔 t-Shfting 개념이 들어가 있네요
그것에 유의하며 역변환 해보면 아래와 같죠
이것으로 포스팅 마치도록 하겠습니다.
제 라플라스 포스팅을 보시는 분들은 이것까지만 하면 끝입니다.
아마도 뒤에 하게될 포스팅 내용은 필요 없을거에요
다음 포스팅 부터는 아마 99.99%의 분들이 필요 없을법한 브롬위치 적분을 통한 라플라스 역변환 입니다.
사실상 여기서 끝이니 인사드릴께요
지금까지 봐주셔서 감사합니다
수고하셧어요
예제풀이 포스팅 이니 만큼 요약은 없습니다.
15장 포스팅 끝
미분방정식의 라플라스 변환
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다.
가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다.
t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다.
보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다.
만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는
이런 식이 되는 것입니다.
이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다.
위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다.
앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다.
특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠
그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다.
또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경우, 라플라스 변환으로 풀릴수도 있습니다.
직접 한번 풀어보겟습니다.
초기 값이 주어졌을때 보다 간단히 해를 구할수 있습니다.
중간에 연습한다고 삼천포로 빠져서 그렇지 분수 형태로 나누고 나서 하시면 가장 편합니다.
좀 더 내용 심화를 해서 이변수 함수의 라플라스 변환에 대해서도 알고 넘어갑시다.
예를 들어봅시다.
위 내용과 같이 변수가 t에 관해 미분되어있는 경우만이 이전의 미분된 함수의 라플라스 변환 공식에 따르게 되고,
x에 관해 미분되있을 경우는 영향을 주지 못합니다.
이런 이변수함수 혹은 다변수 함수의 라플라스 변환은 편미분 방정식을 푸는 하나의 툴로써 사용되니 알아두면 좋겟죠
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이
라플라스 변환
라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다.
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정식까지요.
오늘은 라플라스 변환에 대해 알아보겠습니다.
정의
라플라스 변환은 아래와 같이 정의됩니다.
$$
\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = \int^\infty_0 e^{-st} f(t)dt
$$
즉, 라플라스 변환은 $t$에 대한 함수 $f(t)$를 $s$에 관한 함수 $F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$로 변환합니다.
예시로 지수함수의 라플라수 변환을 보겠습니다.
$$
\begin{align}\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace &= \int^\infty_0 e^{-st}e^{-3t}dt \\ &= \int^\infty_0 e^{-(s+3)t}dt \&= \left[\frac{-e^{-(s+3)t}}{s+3}\right]^\infty_0 = \frac{1}{s+3} \end{align}
$$
단, 마지막 줄은 $s>-3$일 때만 수렴합니다. 따라서 이 변환의 정의역은 $s>-3$입니다.
나머지 함수의 라플라스 변환 결과는 아래와 같습니다.
$\mathcal{L}\lbrace t^n \rbrace=\frac{n!}{s^{n+1}}$ $\mathcal{L}\lbrace e^{at} \rbrace = \frac{1}{s-a}$ $\mathcal{L}\lbrace \sin kt \rbrace=\frac{k}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \cos kt \rbrace = \frac{s}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \sinh kt \rbrace = \frac{k}{s^2-k^2}$ $\mathcal{L}\lbrace \cosh kt \rbrace = \frac{s}{s^2-k^2}$
한 가지 외우는 팁을 알려드리자면,
$\sin t, \cos t$는 원 위의 점을 나타내기 때문에 라그랑주 변환의 분모가 원의 방정식 꼴을 하고 있고,
$\sinh t, \cosh t$는 쌍곡선 위의 점을 나타내기 때문에 분모가 쌍곡선의 방정식 꼴입니다.
한편 분자의 경우 $\sin$류 함수는 $k$, $\cos$류 함수는 $s$ 입니다.
그래서 저는 “SK텔레콤은 CS(Computer Science) 회사!”라고 외웠습니다 ㅎㅎ;
아직은 이게 어떻게 미방을 푸는지 전혀 모르겠습니다만, 일단 따라와주시기 바랍니다.
성질
함수가 라플라스 변환을 가지기 위해서는 다음 조건을 만족해야 합니다.
정의
$|f(t)| \leq Me^{ct}$를 만족하는 상수 $c, M>0, T>0$가 존재할 때 $f$는 지수차수 $c$인 함수라고 한다.
정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$는 $s> c$에서 존재한다.
이 정리는 아까 전에서 $\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace$의 정의역이 $s>-3$인 이유를 설명합니다.
$e^{-3t}$의 지수차수가 $-3$이므로 $s>-3$에서 라플라스 변환을 가집니다.
또한 위의 표를 보면 한 가지 공통점을 눈치챌 수 있습니다.
모든 라플라스 변환은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴합니다.
이는 다음 정리로 요약할 수 있습니다.
정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t)$은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴한다.
마지막 중요한 점, 라플라스 변환은 선형연산입니다.
이는 정적분이 선형이므로 당연한 결과이지만 매우 중요합니다.
라플라스 역변환
라플라스 역변환은 말 그대로 라플라스 변환을 거꾸로 하는 것입니다.
예를 들어 $\mathcal{L}^{-1} \lbrace \frac{1}{s+3} \rbrace = e^{-3t}$입니다.
위에서 봤다시피 대부분 라플라스 변환은 간단한 (분자)/(분모) 꼴이기 때문에, 라플라스 역변환을 하기 위해서는 부분분수로 최대한 주어진 식을 간단한 유리식으로 바꾸는 것이 좋습니다.
예시는 아래와 같습니다
$$
\begin{align}\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace \frac{s^2+6s+9}{(s-1)(s-2)(s+4)} \right\rbrace &= \mathcal{L}^{-1}\left\lbrace -\frac{16/5}{s-1} + \frac{25/6}{s-2} + \frac{1/30}{s+4} \right\rbrace \\ &= \frac{-16}{5}e^t + \frac{25}{6}e^{2t} + \frac{1}{30}e^{-45}\end{align}
$$
부분분수로 바꾸는 과정은 헤비사이드라는 방법을 사용했으니 모르시는 분은 찾아보시길 바랍니다.
마지막 줄에서 라플라스 (역)변환이 선형이라는 성질을 사용했습니다.
도함수의 라플라스 변환
정리 $\mathcal{L}\lbrace f^{(n)}(t) \rbrace = s^n F(s) – s^{n-1}f(0) – s^{n-2}f'(0) – \cdots – f^{(n-1)}(0)$
위 식은 수학적 귀납법으로 보일 수 있는데 과정이 꽤 복잡하므로 생략합니다.
중요한 것은, 이 정리가 라플라스 변환을 미분방정식 풀이의 사기캐로 만들어준다는 것입니다.
백문이 불여일견, 예시를 통해 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이를 보여드리겠습니다.
아래 미분방정식을 풀어보겠습니다.
$$
y’ + 3y = 13 \sin 2t, \quad y(0)=6
$$
1단계: 양변에 라플라스 변환을 취한다
$\mathcal{L}\lbrace y \rbrace = Y(s)$라고 두고 라플라스 변환을 취하겠습니다.
$$
\mathcal{L} \lbrace y’ + 3y\rbrace = sY(s) – y(0) + 3Y(s) = \mathcal{L} \lbrace 13\sin 2t \rbrace = \frac{26}{s^2+4}
$$
2단계: $Y(s)$를 부분분수로 표현한다
$$
Y(s) = \frac{6s^2+50}{(s+3)(s^2+4)}=\frac{8}{s+3}+\frac{-2s+6}{s^2+4}
$$
3단계: 라플라스 역변환을 취한다.
$$
y = 8e^{-3t} -2 \cos 2t + 3 \sin 2t
$$
짠! 이렇게 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
나중에 기회가 된다면 조금 더 복잡한 함수에 대해서 라플라스 변환을 적용하는 방법을 알아보겠습니다.
[공업수학] 6. 편미분 방정식 : 라플라스 변환 해법
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이전에 포스팅한 라플라스 변환은 f(t)에 관한, 즉 일변수 t에 대한 상미분방정식을 풀기 위한 해법으로써 소개되었다. 대수방정식을 거쳐 해를 구한다는 다소 편리한 이 라플라스 변환은 상미분방정식을 넘어 편미분방정식에도 적용될 수 있다(!).
편미분방정식을 라플라스 변환으로 풀기 위해서는 몇가지 기본전제(지식)가 필요하다.
1. 본 포스팅에서 다뤄지는 함수 w는 모두 이변수 함수 w(x,t)이다.
2. 라플라스 변환 시 적분은 한 문자에 대해서만 수행된다.
3. 역변환 또한 한 문자에 대해서만 수행된다.
4. W(x,s)는 함수 w(x,t)에 라플라스 변환을 수행한 함수이다.
편미분방정식에서 주의해야 할 것은 변수의 혼동이다. 라플라스 변환을 수행할 때 x와 t가 아무 관계 없는 독립변수이기 때문에 다른 한 문자를 상수취급하고 적분하면 된다. 도함수에 라플라스 변환을 취할 때도 동일하다.
이 해법은 기본적으로 상미분방정식에서 했던 것처럼 t에 대해 라플라스 변환을 취해 풀이해나가는 방식이다. x에 대한 변환은 소개하지 않는다.
과정을 정리하면 아래와 같다.
1. 주어진 편미분 방정식에 라플라스 변환을 취한다.
2. 초기조건을 사용해 식을 정리한다.
3. 정리된 식을 x에 대한 상미분방정식처럼 취급하여 해를 구한다. 여기서 해는 W(x,s)를 의미한다.
4. W(x,s)에 역변환을 취해 w(x,t)를 구한다.
(예제)
초기조건 (Initial Condition)과 경계조건 (Boundary Condition)이 주어졌다. 초기조건은 t=0일 때의 조건을, 경계조건은 x의 정의역 끝(위 문제의 경우 x=0)에서의 조건을 의미한다.
간단한 1계 편미분방정식이다.
<1> 먼저 양변에 라플라스 변환을 취하자
각 항별로 라플라스 변환을 수행하면 다음과 같다.
편미분 기호 x도 적분기호 앞으로 꺼내놓는다.
도함수의 라플라스 변환공식을 사용해도 좋다. 까먹었을 때는 직접 부분적분으로 유도하자
마지막으로 xt항이다. x를 상수취급하면 x/s^2 항을 얻는다.
<2> 이상을 정리하면 아래와 같이 s와 x로 이루어진 방정식을 얻는다. 초기조건 w(x,0)=0 에 의해 항이 정리된다.
<3> x에 대한 1계 선형 상미분방정식을 풀듯 W(x,s)를 구한다.
해를 구하는많은 방법들이 있지만 적분인자를 곱해서 푸는 방식을 채택.
먼저 W’의 계수를 1로 만들어주기 위해 양변을 x로 나눠주자
양변에 적분인자를 곱해주고 양변을 x에 대해 적분
이때 적분상수는 s에 대한 C(s)로 설정해야 한다. x에 대한 편미분을 수행할 경우 s로만 이루어진 항은 모두 사라지기 때문에 C(s)의 형태로 설정하는 것인데, 이 C(s)는 초기조건 w(0,t)=f(t)로부터 W(0,s)=F(s)를 얻고, 대입하는 과정에서 결정된다.
초기조건 w(0,t)=0의 양변에 라플라스 변환을 취하면 W(0,s)=0이 된다. 상미분방정식에서의 초깃값은 말 그대로 “값”이기 때문에 다른 액션을 취할 수 없지만 편미분방정식에서의 초기조건은 그 자체로 함수이기 때문에 갖가지 액션을 취할 수 있다.
<4> 역변환을 양변에 취하기 전에 역변환이 용이한 형태(부분분수)로 정리하자
이제 마지막으로 양변에 역변환을 취해주자
이렇게 라플라스 변환을 편미분에도 적용할 수 있다.
변수분리를 통해 풀 수도 있지만 라플라스 변환은 제차, 비제차 구분할 것 없이 적용할 수 있는 방법인 데다 풀이 중간중간에 적절한 경계조건을 사용하는 것이 제법 재밌는 편이다. RPG 퀘스트 하나씩 풀어가는 느낌이랄까
Any Qustions, Any Comments are WELCOME 🙂
오타나 오류 지적 감사히 받습니다
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3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용
Contents
1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 이용하면 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
예시를 통해서 라플라스 변환을 이용해서 ODE를 풀어내는 방법을 살펴보겠습니다.
EX
우선 각 항에 라플라스 변환을 취해서 식을 대수 영역으로 전환해줍니다.
그 후 라플라스 변환이 취해진 해에 대해 식을 다시 정리할 수 있습니다.
우리가 원하던 해는 대수방정식의 해가 아니라 미분방정식의 해이기 때문에 위의 결과에 라플라스 역변환을 취해줍니다. 그러면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.
2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이
제차 미분방정식을 풀이할 때와 마찬가지로 라플라스 변환을 취하고, 라플라스 변환된 해에 대해 식을 정리할 수 있습니다.
정리된 식의 형태를 살펴보면 homogeneous 일 때의 해($Y_h(s)$)와 특수해($Y_p(s)$)의 조합인 것을 확인할 수 있습니다. 이제 라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 구할 수 있을 것입니다.
이해를 위해 예시를 살펴보겠습니다.
EX
우선 라플라스 변환을 취해서 대수방정식을 얻은 후 식을 정리합니다.
이제 라플라스 역변환을 취해 식을 정리해주어야 하는데, 이를 위해서 식을 재정리할 필요가 있습니다. 보통 라플라스 역변환을 위한 식 정리는 유리식의 항등성을 이용합니다.
라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.
여기서 $H(t)$는 Heviside Step Function이고, 주어진 미분방정식을 $t>0$에 대해 고려하면 $H(t)=1$로 두고 미분방정식의 해를 사용하면 됩니다. (사실 $t$가 시간인 경우가 많아 $t>0$에 대해서 고려하긴 합니다.)
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라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지)
라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지)
[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제 : 네이버 블로그Article author: m.blog.naver.com
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15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 : 네이버 블로그
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Summary of article content: Articles about 15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 : 네이버 블로그 1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠. 근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요). 첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다. …
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15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 : 네이버 블로그
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미분방정식의 라플라스 변환
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Most searched keywords: Whether you are looking for 미분방정식의 라플라스 변환 본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. … 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 … 본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. 가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다. t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다. 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였..
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권찡’s 공학이야기
미분방정식의 라플라스 변환 본문
미분방정식의 라플라스 변환
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라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이
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Most searched keywords: Whether you are looking for 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이 비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정.. 라플라스 변환 라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다. 비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정..
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라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이
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라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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– MATLAB & Simulink – MathWorks 한국 Symbolic Math Toolbox™에서 다음 워크플로로 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 풉니다. 라플라스 변환의 간단한 예제는 laplace 및 ilaplace 항목을 참조 … … Most searched keywords: Whether you are looking for 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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– MATLAB & Simulink – MathWorks 한국 Symbolic Math Toolbox™에서 다음 워크플로로 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 풉니다. 라플라스 변환의 간단한 예제는 laplace 및 ilaplace 항목을 참조 … 기호 표현식과 기호 함수의 라플라스 변환과 라플라스 역변환. Table of Contents:
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라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용 :: 화공&책 리뷰
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Summary of article content: Articles about 3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용 :: 화공&책 리뷰 미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for 3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용 :: 화공&책 리뷰 미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 … Contents 1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이 2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이 미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수..화학공학에서 다루는 내용들과 책을 살펴보는 블로그입니다.
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3 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용
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3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용 :: 화공&책 리뷰
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#3.4 Laplace Transform4 미분방정식의 풀이 – 공학이야기
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Summary of article content: Articles about #3.4 Laplace Transform4 미분방정식의 풀이 – 공학이야기 0. 라플라스변환을 이용한 미분방정식의 풀이 이번 글은 지금까지 배운 라플라스 변환을 이용해서 간단한 미분방정식들을 풀이해보도록 하겠습니다. …
Most searched keywords: Whether you are looking for #3.4 Laplace Transform4 미분방정식의 풀이 – 공학이야기 0. 라플라스변환을 이용한 미분방정식의 풀이 이번 글은 지금까지 배운 라플라스 변환을 이용해서 간단한 미분방정식들을 풀이해보도록 하겠습니다. #0. 라플라스변환을 이용한 미분방정식의 풀이 이번 글은 지금까지 배운 라플라스 변환을 이용해서 간단한 미분방정식들을 풀이해보도록 하겠습니다. 새로운 내용보다는 지금까지 배운 미분방정식의 풀이를 떠올..모든 공학도를 위한 지식들을 모읍니다
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#3.4 Laplace Transform4 미분방정식의 풀이 – 공학이야기
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[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제#미분적분학 사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다. 라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다. 대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!) 라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 자 드디어 저희들의 라플라스 포스팅 최종 목적지에 도착을 했습니다. 지금까지 포스팅 해왔던 내용을 바탕으로 미분방정식을 풀어보며 라플라스 포스팅을 마치도록 합시다 저희가 할 내용을 그림으로 표현해 보면 커다란 화살표처럼 한바퀴 쭉 도는 겁니다. 이번 포스팅은 새로운 개념은 없으며 그냥 문제풀이 포스팅이에요. 그럼 라플라스 변환의 필수 재료인 라플라스 변환표를 가져다 놓고 시작하도록 합시다. 참고로 학교마다 다르긴 한데 제가 아는 한도내에서는(즉 저희 학교기준으로는) 수학 시험 때는 표를 제공 안하고 외워서 보니 포스팅에서 표 보고 푼다고 표를 안 외우시면 큰일 나실 수 있습니다. 자신의 학교 시험이 표를 외워야 하는지 안외워도 되는지는 스스로 알아 두시길 바랍니다. 그럼 1번 예제 시작하겠습니다. 첫 번째 입니다. 1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠 근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요) 첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다. 변환이 완료 되었습니다. 미분에 대한 항이 다 사라졌음을 볼 수 있습니다. 바로 를 미지수로 가지는 대수 방정식이죠 이제 저 대수방정식을 풀어서 미지수 를 구해봅시다. 가 나왔습니다. 이제 무엇을 하면 될까요??? 네 ㅎㅎ 바로 역변환입니다. 다행스럽게도 표에 있는 형태가 바로 나왔네요 역변환을 해보면 가 구해졌습니다. 이번엔 차수를 2차로 늘려보죠 2번째 예제는 입니다. 2차 미분방정식이니 초기값이 2개 필요하겠죠 이번엔 초기값을 주고 풀어보죠 라고 하고 풀어봅시다. 첫번째로 라플라스 변환을 해보죠 대수방정식으로 변환이 완료되었습니다. 이제 를 구해보죠 참고로 저기 붉은색 으로 색칠해 놓은 부분은 별다른 이유는 없습니다. 그냥 저것을 Characteristic Equation (특성 방정식)이라고 불리는 것 정도만 알고 계시면 됩니다. (일반적인 미분방정식 풀이에서도 한번 등장했던 단어죠) 어쨋든 식이 표에 없는 모양입니다. 따라서 표에 있는 모양으로 변형시켜야 합니다. (내고 나서 후회하는 건데 좀 식이 지저분하게 나올겁니다…..) 변형시켜 보죠 식이 변형 완료 되었습니다. 분수가 마구잡이로 들어가서 그렇지 분명 표에 있는 형태입니다. 다시 써보면 아래와 같은데 s-Shifting의 개념이 들어갔네요 ㅎㅎ 이제 계산된 결과를 역변환 해봅시다. 가 나왔습니다. 즉 미분방정식의 해는 인 것이죠 슬슬 익숙해 지셨죠 이제 진행을 빨리 해보겠습니다. 마지막 예제 입니다. 을 풀어보죠 초기값은 간단하게 을 줍시다. 먼저 변환을 하고 풀면 가 나옵니다. 표에 없으니 있는 모양으로 바꿔줍시다. 표에 있는 모양이 나왔습니다. 이번엔 t-Shfting 개념이 들어가 있네요 그것에 유의하며 역변환 해보면 아래와 같죠 이것으로 포스팅 마치도록 하겠습니다. 제 라플라스 포스팅을 보시는 분들은 이것까지만 하면 끝입니다. 아마도 뒤에 하게될 포스팅 내용은 필요 없을거에요 다음 포스팅 부터는 아마 99.99%의 분들이 필요 없을법한 브롬위치 적분을 통한 라플라스 역변환 입니다. 사실상 여기서 끝이니 인사드릴께요 지금까지 봐주셔서 감사합니다 수고하셧어요 예제풀이 포스팅 이니 만큼 요약은 없습니다. 15장 포스팅 끝
미분방정식의 라플라스 변환
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. 가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다. t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다. 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다. 만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는 이런 식이 되는 것입니다. 이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다. 위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다. 앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다. 특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠 그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다. 또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경우, 라플라스 변환으로 풀릴수도 있습니다. 직접 한번 풀어보겟습니다. 초기 값이 주어졌을때 보다 간단히 해를 구할수 있습니다. 중간에 연습한다고 삼천포로 빠져서 그렇지 분수 형태로 나누고 나서 하시면 가장 편합니다. 좀 더 내용 심화를 해서 이변수 함수의 라플라스 변환에 대해서도 알고 넘어갑시다. 예를 들어봅시다. 위 내용과 같이 변수가 t에 관해 미분되어있는 경우만이 이전의 미분된 함수의 라플라스 변환 공식에 따르게 되고, x에 관해 미분되있을 경우는 영향을 주지 못합니다. 이런 이변수함수 혹은 다변수 함수의 라플라스 변환은 편미분 방정식을 푸는 하나의 툴로써 사용되니 알아두면 좋겟죠
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라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지)
라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지)
[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제 : 네이버 블로그Article author: m.blog.naver.com
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15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 : 네이버 블로그
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미분방정식의 라플라스 변환
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미분방정식의 라플라스 변환 본문
미분방정식의 라플라스 변환
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라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이
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Most searched keywords: Whether you are looking for 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이 비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정.. 라플라스 변환 라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다. 비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정..
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라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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– MATLAB & Simulink 워크플로: 라플라스 변환을 사용하여 RLC 회로 풀기. 방정식 선언하기. 라플라스 변환을 사용하여 초기 조건이 있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어, 다음 회로 … …
– MATLAB & Simulink 워크플로: 라플라스 변환을 사용하여 RLC 회로 풀기. 방정식 선언하기. 라플라스 변환을 사용하여 초기 조건이 있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어, 다음 회로 … … Most searched keywords: Whether you are looking for 라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
– MATLAB & Simulink 워크플로: 라플라스 변환을 사용하여 RLC 회로 풀기. 방정식 선언하기. 라플라스 변환을 사용하여 초기 조건이 있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어, 다음 회로 … 기호 표현식과 기호 함수의 라플라스 변환과 라플라스 역변환.
– MATLAB & Simulink 워크플로: 라플라스 변환을 사용하여 RLC 회로 풀기. 방정식 선언하기. 라플라스 변환을 사용하여 초기 조건이 있는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들어, 다음 회로 … 기호 표현식과 기호 함수의 라플라스 변환과 라플라스 역변환. Table of Contents:
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라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식 풀기
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3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용 :: 화공&책 리뷰
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3 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용
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3. 1차 선형 상미분방정식 (2) 라플라스 변환의 적용 :: 화공&책 리뷰
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#3.1Laplace Transform(라플라스변환) – 공학이야기
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#3.1Laplace Transform(라플라스변환) – 공학이야기
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라플라스변환을 이용한 미분방정식 풀이와 전달함수 생성 – 금오공과대학교 | KOCW 공개 강의
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또한, 라플라스변환을 이용하여 전달함수의 정의를 도출하고 이를 이용하여 자동제어의 핵심개념을 보다 확실하고 깊게 이해하고자 함.라플라스변환, 미분방정식 풀이, 전달함수 생성
또한, 라플라스변환을 이용하여 전달함수의 정의를 도출하고 이를 이용하여 자동제어의 핵심개념을 보다 확실하고 깊게 이해하고자 함.라플라스변환, 미분방정식 풀이, 전달함수 생성 Table of Contents:
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라플라스변환을 이용한 미분방정식 풀이와 전달함수 생성 – 금오공과대학교 | KOCW 공개 강의
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[미분적분학] 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제#미분적분학 사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다. 라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다. 대수방정식은 이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!) 라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이
15장 라플라스 변환을 통한 미분방정식 풀이 자 드디어 저희들의 라플라스 포스팅 최종 목적지에 도착을 했습니다. 지금까지 포스팅 해왔던 내용을 바탕으로 미분방정식을 풀어보며 라플라스 포스팅을 마치도록 합시다 저희가 할 내용을 그림으로 표현해 보면 커다란 화살표처럼 한바퀴 쭉 도는 겁니다. 이번 포스팅은 새로운 개념은 없으며 그냥 문제풀이 포스팅이에요. 그럼 라플라스 변환의 필수 재료인 라플라스 변환표를 가져다 놓고 시작하도록 합시다. 참고로 학교마다 다르긴 한데 제가 아는 한도내에서는(즉 저희 학교기준으로는) 수학 시험 때는 표를 제공 안하고 외워서 보니 포스팅에서 표 보고 푼다고 표를 안 외우시면 큰일 나실 수 있습니다. 자신의 학교 시험이 표를 외워야 하는지 안외워도 되는지는 스스로 알아 두시길 바랍니다. 그럼 1번 예제 시작하겠습니다. 첫 번째 입니다. 1차 미분방정식이니 초기값이 하나 필요하겠죠 근데 모르니까 그냥 라고 합시다.(C 는 임의의 상수에요) 첫 번째로 할 것 라플라스 변환입니다. 변환이 완료 되었습니다. 미분에 대한 항이 다 사라졌음을 볼 수 있습니다. 바로 를 미지수로 가지는 대수 방정식이죠 이제 저 대수방정식을 풀어서 미지수 를 구해봅시다. 가 나왔습니다. 이제 무엇을 하면 될까요??? 네 ㅎㅎ 바로 역변환입니다. 다행스럽게도 표에 있는 형태가 바로 나왔네요 역변환을 해보면 가 구해졌습니다. 이번엔 차수를 2차로 늘려보죠 2번째 예제는 입니다. 2차 미분방정식이니 초기값이 2개 필요하겠죠 이번엔 초기값을 주고 풀어보죠 라고 하고 풀어봅시다. 첫번째로 라플라스 변환을 해보죠 대수방정식으로 변환이 완료되었습니다. 이제 를 구해보죠 참고로 저기 붉은색 으로 색칠해 놓은 부분은 별다른 이유는 없습니다. 그냥 저것을 Characteristic Equation (특성 방정식)이라고 불리는 것 정도만 알고 계시면 됩니다. (일반적인 미분방정식 풀이에서도 한번 등장했던 단어죠) 어쨋든 식이 표에 없는 모양입니다. 따라서 표에 있는 모양으로 변형시켜야 합니다. (내고 나서 후회하는 건데 좀 식이 지저분하게 나올겁니다…..) 변형시켜 보죠 식이 변형 완료 되었습니다. 분수가 마구잡이로 들어가서 그렇지 분명 표에 있는 형태입니다. 다시 써보면 아래와 같은데 s-Shifting의 개념이 들어갔네요 ㅎㅎ 이제 계산된 결과를 역변환 해봅시다. 가 나왔습니다. 즉 미분방정식의 해는 인 것이죠 슬슬 익숙해 지셨죠 이제 진행을 빨리 해보겠습니다. 마지막 예제 입니다. 을 풀어보죠 초기값은 간단하게 을 줍시다. 먼저 변환을 하고 풀면 가 나옵니다. 표에 없으니 있는 모양으로 바꿔줍시다. 표에 있는 모양이 나왔습니다. 이번엔 t-Shfting 개념이 들어가 있네요 그것에 유의하며 역변환 해보면 아래와 같죠 이것으로 포스팅 마치도록 하겠습니다. 제 라플라스 포스팅을 보시는 분들은 이것까지만 하면 끝입니다. 아마도 뒤에 하게될 포스팅 내용은 필요 없을거에요 다음 포스팅 부터는 아마 99.99%의 분들이 필요 없을법한 브롬위치 적분을 통한 라플라스 역변환 입니다. 사실상 여기서 끝이니 인사드릴께요 지금까지 봐주셔서 감사합니다 수고하셧어요 예제풀이 포스팅 이니 만큼 요약은 없습니다. 15장 포스팅 끝
미분방정식의 라플라스 변환
본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. 가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다. t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다. 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다. 만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는 이런 식이 되는 것입니다. 이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다. 위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다. 앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다. 특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠 그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다. 또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경우, 라플라스 변환으로 풀릴수도 있습니다. 직접 한번 풀어보겟습니다. 초기 값이 주어졌을때 보다 간단히 해를 구할수 있습니다. 중간에 연습한다고 삼천포로 빠져서 그렇지 분수 형태로 나누고 나서 하시면 가장 편합니다. 좀 더 내용 심화를 해서 이변수 함수의 라플라스 변환에 대해서도 알고 넘어갑시다. 예를 들어봅시다. 위 내용과 같이 변수가 t에 관해 미분되어있는 경우만이 이전의 미분된 함수의 라플라스 변환 공식에 따르게 되고, x에 관해 미분되있을 경우는 영향을 주지 못합니다. 이런 이변수함수 혹은 다변수 함수의 라플라스 변환은 편미분 방정식을 푸는 하나의 툴로써 사용되니 알아두면 좋겟죠
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