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자취의 방정식이란, 특정 조건을 만족하는 점들이 그리는 도형의 방정식을 의미하고, 일반적으로 x, y 두 문자를 포함한 등식이다. x와 y 사이의 특정한 규칙, 다른 말로 관계식을 구하면 그것이 자취의 방정식이다.
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자취의 방정식 – JW MATHidea
어떤 조건을 만족시키는 점들이 도형을 이룰 때, 이 도형을 주어진 조건을 만족시키는 점들의 자취라 한다. 이 때 특정한 조건을 만족시키는 자취 위의 …
Source: jwmath.tistory.com
Date Published: 8/13/2021
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[보충] 자취의 방정식 – 부형식 수학
자취의 방정식이란 조건을 만족하는 점의 집합을 말합니다. 예를 들어 아주 간단한 자취의 방정식을 구해 봅시다. 좌표와 좌표가 같은 점의 자취의 …
Source: bhsmath.tistory.com
Date Published: 9/18/2021
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자취의 방정식 (6) – 수학공부
사실 자취의 방정식을. 이렇게까지 자세히 이해할 필요는 전혀(?) 없습니다. 여러분은. 기본개념과 풀이만 정확히 이해하고 문제를 풀면 됩니다.
Source: silverstonec.tistory.com
Date Published: 10/16/2022
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유형 10 자취의 방정식 개념 11-1 조건을 만족시키는 점의 자취…
유형 10 자취의 방정식 개념 11-1 조건을 만족시키는 점의 자취의 방정식은 다음과 같은 순서로 구한다. (i) 구하는 점의 좌표를 (x y 로 놓는다.
Source: qanda.ai
Date Published: 1/5/2022
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연습문제-점과 자취의 방정식-원 – 다음블로그
개념+유형 고등수학 하 개념편 연습문제-점과 자취의 방정식-원 http://www.educreations.com/lesson/view/title/1445107/
Source: blog.daum.net
Date Published: 5/6/2022
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도형의 이동 & 자취의 방정식_난이도 상 – 수악중독 – Tistory
원 $x^2+(y-1)^2=9$ 위의 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm P$를 $y$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼 평행이동한 후 $y$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\rm Q$ …
Source: mathjk.tistory.com
Date Published: 12/21/2021
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아폴로니오스의 원 증명 – 수학방
아폴로니오스의 원에서 선분 AB의 중간에 있는 점 P는 내분점이 되고, 선분 AB의 연장선에 있는 점은 외분점이에요. 원의 방정식이니까 원의 중심과 반지름을 구해야겠죠?
Source: mathbang.net
Date Published: 3/3/2022
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[편집] 4점개념완성 기하와벡터.hwp
따라서 구하는 자취의 방정식은. 5) 정답 ⑤. 점 P 에서 준선에 내린 수선의 발을 Q′이라 하면 포물선. 의 정의에 의해.
Source: edu.ingang.go.kr
Date Published: 12/21/2021
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주제에 대한 기사 평가 자취 의 방정식 개념
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2018. 3. 13.
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자취의방정식(고1)
익숙한 질문
(1, 2)와 (4, 5)를 지나는 직선의 방정식은?
“음, y=x+1이네”
라고 쉽게 대답할 것이다.
그런데 반대로 y=x+1이라는 식에 대해
분석해보라고 하면 어떨까? 더 나가서 이 식에 대해 이야기를 만들라고 하면?
y=x+1은 어떤 점들이 가져야 할 규칙에 대한 식이다.
이 점들은 x좌표에 1을 더한 값이 y좌표와 같아야 한다.
이러한 규칙을 만족하는 점들을 좌표평면에 찍어보면, 우리가 잘 알고 있는 기울기 1, y절편이 1인 직선이 된다.
y=x+1에 대한 다른 이야기를 만들어보자.
y=x+1은 (-1,2)와 (1,0)에서 같은 거리에 있는 점들의 자취의 방정식이다.
여기서 자취의 방정식이란 특정한 조건을 만족하는 점들의 규칙에 대한 식으로 x좌표와 y좌표 사이의 관계를 설명하는 식이다.
(-1,2)와 (1,0)으로부터 같은 거리에 있는 점들을 대표하여 그 점의 좌표를 (x, y)라고 하자. 여기서 만족해야 하는 조건(거리가 같다)을 식으로 나타내면,
※ (-1,2)와 (1,0)으로부터 같은 거리에 있는 점들은 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이라고 해석한 다음 직선의 방정식을 구해도 좋다.
자취의 방정식이란, 특정 조건을 만족하는 점들이 그리는 도형의 방정식을 의미하고, 일반적으로 x, y 두 문자를 포함한 등식이다.
x와 y 사이의 특정한 규칙, 다른 말로 관계식을 구하면 그것이 자취의 방정식이다.
그러므로 자취의 방정식을 구하려는 점들을 대표하여 좌표를 (x, y)라고 둔 다음 조건을 이용하여 등식을 만들어주면 된다.
자취의 방정식
자취의 방정식
어떤 조건을 만족시키는 점들이 도형을 이룰 때, 이 도형을 주어진 조건을 만족시키는 점들의 자취라 한다.
이 때 특정한 조건을 만족시키는 자취 위의 임의의 점 P(x,y)에 대하여 x, y 사이의 조건을 x, y로 나타낸 식 f(x,y)=0을 자취의 방정식이라 한다.
자취의 방정식을 구한는 순서는 다음과 같이 한다.
(1) 좌표축위에 적당한 점 P(x,y)를 잡는다.
(2) 주어진 조건을 이용하여 x, y사이의 관계식을 만든다.
(3) 식을 정리하여 x, y이외의 문자는 소거하고 간단히 하여 제한된 범위를 따진다.
자취의 방정식은 주어진 조건을 만족하는 x와 y의 관계식이라 생각하면 된다. 관계식은 직선이 될 수도 있고 원이 될 수도 있고 또 다른 도형 이차 도형이 될 수 있다. 조건에 맞는 식을 만들어 관계식을 끌어 낼 수 만 있다면 자취의 방정식은 쉽게 세울 수 있을 것이다.
예) 원은 정점 C(a,b)에서 떨어진 거리가 r인 점의 자취의 방정식이다.
구하고자 하는 점을 P(x, y)로 놓는다.
C(a,b)와 P(x,y) 사이의 거리가 r이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 구하면 된다.
양변을 제곱하면 이라는 원의 방정식을 구할 수 있다.
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자취의 방정식 (6)
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문제)
점 P를 (a, b)
점 Q를 (x, y)로 놓고 시작합니다.
점 Q는 선분 AP를 2:1로 내분하는 점이므로
a와 b에 대한 식으로 각각 정리하면
이 식에
위에서 구한 a, b를 대입하고
정리하면
식을 바꿔보면
이 놈이 바로
우리가 구하려는 자취의 방정식입니다.
그런데 이 문제를
대칭시킨 자취의 방정식을 구할 때처럼 (자취의 방정식 (3))
주어진 원의 중심의 좌표를 구하고 (-1, 3)
(3, 2)와 (-1, 3)을 2:1로 내분하는 점을 구해서
이렇게 구하면 안돼욧..!!
대칭시킬 때는
처음 그래프와 자취의 그래프의 반지름이 같지만
내분할 때는
처음 그래프와 자취의 그래프의 반지름이 달라지거든요..!!
다시 말해
처음 주어진 원의 반지름이 2라고 해서
우리가 구하려는
자취(원)의 반지름도 2라는 보장이 없다는 말씀..!!
위에서 구한 답(자취의 방정식)을 보면
반지름의 길이가
2가 아니라 4/3인 걸 확인할 수 있습니다.
이것저것 헷갈리면
대칭시킨 자취의 방정식이든
내분한 자취의 방정식이든
그냥
자취의 방정식을 구하는 순서대로 구하면 됩니다.
괜히 조금 편하려다가
틀리는 것보단 낫잖아요… ;;;;;
그래도 난 곧 죽어도
다른 방법으로 구해야겠다면
원 위에 아무 점이나 하나잡고
내분점을 구합니다.
(1, 3)을 잡으니 (5/3, 8/3) 이 나오네요
그럼
우리가 구하려는 자취의 방정식은
따라서
우리가 구하려는 자취의 방정식은
처음에 구한 자취의 방정식과 같습니다..!!
뭐… 지금까지 설명을 하긴했지만
여기까지 하나하나 이해하면서 따라오신 분이 계실라나..? ;;;;;
사실 자취의 방정식을
이렇게까지 자세히 이해할 필요는 전혀(?) 없습니다.
여러분은
기본개념과 풀이만 정확히 이해하고 문제를 풀면 됩니다.
이런 잔머리를 동원한 편법적인(?) 풀이는
나중에요~ ^-^//
요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html
다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.
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도형의 이동 & 자취의 방정식
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원 $x^2+(y-1)^2=9$ 위의 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm P$를 $y$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼 평행이동한 후 $y$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\rm Q$ 라 하자. 두 점 $\rm A \left ( 1, \; – \sqrt{3} \right ), \; B \left ( 3, \; \sqrt{3} \right )$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABQ$ 의 넓이가 최대일 때, 점 $\rm P$ 의 $y$ 좌표는?
① $\dfrac{5}{2}$ ② $\dfrac{11}{4}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{13}{4}$ ⑤ $\dfrac{7}{2}$
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아폴로니오스의 원, 아폴로니오스의 원 증명
아폴로니오스의 원은 고대 수학자 아폴로니오스가 발견해서 그의 이름을 따서 불러요. 발견한 사람의 이름을 붙이는 건 히포크라테스의 초승달도 있었고 에라토스테네스의 체도 있었죠?
아폴로니오스의 원은 그렇게 중요한 내용은 아니니까 그냥 참고용으로 쉬워가는 길에 잠깐 읽는 정도라고 생각하세요. 이런 유형의 문제를 어떻게 푸는지만 알고 있으면 돼요.
증명과정의 계산이 조금 복잡하긴 하지만 어렵지는 않으니까 직접 증명을 해보는 것도 괜찮을 듯싶네요. 꼭 해보라는 건 아니고 그냥 해보는 것도 괜찮다는 거예요.
아폴로니오스의 원
두 점 A, B에 대하여 : = m : n (m ≠ n)을 만족하는 점 P을 다 모으면 원이 되는데, 이를 아폴로니오스의 원이라고 합니다.
P(x, y), A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 )이라고 하고 두 점 사이의 거리를 이용하여 거리를 구해서 비례식을 세우고 정리해보죠.
중간과정은 복잡하니까 그냥 넘어가고 마지막 줄을 보면 x2 + y2 + Ax + By + C = 0꼴로 이건 원의 방정식 일반형이에요. 두 점에서 m : n의 거리에 있는 점들을 모두 모으면 원이 된다는 것을 알 수 있어요.
조금 더 쉽게 증명해보려면 점 A, B를 그대로 평행이동시켜서 A(0, 0), B(a, 0)으로 놓고 해보세요.
아폴로니오스의 원에서 선분 AB의 중간에 있는 점 P는 내분점이 되고, 선분 AB의 연장선에 있는 점은 외분점이에요.
원의 방정식이니까 원의 중심과 반지름을 구해야겠죠? 원을 잘 보면 내분점 P와 외분점 Q를 지름의 끝점으로 하는 원이에요. 원의 방정식에서 두 점을 지름의 끝점으로 하는 원의 중심은 양 끝점의 중점이라고 했지요? 아폴로니오스 원에서는 내분점 P와 외분점 Q의 중점이 원의 중심이고, 반지름은 선분 PQ 길이의 절반이에요.
두 점 A(-2, 5), B(4, 5)에 대하여 : = 2 : 1를 만족하는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.
P(x, y)라고 해보죠. 두 점 사이의 거리를 이용하여 비례식을 세워보죠.
답은 x2 + y2 – 12x – 10y + 45 = 0 네요.
표준형으로 고쳐볼까요?
x2 + y2 – 12x – 10y + 45 = 0
x2 – 12x + y2 – 10y + 45 = 0
x2 – 12x + 36 – 36 + y2 – 10y + 25 – 25 + 45 = 0
(x – 6)2 + (y – 5)2 – 16 = 0
(x – 6)2 + (y – 5)2 = 16
원의 중심이 (6, 5)고 반지름은 4인 원의 방정식이었군요.
m = n일 때
아폴로니오스의 원이 만들어지려면 나누는 비율인 m, n이 서로 같지 않아야 해요. (m ≠ n)
만약에 m = n이라면 원이 아니라 직선이 생겨요.
이 직선은 선분 AB를 수직이등분하는 선이 됩니다.
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정리해볼까요 아폴로니오스의 원 두 점 A, B에 대하여 : = m : n (m ≠ n)을 만족하는 점 P의 집합
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