당신은 주제를 찾고 있습니까 “2 차 미분 방정식 – 2계 미분방정식을 푸는 방법 [2계 제차 선형 상미분방정식]“? 다음 카테고리의 웹사이트 th.taphoamini.com 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://th.taphoamini.com/wiki/. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 구선생 로보틱스 이(가) 작성한 기사에는 조회수 10,521회 및 좋아요 96개 개의 좋아요가 있습니다.
Table of Contents
2 차 미분 방정식 주제에 대한 동영상 보기
여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!
d여기에서 2계 미분방정식을 푸는 방법 [2계 제차 선형 상미분방정식] – 2 차 미분 방정식 주제에 대한 세부정보를 참조하세요
안녕하세요 구선생입니다.
실제 공학문제에서는 시간에 대한 실시간 시스템인 경우가 많기 때문에 미분방정식이 매우 중요합니다.
이번 시간에는 2계 미분방정식을의 해를 증명하는 방법을 알아보고 그 결과를 검증해봅시다!
-강의자료
준비 중입니다
———————————————————————
– Music
Track: Jim Yosef – Speed [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/lP6mK2-nLIk
Free Download / Stream: http://ncs.io/speed
Track: JJD – Adventure [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/f2xGxd9xPYA
Free Download / Stream: http://ncs.io/adventure
Song: Jim Yosef – Link [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/9iHM6X6uUH8
Download/Stream: http://ncs.io/LinkYO
Track: Elektronomia – Sky High [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/TW9d8vYrVFQ
Free Download / Stream: http://ncs.io/skyhigh
Track: Elektronomia \u0026 JJD – Free [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/9Va88Kt0NN0
Free Download / Stream: http://ncs.io/Free
Track: Alan Walker – Fade [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/bM7SZ5SBzyY
Track: Lensko – Cetus [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/i3vrV-WNmsc
Free Download / Stream: http://ncs.io/cetus
Track: Lensko – Let’s Go! [NCS Release]Music provided by NoCopyrightSounds.
Watch: https://youtu.be/mSLuJYtl89Y
Free Download / Stream: http://ncs.io/letsgo
2 차 미분 방정식 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법 – 수학과 사는 이야기
2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 …
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 2/3/2022
View: 6505
2계 미분방정식-homogeneous Differential Equation
2계 미분방정식 , 더 나아가 고계 미분 방정식에 대해 푸는 방법을 정리해보겠습니다. 가장 기본적인 2계 미방의 일반형태를 보면 아래의 식과 …
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 6/7/2021
View: 9507
2.1 2차 선형미분방정식의 해
상수계수를 가지지 않는 2차 제차방정식의 일반해를 구하는 과정은. 매우 어렵다. 특별한 형태의 오일러-코시(Euler-Cauchy) 미분방.
Source: cisl.nayana.kr
Date Published: 9/1/2021
View: 8981
2계 선형 미분방정식의 해법 (2) – 공돌이의 수학정리노트
Prerequisites본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다. 2계 선형 미분방정식의 해법 (1) 미분방정식을 이용한 …
Source: angeloyeo.github.io
Date Published: 1/2/2022
View: 4635
[미분방정식] 9. 2차 미분방정식, 차수축소법 – 2nd Order …
2차 미분방정식, 차수축소법 – 2nd Order Homogeneous Linear ODEs, Reduction of Order. MIN97 2019. 1. 29. 18:53. 1차 IVP의 경우 초기값 한 개가 주어지면 해를 …
Source: min-97.tistory.com
Date Published: 3/21/2021
View: 8668
5. 2계 제차,비제차 선형미분방정식(1)
1. 2계제차 선형미분방정식. 시작하기 앞서 2계제차이 무슨소린지에 대해 단어를 나눠서 보면. 2계: y” 즉 2번 …
Source: jjw7808.tistory.com
Date Published: 5/20/2022
View: 3124
주제와 관련된 이미지 2 차 미분 방정식
주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 2계 미분방정식을 푸는 방법 [2계 제차 선형 상미분방정식]. 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.
![2계 미분방정식을 푸는 방법 [2계 제차 선형 상미분방정식]](https://i.ytimg.com/vi/rkVE-J-EVDU/maxresdefault.jpg)
주제에 대한 기사 평가 2 차 미분 방정식
- Author: 구선생 로보틱스
- Views: 조회수 10,521회
- Likes: 좋아요 96개
- Date Published: 2019. 12. 13.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=rkVE-J-EVDU
2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
반응형
먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자.
2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자.
$$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$
이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자.
$$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$
이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다.
$$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$
이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or characteristic equation)이라 부른다. 특성 방정식으로 옮기는 책이 더 많아 보인다.
정리 특성방정식이 $r_1,r_2$를 근으로 가진다면 일반해는 $y=c_1 e^{r_1x}+c_2 e^{r_2x}$이다.
$$e^{\alpha i}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$
임을 알고 있다면 특성방정식이 허근을 가지는 것을 두려워할 필요가 없다.
여기서 특성방정식이 3차나 4차라면 일반적인 풀이법을 찾을 수 있지만 5차 이상은 매우 어려울 것임을 알 수 있다.
보기 1
미분방정식 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$을 풀어보자.
동차인 2차 선형 미분방정식이다. 계수가 모두 상수이므로 $y=e^{rx}$로 놓자. 특성 방정식을 먼저 풀어서 두 근 $r_1=2,\;\;r_2=-1$을 찾는다. 일반해는 $y=c_1 e^{2x}+c_2e^{-x}$이다.
보기 2
단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 해결해 보자.
주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.
$$F=-kx$$
뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$
$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.
$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$
특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.
$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$
$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin \omega t$$
여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega=A\sin(\omega t +\phi)$$
$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$
알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법
계수가 상수 함수가 아니라면 어떻게 해결할까? 일반적으로 미분방정식의 차수를 낮추는 방법으로 알려진 해를 써서 새로운 해를 만드는 방법을 정리해 보자.
$$a_2(x)y^{\prime\prime}+a_1(x)y^{\prime}+a_0(x)y=0\tag{1}$$
$a_2(x)
ot=0$로 나누어 아래와 같은 꼴로 정리하자.
$$y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0\tag{2}$$
이때, $y_1$이 해라고 하고 $y_2=u(x)y_1$가 다른 해라고 가정하자.
$$\begin{split}y_2^{\prime}&=u^{\prime}(x)y_1+u(x)y_1^{\prime} \\y_2^{\prime\prime}&=u^{\prime\prime}(x)y_1+ u^{\prime}(x)y_1^{\prime} + u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \\ &= u^{\prime\prime}(x)y_1 +2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime} \end{split}$$
(2)에 대입하자.
$$[u^{\prime\prime}(x)y_1+2u^{\prime}(x)y_1^{\prime}+u(x)y_1^{\prime\prime}]+Px)[u^{\prime}(x)y+u(x)y_1^{\prime}]+Q(x)u(x)y_1=0$$
이 식을 정리하면 아래와 같다.
$$y_1u^{\prime\prime}(x)+[2y_1^{\prime}+P(x)y_1]u^{\prime}(x)+u(x)[\underbrace{y_1^{\prime\prime}+P(x)y_1^{\prime}+Q(x)y_1}_{0}]=0$$
여기서 $v(x)=u^{\prime}(x)$로 치환하여 정리하자.
$$y_1 v^{\prime}(x)+[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)=0$$
$$y_1 v^{\prime}(x)=-[2 y_1^{\prime}+P(x)y_1]v(x)$$
$$\frac{v^{\prime}(x)}{v(x)}=-\frac{2y_1^{\prime}}{y_1}-{P(x)}$$
이 방정식은 1차 선형 미분방정식이다. 변수가 따로 분리되는 꼴이므로 풀이가 쉽다.
$$\ln |v(x)|=-2\ln |y_1|-\int {P(x)}dx+c$$
$$v(x)=u^{\prime}=\frac{c_1}{y_1^2}\cdot e^{-\int P(x)dx}$$
$$u(x)=c_1\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+c_2$$
$$y=u(x)y_1(x)=c_1y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}+c_2y_1(x)$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$y_2=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}\tag{3}$$
$$W(y_1(x),y_2(x))= \begin{vmatrix} y_1 & y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \\ y^{\prime}_1 & \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1}+ y^{\prime}_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx \end{vmatrix} = e^{-\int P(x)dx}
ot=0$$
두 함수는 서로 독립이다.
$\blacksquare$
보기 3
미분방정식 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0$를 풀어 보자.
특성 방정식은 $2$을 해로 가지므로 $y_1=e^{2x}$는 해가 된다.
이제 $y_2=u(x)e^{2x}$를 또 다른 해라고 하자.
$$\begin{split} y_2^{\prime} &= u^{\prime}(x) e^{2x} + 2u(x) e^{2x} \\ y_2^{\prime\prime}&= u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 2u^{\prime} e^{2x} +2 u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} \end{split}$$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} + 4u^{\prime} (x) e^{2x} + 4u(x) e^{2x} – 4 [u^{\prime}(x) e^{2x}+2 u(x) e^{2x} ]+ 4u(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime\prime}(x) e^{2x} =0 $$
$$u^{\prime}(x)= c_1$$
$$u(x)=c_1x+c_2$$
$c_1=1,c_2=0$이라 놓으면 새로운 해는 아래와 같다.
$$\therefore\quad y_2= x e^{2x}$$
이것을 (3)을 써서 바로 구할 수 있다.
$$W(e^{2x}, x e^{2x})=\begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\ e^{2x} & e^{2x}+ 2x e^{2x} \end{vmatrix}=e^{4x}
ot=0$$
두 함수 $y_1, y_2 $는 서로 독립이다.
일반해를 정리하면 $y=C_1 e^{2x}+C_2 xe^{2x}$이다.
일단 정리하고 가자.
미분방정식 $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+c=0$$ 의 특성 방정식은 $$am^2 +bm+c=0$$ 이다. 다음과 같이 해를 결정한다. i} 서로 다른 두 실근 $m_1,\;\;m_2$를 가질 때 $y_1=e^{m_1 x}$과 $y_2=e^{m_2 x}$이다. 그러므로 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 e^{m_2x}$이다. ii) 두 근이 $m_1=m_2$로 같다면 $y_1=e^{m_1x}$이고 $2m_1=-b/a$이다. 따라서 $$y_2= e^{m_1x} \int \frac {e^{-(b/a)dx} }{e^{2m_1x}}dx=e^{m_1x}\int \frac{e^{2m_1 x}}{e^{2m_1 x}}dx=xe^{m_1x}$$ 이다. 일반해는 $y=c_1 e^{m_1x}+c_2 x e^{m_1x}$이다. iii) 허근 $m_1=\alpha+i \beta$와 $m_2=\alpha-i \beta$를 가질 때, 일반해는 $y=C_1 e^{(\alpha+i\beta)} +C_2e^{(\alpha-i \beta )}$이다.
3차 이상인 특성 방정식을 가질 때도 인수분해가 된다면 위에 정리한 바를 써서 쉽게 해를 구할 수 있다.
보기 4
다음 미분방정식을 풀어보자. $$y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0$$
특성 방정식은 아래와 같다.
$$m^3 +3m^2-4=0$$
$$(m-1)(m^2 +4m+4)=(m-1)(m+2)^2=0$$
일반해는 아래와 같다.
$$y=c_1 e^x +c_2 e^{-2x}+c_3 x e^{-2x}$$
반응형
2계 미분방정식-homogeneous Differential Equation
2계 미분방정식 , 더 나아가 고계 미분 방정식에 대해 푸는 방법을 정리해보겠습니다.
가장 기본적인 2계 미방의 일반형태를 보면 아래의 식과 같습니다.
표준형이죠
이때 우변의 R(x)가 0 일 경우 제차미분방정식, 0이 아닐 경우는 비제차 미분방정식이라 합니다.
제차미분방정식을 풀수있어야 하는 것이 먼저이기 때문에 제차부터 해봅시다.
가장 먼제 계수감소, 계수저하법 이라 불리는 풀이법이 있습니다. 2계 미분방정식 중 하나의 해 y1을 알고 있을때 y2를 구하는 방법이죠
하나의 해 y1이 y2와 비슷한 형태를 가질것이라는 가정에서 나온 식입니다.
y2= u y1 이라 가정하고 식을 구하는 것으로 공식은 아래와 같습니다.
이렇게 u를 구한 후 하나의 해 y1과 곱하는 것으로 구합니다.
본격적으로 2계 제차 미분방정식에 대해서 정리해봅시다.
**p(x),q(x)가 상수항일 경우**
가장 쉬운 경우가 p(x),q(x)가 상수항일때 입니다.
P(x),Q(x)가 상수일 경우이니 쉽게 a,b로 놓고 R(x)를 0으로 놓고 식을 다시 써 보겠습니다.
이때 y의 일반해의 형태가 지수함수 형태를 가진다고 가정해봅시다.
y= e^tx 라 하고 위 식에 대입하면 아래와 같이 될것입니다.
이때 지수함수 앞에 정리되는 식을 특성방정식이라고 부르며, 이 특성 방정식의 해 형태에 따라 미분 방정식의 해를 구할수있습니다.
위와 같이 특성방정식의 근을 통해 일반해를 정리할수가 있습니다.
위 경우중 2번째 경우 중근의 경우에 같은 해가 있을시 에 x를 하나 더 붙여서 근의 형태를 띄는 것입니다.
고계 미방에서 중근이 3개라면 뒤에 x^2 이 붙은 지수함수 형태가 하나 더 있는 것이죠.
예를 들어서 풀이를 확인해 봅시다.
상수항일 경우 이와 같이 간단하게 해를 구할수 있습니다.
**p(x),q(x)가 상수항이 아닐 경우**
이 경우 미분 방정식은 p(x),q(x)가 어떤 형태이냐에 따라서 다양한 이름이 붙습니다. 르장드르, 코시 오일러 등등
그중에서 코시 오일러 미분방정식에 대해서 정리해봅시다.
위와 같은 형태의 미분 방정식을 코시 오일러 미분방정식이라 합니다.
y”의 계수가 x^2이고 y’의 계수가 x, y의 계수가 상수 항을 띄는 형태가 코시오일러 미방이라고 합니다.
이런 미방은 계수가 상수항인 미방과 달리 y의 해를 지수함수가 아니라 x^t형태라고 가정해서 푸는 것입니다.
앞서 특성방정식과 마찬가지로 보조방정식의 해 형태에 따라서 미분방정식의 해를 구할수 있습니다.
역시 문제를 통해서 익히는 것이 좋겟죠?
다른 형태의 미분방정식은 여러가지 다룰 내용이 많으니 나중에 따로 설명하도록 하겠습니다.
2계 선형 미분방정식의 해법 (2)
Prerequisites
본 포스팅을 잘 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.
2계 제차 선형 미분방정식
2계 선형 미분방정식이란 아래와 같이 미분계수의 최고 미분횟수가 2회인 미분방정식을 의미한다.
\[a(t)\frac{d^2x}{dt^2} + b(t)\frac{dx}{dt} + c(t)x(t) = g(t) % 식 (1)\]
이번 시간에는 특별히 $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$가 모두 상수이고 $g(t)=0$인 2계 제차 선형 미분방정식에 대해 다루고자 한다.
다시 말해 우리가 다루고자 하는 미분방정식의 꼴은 아래와 같다.
\[a\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+cx(t) = 0 % 식 (2)\]
여기서 $a$는 0이 아니어야 한다.
대입 방법을 이용한 해법
앞서 2계 선형 미분방정식의 해법 (1) 편에서는 2계 제차 선형 미분방정식의 해를 구할 때 연립방정식의 형태로 방정식을 수정하여 솔루션을 구할 수 있다는 것에 대해 알아보았다.
그 때 핵심적이었던 것은 고윳값과 고유벡터에 관한 것이었다는 것을 기억해보자.
잠깐 복습하면 $y=dx/dt$로 대입하면 식 (2)와 같은 2계 미분방정식을 연립 미분방정식의 꼴로 쓰면 다음과 같았다.
\[\begin{bmatrix}dx/dt \\ dy/dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -c/a & -b/a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} % 식 (3)\]
그리고 위 식에 들어있는 행렬의 특성방정식을 구하면 다음과 같았다.
\[\lambda^2+\frac{b}{a}\lambda + \frac{c}{a}=0 % 식 (4)\]
그리고 이 특성방정식을 통해 고윳값을 구하면,
\[\lambda_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} % 식 (5)\]
였으며, 고유벡터는
\[v_{1,2}=\begin{bmatrix}1\\ \lambda_{1,2}\end{bmatrix} % 식 (6)\]
라는 것을 알 수 있었다.
그리고 위의 연립 미분방정식의 솔루션인,
\[\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}=c_1e^{\lambda_1 t}\begin{bmatrix}1 \\ \lambda_1\end{bmatrix}+c_2e^{\lambda_2 t}\begin{bmatrix}1 \\ \lambda_2\end{bmatrix} % 식 (7)\]
중에서 $x(t)$만 떼서 얻어내면 된다.
따라서,
\[x(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t} % 식 (8)\]
와 같은 솔루션을 얻어낼 수 있음을 알 수 있다. 그러므로, 2계 선형미분방정식의 해를 얻어낼 때 가장 중요한 부분은 고윳값이라는 것을 알 수 있다.
우리는 2계 선형 미분방정식의 해를 구하기 위한 조금 더 쉬운 방법으로 대입 방법을 이용해보자.
대입 방법을 이용한 해법은 일반적으로 교과서에서 많이 소개되고 있는 해법으로 미분방정식의 해를
\[x(t) = e^{\lambda t} % 식 (3+6)\]
와 같이 상정하여 풀이를 진행해 나가는 것이다.
따라서 식 (1)과 같은 선형 제차 2계 미분방정식에 대해 $x(t) = e^{\lambda t}$라고 하면 다음이 성립할 것이다.
\[\Rightarrow a\lambda^2 e^{\lambda t} + b \lambda e^{\lambda t} + c e^{\lambda t} = 0\]
여기서 $e^{\lambda t}$로 식을 묶어내면,
\[\Rightarrow e^{\lambda t}(a\lambda^2+b\lambda + c)=0\]
이 되고, $e^{\lambda t}$는 항상 양수이므로,
\[a\lambda^2+b\lambda + c=0\]
이 되어야 한다. 즉, 대입법을 이용하면 우리가 식 (4)와 동일한 특성방정식을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.
따라서, 이 방정식의 근을 구하면 우리는 고윳값에 해당되던 $\lambda$가 어떤 것인지 알 수 있게 된다.
참고로 식 (12)와 같은 방정식을 우리는 ‘보조 방정식(auxiliary equation)’이라고 부른다.
그리고, 2차 방정식의 근은 두 개이기 때문에 두 개의 고윳값을 알게되면 아래와 같이 두 개의 solution을 얻게 되는 것이다.
중복되지 않는 실수 고윳값을 갖는 경우
\[x_1(t)=e^{\lambda_1 t} % 식 (7+6)\] \[x_2(t)=e^{\lambda_2 t} % 식 (8+6)\]
우리는 식 (9)와 같은 대입법을 이용해 2계 제차 상미분 방정식의 해를 구할 수 있는 방법을 생각해보았다.
이 때, 해는 결론적으로 식 (12)와 같은 2차 방정식으로부터 얻는 고윳값을 통해 결정된다.
그럼 우리는 쉽게 2차 방정식의 해가 실수인 경우와 복소수인 경우로 나눠질 수 있다는 것을 알 수 있다. 근의 공식에 따르면,
\[\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
이며, 다시 말해 식 (2)의 계수 $a$, $b$, $c$ 간의 관계가 $b^2-4ac>0$인 경우 실수 고윳값을 갖는다는 것을 알 수 있다.
예시 문제
다음 초기값 문제를 해결하시오.
\[x”+11x’+24x = 0\quad x(0) = 0\quad x'(0) = -7\]
여기서 $x=e^{\lambda t}$로 가정하고 보조 방정식을 얻으면,
\[\lambda^2+11\lambda+24 = 0\]
이다.
그리고, 이 보조 방정식의 근을 구해보면,
\[(\lambda+8)(\lambda+3) = 0\] \[\therefore \lambda = -8 \quad \text{or}\quad \lambda = -3\]
따라서, 이 초기값 문제의 일반해는
\[x(t) = c_1 e^{-8t}+c_2 e^{-3t}\]
이다.
여기서 초기 조건을 이용하면,
\[x(0) = c_1+c_2 = 0\] \[x'(0) = c_1(-8)+c_2(-3) = -7\] \[\therefore c_1 = 1.4,\quad c_2 = -1.4\]
따라서, 솔루션은
\[x(t) = 1.4e^{-8t}-1.4e^{-3t}\]
이다.
복소수 고윳값을 갖는 경우
식 (2)의 계수 $a$, $b$, $c$ 간의 관계가 $b^2-4ac<0$인 경우 복소수 고윳값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 예시 문제 다음 초기값 문제를 해결하시오. \[x''-4x'+9x = 0,\quad x(0) = 0,\quad x'(0)=-8\] 여기서 $x=e^{\lambda t}$로 가정하고 보조 방정식을 얻으면, \[\lambda^2-4\lambda+9=0\] 이다. 따라서 $\lambda$는 \[\lambda = \frac{4\pm\sqrt{16-4*9}}{2}\] \[=\frac{4\pm\sqrt{-20}}{2}=2\pm i \sqrt 5\] 이다. 따라서, 방정식의 일반해는 \[x(t)=c_1e^{(2+i\sqrt 5)t}+c_2e^{(2-i\sqrt 5)t}\] 여기부터는 $e^t$를 $\exp(t)$와 같이 쓰도록 하자. (지수 승이 잘 안 보임) \[=c_1\exp(2t)\exp(i\sqrt 5 t)+c_2\exp(2t)\exp(-i\sqrt 5t)\] 오일러 공식 \[e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\] 에 의해, \[\Rightarrow c_1\exp(2t)\left(\cos(\sqrt{5}t)+i\sin(\sqrt{5}t)\right) + c_2\exp(2t)\left(\cos(\sqrt{5}t)-i\sin(\sqrt{5}t)\right)\] \[=\exp(2t)\left( c_1\cos(\sqrt{5}t)+c_2\cos(\sqrt{5}t)+ic_1\sin(\sqrt{5t})-ic_2\sin(\sqrt{5}t) \right)\] 여기서 $c_1+c_2$와 $ic_1-ic_2$를 각각 새로운 상수 $c_3$와 $c_4$로 치환하면, \[\Rightarrow \exp(2t)\left( c_3\cos(\sqrt{5}t)+c_4\sin(\sqrt{5}t) \right)\] 가 된다. 여기서 초기 조건을 대입하면, \[x(0) = c_3=0\] \[x'(t)=2\exp(2t)\left(c_3\cos(\sqrt{5}t)+c_4\sin(\sqrt{5}t)\right) +\exp(2t)\left( -\sqrt{5}c_3\sin(\sqrt 5 t) + \sqrt{5}c_4\cos(\sqrt{5}t) \right)\] \[=2\exp(2t)(c_4\sin(\sqrt{5}t))+\exp(2t)(\sqrt{5}c_4\cos(\sqrt{5}t))\] \[x'(0) = \exp(0)(\sqrt{5}c_4)=-8\] \[\therefore c_4 = -\frac{8}{\sqrt{5}}\] 따라서, 이 미분방정식의 해는 \[\therefore x(t) = -\frac{8}{\sqrt{5}}\exp(2t)\sin(\sqrt{5}t)\] 이다. 중근을 갖는 경우 식 (2)의 계수 $a$, $b$, $c$ 간의 관계가 $b^2-4ac=0$인 경우 중근 고윳값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 이 경우는 해법이 조금 독특한데, 보조방정식의 해가 되는 $\lambda$를 이용해 하나의 해를 $e^{\lambda t}$로 설정하고 또 다른 해는 $te^{\lambda t}$라고 설정하여 문제를 푼다. 이렇게 설정할 수 있는 이유에 대해서는 다른 포스팅에서 자세히 소개할 것이다. 관련 내용은 reduction of order라고 부르는 테크닉이다. 예시 문제 아래의 초기값 문제를 해결하시오. \[x''-4x'+4x=0\quad x(0) = 12\quad x'(0) = -3\] 이 미분방정식의 보조 방정식을 구하면 다음과 같다. \[\lambda^2-4\lambda+4 = 0\] 따라서, $\lambda = 2\text{(중근)}$이다. 그러므로 우리는 다음과 같이 일반해를 생각할 수 있게 된다. \[x(t)=c_1e^{2t}+c_2te^{2t}\] 초기값을 이용하면, \[x(0) = c_1 = 12\] \[x'(t) = 2c_1e^{2t}+c_2e^{2t}+2c_2te^{2t}\] \[x'(0) = 2c_1+c_2= -3\] \[c_2 = -3-24 =-27\] \[\therefore x(t) = 12e^{2t}-27te^{2t}\]
[미분방정식] 9. 2차 미분방정식, 차수축소법 – 2nd Order Homogeneous Linear ODEs, Reduction of Order
1차 IVP의 경우 초기값 한 개가 주어지면 해를 구할 수 있었습니다.
반면에 2차 IVP은 두 개의 초기값이 필요합니다.
일반적으로 위와 같은 2차 선형 제차 미분방정식을 풀면, 아래와 같은 해를 얻게 됩니다.
이처럼 임의의 상수 $c_{1}, ~c_{2}$를 포함한 해를 general solution이라고 합니다.
이 때, 초기 조건(*)이용하면 상수 $c_{1}, ~c_{2}$를 정할 수 있게 됩니다.
이렇게 구한 해를 particular solution이라고 합니다.
예제 1. 아래 IVP의 해를 구하시오.
Step 1. General Solution
우선 미분방정식의 두 해를 구합니다.
따라서 general solution은 다음과 같습니다.
Step 2. Particular Solution
초기 조건을 이용하여 상수 $c_{1}, ~c_{2}$를 결정합니다.
Basis
general solution을 구하는 과정에서 $y_1,~ y_2$ 는 서로 선형 독립이어야 합니다.
선형 독립을 만족시키는 두 해 $y_1,~ y_2$를 basis라고 합니다.
선형 독립이란,
구간 I에서 방정식(*)을 성립시키는 해가 오직$k_1 = k_2 = 0$뿐인 상태를 의미하며, 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.
나중에 Wronskian 행렬식을 이용하면 더욱 간단히 선형 독립성을 밝혀낼 수 있습니다.
차수축소법 – Reduction of Order
앞에서 살펴본 예제
의 경우 basis를 구하기 쉬웠습니다.
그럼 한 가지 의문이 들었을 겁니다.
복잡한 미분방정식이 basis는 어떻게 구하지?
이에 대한 궁금증은 다음 장에서 해결할 수 있습니다.
우선 두 개의 basis중에 한 개를 알고 있다고 가정해 보겠습니다.
그렇다면 남은 한 개의 basis는 이미 알고 있는 basis를 이용해서 구할 수가 있는데, 이때 사용하는 기법이 Reduction of Order입니다.
예제를 통해 알아보도록 하겠습니다.
예제 3. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
미분방정식을 잘 살펴보면
가 basis임을 쉽게 알아낼수 있습니다.
이제 첫 번째 basis $y_1 = x$를 이용해서 두 번째 basis를 구해보겠습니다.
우선 두 번째 basis가 다음과 같은 꼴이라고 가정해봅니다.
미지함수 $u(x)$만 구할 수 있다면 두 번째 basis를 알아낼 수 있습니다.
이 결과를 원래 미분방정식에 대입하면,
마지막으로 한번 더 치환을 해줍니다.
이제 익숙한 1차 ODE의 형태로 미분방정식이 간단해졌습니다.
변수 분리를 실행하면,
이러한 방법을 Reduction of Order라고 합니다.
2차 ODE
의 basis $y_1$을 구했다면,
으로 치환합니다.
그러면,
원래 미방에 대입하면,
5. 2계 제차,비제차 선형미분방정식(1)
이번시간에는 2계 제차선형미분방정식과 2계비제차선형미분방정식의
여러가지 풀이방법에 대해서 쓰려고 합니다~
1. 2계제차 선형미분방정식
시작하기 앞서 2계제차이 무슨소린지에 대해 단어를 나눠서 보면
2계: y” 즉 2번 미분한것이고
제차는 우변이 0인식. 즉 y”+y=0처럼 우변이 0인 것입니다.
위와 같은 식을 2계제차 선형미분방정식이라 합니다.
2계 제차 선형미분방정식의 일반해를 구하는 방법에는 2가지가 있습니다.
(1) 특성방정식을 이용(y1,y2둘다 모름)
(2) 계수감소법을 이용(y1를 알음)
2. 특성방정식
이 식을 변형해보면
이때 특성방정식에 따라 해를 구하게 되면 이차방정식 형태이므로 3종류로 나뉩니다.
이 공식만알면 2계에서는 문제푸는데 아무런 지장이없습니다.
하지만 3계,4계,이렇게 넘어가면 어떻게 풀어야 할지 감이 안잡히는데
예시 문제를 보겠습니다.
이렇게 선형성과 공식을 이용해 3계,4계,,,에서도 문제를 풀수 있습니다.
3. 계수감소법
이렇게 한해를 알고있을때 다른해를 구할수 있는 방법입니다.
4. 2계비제차 선형미분방정식
2계 비제차 선형미분방정식의 일반해는
꼴로 표현됩니다.
보조해는 선형미분방정식의 해 y이므로 우리는 특수해를 구하는 방법을 알아내면
비제차 선형미분방정식의 일반해를 구할수 있게 됩니다.
이때 특수해를 구할수 있는 방법이 여러가지가 있는데 크게보면
1. 미분연산자
2. 매개변수 변화법(론스키안)
이렇게 2가지가 있습니다.
1. 미분연산자를 이용한 방법
시작하기 앞써 미분연산자에 대해 보면
위와 같은 특성을 가지고 있습니다.
위의 특성을 이용하여 y”, y’를 D에 관한 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
y”, y’를 2계비제차 선형미분방정식에 넣으면
특수해는 이렇게 나옵니다.
미분연산자의 성질 2가지를 이용해 문제를 풀어봅시다!
2. 매개변수 변화법
이때
보조해는 아래와 같이 표현됩니다.
특수해는 아래와 같이 표현됩니다.
매개변수 변화법은 R(x)가 초월함수일때 유용한 방법입니다.
(초월함수 : 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수 등)
론스키안W 를 구할때 u를 미분하게 됩니다.
텍스트 추가
위에서 u는 위와 같이 지수함수와 삼각함수로 나타내지기 때문에
론스키안 또한 지수함수, 삼각함수로 나타나게 되는데
R(x)가 초월함수이면 v1,v2을 구할때 서로 약분되거나 그런 상황이 발생하기 때문에
R(x)가 초월함수일때 매개변수 변화법을 사용하면 유용합니다.
키워드에 대한 정보 2 차 미분 방정식
다음은 Bing에서 2 차 미분 방정식 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.
이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!
사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 2계 미분방정식을 푸는 방법 [2계 제차 선형 상미분방정식]
- 미분방정식
- 2계 미분방정식
- 2계 제차 미분방정식
- 선형 2계 미분방정식
- 공업수학
- 수학
- 2계 미분
- homogeneous equation
- 구선생
- 구선생 로보틱스
2계 #미분방정식을 #푸는 #방법 #[2계 #제차 #선형 #상미분방정식]
YouTube에서 2 차 미분 방정식 주제의 다른 동영상 보기
주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 2계 미분방정식을 푸는 방법 [2계 제차 선형 상미분방정식] | 2 차 미분 방정식, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.