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1계 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 변수분리가 불가능한 형태의 미분방정식입니다. 푸는 방법은 간단합니다. (1) y’+p(x)y =r(x) 꼴 표준형으로 정리하고 적분인자를 구한다. (3) 양변을 적분해 y = f(x)꼴 해를 얻는다.
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상미분방정식 재생목록의 두번째 영상입니다
보시고 헷갈리는 부분은 언제든지 댓글로 질문주셔요
항상 감사합니다 ^^
(예제출처 : Boyce 미분방정식 135p 복습문제 1번)
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[공업수학] 1계 미분방정식 – PinkWink
변수분리형 1계 미분방정식의 해법은 대체로 정형화되어 이미 정립되어있습니다. 그 방법의 유도과정이나 증명은 공대학생이라면 누구나 가지고 있을 …
Source: pinkwink.kr
Date Published: 4/29/2021
View: 7198
1계 상미분방정식(first-order ODE) – 네이버 블로그
1차 미분방정식은 단지 1계 도함수 y’만을 포함하고, y와 주어진 x의 함수를 포함할 수도 있다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다. 변수분리형 방정식( …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 4/17/2021
View: 1838
1계 미분방정식
미분방정식 : 한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식 (1) 유형에 따라 상미분 …
Source: hongjun7.tistory.com
Date Published: 3/16/2021
View: 6798
제 1 장 1계 상미분방정식 – 권태원 큐스터디
제 1 장 1계 상미분방정식. 미분방정식이란 종속변수를 독립변수에 대해 미분한 도함수를 포함하는. 방정식이다. Def (1): 미분방정식(differential equation).
Source: qstudy.kr
Date Published: 4/2/2021
View: 8543
1계 선형 미분방정식과 풀이법 | 해 구하기 | “적분 인자”란?
일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 ‘일반적 해법’이 존재한다. 1차 선형 상미분 …
Source: splendidlolli.tistory.com
Date Published: 5/18/2021
View: 7798
1계 미분 방정식(일반적인 해법으로 풀수 없는 형태)
언뜻 보기에는 1게 선형미분방정식의 풀이를 쓰면 될것 같아 보입니다. 그러나 우변에 y에 관한 항이 있어서 1계선형미방의 해법으로 풀수가 없습니다.
Source: kwon-jjing.tistory.com
Date Published: 7/24/2022
View: 2319
[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법 – 경호의 개발일지
On This Page. 미분방정식; 미분방정식의 차수; 1계 상미분방정식. 변수분리. 자주나오는 미분. 다항함수는 이렇게 미분한다. 지수함수, 삼각함수, …
Source: gyeonghokim.github.io
Date Published: 5/2/2021
View: 6758
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- Author: BOS의 스터디룸
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- Date Published: 2020. 5. 22.
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[공업수학] 1계 상미분방정식 총정리 (1) : 변수분리형, 완전미분방정식, 선형 상미분 방정식, 베르누이 방정식
따라서 Mdx + Ndy = 0 꼴의 미분방정식에서 dx 앞의 항과 dy 앞의 항을 각각 y, x에 대해 미분했을 때 같은 결과가 나온다면 그 해는 u(x,y)=C꼴로 나타낼 수 있다는 것입니다. 또한 M와 N은 u의 편도함수라는 의미에서 연관성이 생기구요.
완전미분방정식을 푸는 방법을 정리하면 다음과 같습니다.
(1) 완전성 검사 : M을 y에 대해 편미분한 것과 N을 x에 대해 편미분한 것을 비교한다.
(2) u = int(M) dx +k(y) 로 설정. 또는 u = int(N)dy + k(x) 로 설정.
(3) u의 편도함수가 N임을 (M임을) 이용해 k(y) 또는 k(x)를 결정한다.
(4) u = C꼴의 해를 정리한다.
[공업수학] 1계 미분방정식
1계 미분방정식의 해법은 대체로 정형화되어 이미 정립되어있습니다. 그 방법의 유도과정이나 증명은 공대학생이라면 누구나 가지고 있을 공업수학책이나 각종 인터넷 자료를 참조하시고, 여기서는 몇몇 예제를 통해 풀이만 살펴보도록 하겠습니다.
먼저 위와 같은 형태를 가지는 1계 미방이 있다면, 변수분리형으로 풀 수가 있습니다.
위 예제인데요. 적절히 잘 정리하면 첫 식과 같은 형태로 꾸밀 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
이렇게 말이지요.
그리고, 양변을 적분합니다. 그러면, 적분결과를 얻을 수 있고 (물론 적분상수도 나타나겠지요)
위와 같이 정리가 가능해집니다.
이 문제 하나를 더 보죠. 변수분리가 가능하고, y끼리 x끼리 모아서
양변을 적분하면 위의 결과가 나타납니다.
1계 상미분방정식(first-order ODE)
1차 미분방정식의 개요
이전 포스팅에서 다룬것을 요약하면 미분방정식이란 하나 또는 그 이상의 도함수가 포함된 방정식을 뜻하며 y를 구하는 것을 미분방정식을 푼다라고 하며 이를 미분방정식의 해라고 한다. 본 포스팅에서는 1차 미분방정식의 해법에 대한것이다. 즉, 하나의 도함수를 포함하는 미분방정식을 풀어 해를 구하는 것이다. 1차 미분방정식의 형태는 여러가지가 있는데 그 중 가장 간단한 형태인 변수분리형부터 시작해서 동차 미분방정식, 완전 미분방정식에 대해 다룰것이며, 특히 선형 1차 미분방정식의 일반적인 해법에 대해서도 다룬다. 또한 복잡한 형태이기는 하지만 적절한 치환에 의해 간단한 형태로 변환되는 베르누이 및 리카티 미분방정식도 학습한다. 1차 미분방정식은 단지 1계 도함수 y’만을 포함하고, y와 주어진 x의 함수를 포함할 수도 있다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
변수분리형 방정식(Separable Equation)
1차 미분방정식의 해를 구하는 데 있어 제일 먼저 검토해야 할 사항은 변수분리가 가능한 형태인지 알아내는 것이다.
만일 아래 식의 우변을 적당한 대수조작을 통해 x와 y의 함수로 분리가 가능하다고 하자.
위의 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.
이 식의 좌변은 y만의 함수로, 우변은 x만의 함수로 각각 표현되었으며 이것이 변수가 분리되었다는 의미이다.
위의 식의 양변을 적분하면
이 되며 c는 두개의 적분에 대한 적분상수를 표현한 것이다. 적분을 통해 최종적으로 우리가 구하고자 했던 미분방정식의 일반해 y를 구할 수 있다. 변수분리형 방정식을 풀기 위해서는 치환적분, 부분적분, 부분분수에 의한 적분기법을 미리 숙지하자.
모든 1차 방정식이 언제나 변수 분리가 될 수 있는 것은 아니지만, 많은 경우 변수분리가 가능한 형태로 표현될 수 있다.
예제를 통해 이해해보자. 변수분리를 하면 다음과 같다. 양변을 적분해보자. 좌변 풀이 우변 풀이 좌변, 우변 같이 쓰면 최종적으로 다음과 같은 음함수의 해를 구할 수 있다.
미분방정식의 해는 상황에 따라 양함수나 음함수 표현 모두가 가능하지만 경우에 따라서는 음함수 표현으로부터 양함수 표현을 얻어내기가 매우 어렵고 복잡한 경우가 많다. 이럴 때는 미분방정식의 해를 음함수 형태로 표현하는 것이 좋을 것이다. 양함수 또는 음함수 형태는 함수의 표현방식이며, 어떤 표현방식이 더 좋다고 이야기할 수 없는 것이므로 상황에 따라 적절하게 선택하여 표현하면 된다.
동차 미분방정식(Homogeneous Differential Equation)
앞에서 변수분리가 가능한 1차 미분방정식의 일반해는 변수분리 후에 적절한 적분수행에 의해 구해진다는 것을 알았다. 그런데 만일 대수적인 조작을 통해 변수분리가 되지 않으면 어떻게 할 것인가?
위와 같은 미분방정식을 고려해보자. 대수적인 조작을 통해 x와 y의 변수로 분리할 수 있는가? 불가능 하다. 우변의 분자항이 합의 형태로 주어져 있기 때문에 변수분리가 가능하지 않으므로 변수분리방법을 통해 일반해를 구할 수 없다.
그런데 변수분리가 되지 않는 1차 미분방정식 중에서 동차미분방정식이라는 특별한 형태로 주어진 미분방정식의 경우에는 변수치환과정을 거쳐 변수분리형태로 변환할 수 있다.
어떤 형태가 과연 동차함수(Homogeneous Function)일까? 다음 함수를 고려해 보자.
우변에는 3개의 항이 존재하는 데 각 항의 차수를 살펴보자. xy^3항은 x가 1차, y가 3차, x와 y의 차수의 합이 4이다. x^3y항도 마찬가지로 x와 y의 차수의 합이 4이다. 2x^2y^2항은 x가 2차, y가 2차, 상수는 0차, 합이 4차이다. 이와 같이 모든 항의 차수가 동일한 함수를 동차함수라고 부른다. 정확한 수학적인 정의는 다음과 같다.
동차함수의 정의 : 어떤 실수 n에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다면 f(x, y)를 차수 n의 동차함수라 한다.
다음으로 아래와 같은 미분방정식을 정의하자.
여기에서 M(x,y)와 N(x,y)가 동차함수가 되면 이와 같은 미분방정식을 동차미분방정식이라 부른다.
즉, 동차미분방정식이 되기 위해서는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.
동차 미분방정식의 일반해를 구하기 위해, y=ux 또는 x=vy로 치환함으로써 변수분리법을 통해 해를 구할 수 있다. 단, u와 v는 새로운 종속변수이다. y=ux로 치환한다고 가정하고, 양변을 미분하여 dy를 구해보자.
이를 이용해 동차미분방정식을 풀면된다.
예제를 통해 이해해보자. 동차함수인지 체크해보자. 각각 차수 1의 동차함수이므로 동차미분방정식이다. 변수분리형으로 변환하기 위해 y=ux와 dy=udx+xdu로 치환하여 대입해보자. 양변을 x(2u+1)로 나누어 적분하면 다음과 같다. 윗식에 u=y/x를 대입하면 다음의 음함수의 일반해를 구할 수 있다.
완전 미분방정식(Exact Differential Equation)
완전미분방정식을 다루기 전에 전미분(Total Differential)에 대해 알아보자.
2변수 함수 u=f(x,y)가 연속인 1차 편도함수를 가지는 경우 전미분 du는 다음과 같이 정의된다.
그리고 u=f(x,y)=c(상수) 이면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다.
완전미분 방정식의 정의 : 미분형식 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 어떤 함수 f(x,y)의 전미분에 대응되는 경우 주어진 미분형식을 완전미분이라고 정의하며, 다음의 방정식
을 완전미분방정식이라고 한다.
한편, 완전미분방정식이 되기 위해서는 어떠 조건이 필요할까? M(x,y)와 N(x,y)가 연속인 일차편도함수를 가진다고 가정하자.
만일 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 완전하면
를 만족하는 어떤 함수 f(x,y)가 존재한다. 따라서
이 성립하며, 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
역으로 위의 조건이 만족된다면 M(x,y)dx + N(x,y)dy가 완전미분이 되게 하는 함수 f(x,y)를 찾을 수 있다는 뜻이다.
이제는 완전미분방정식의 해를 구해보자.
f(x,y)를 구하기 위해서 위의 식의 양변을 적분한다.
여기서 k(y)는 x로 적분하는 경우 y의 함수는 상수로 취급될 수 있으므로 적분상수로 가정한다. 양 쪽 식에서 구한 u에는 아직 결정되지 않은 미지의 적분상수 k(y)와 l(y)가 있기 때문에 다음과 같은 방법으로 적분상수들을 구한다.
위 식에서 양변을 적분함으로써 k(y)를 구할 수 있다. l(y)도 마찬가지로 같은 방법으로 구할 수 있다.
f(x,y)가 완전하게 구해지면 완전미분방정식의 해는 다음과 같다.
예제를 통해 동차미분법과 완전미분법을 비교 이해해보자.
1)동차미분법 풀이 먼저 동차함수인지 체크해보자. 각각 차수 3의 동차함수이므로 동차미분방정식이다. 변수분리형으로 변환하기 위해 y=ux와 dy=udx+xdu로 치환하여 풀어보자. y=ux 이므로, u=y/x 를 대입해서 최종의 해를 얻으면 된다. 2) 완전미분법 풀이 먼저 주어진 미분방정식이 완전미분이 가능한지 체크한다. 완전미분방정식의 조건을 만족한다. 다음으로 u를 찾는다. 적분상수 k(y)를 구한다. 최종적으로 u를 구한다.
1차 선형미분방정식
1차 선형방정식은 형태는 다음과 같다.
위의 식을 a₁(x)로 나누면, 다음과 같이 표준 형태(standard form)가 된다.
위의 미분방정식의 특징을 살펴보면, 미지의 함수 y와 그의 도함수 y’에 대하여 1차인 반면에, p와 r은 x에 대한 임의의 주어진 함수이므로 1차 선형미분방정식이라 할 수 있다.
물리적인 의미를 살펴보면, 우변의 함수 r(x)는 입력하는 힘을 나타내고, 해 y(x)는 입력에 의한 운동 또는 전기적 전류나 어떠한 물리량을 나타내는 즉, 출력 또는 응답을 의미한다.
또한 r(x)=0이면 제차(homogneous), r(x)가 존재하면 비제차(nonhomogeneous)라 부른다.
제차미분방정식의 해(r(x)=0인 경우)
위의 식을 변수분리하고 적분을 하면
양변에 지수함수를 취하면 아래와 같은 제차상미분방정식의 일반해를 얻는다.
물리적 해석 : 외부 입력이 없기 때문에 초기값에 의해 좌우됨. 만약 c=0이면 y=0(trivial solution), 즉, 움직이지 않음을 뜻함
비제차미분방정식의 해(r(x)≠0인 경우)
위의 1차 선형미분방정식의 표준 형태를 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다.
위의 식은 일반적으로 완전미분방정식이 아니여서 완전미분법으로 풀 수가 없다. 하지만 함수 F(x)가 곱해져서 완전미분방정식이 되게 할 수 있는데 이때 함수 F(x)를 적분인자(Integrating Factor)라고 한다. 적분인자 F(x)를 위의 식의 양변에 곱하면
위의 식이 완전미분방정식이 되기 위해서는 다음의 조건이 만족되어야 한다.
위의 식을 변수분리형으로 변환하여 양변을 적분하면
이제는 비제차미분방정식의 해를 구해보자. 우선 1차 선형미분방정식 표준 형태에 적분인자를 곱한다.
Fy를 미분해보면 다음과 같다.
위의 식은 적분인자를 구할 때 쓰인 식을 써서 다음과 같이 변경할 수 있다.
즉, 다음과 같은 식이 된다.
양변을 적분하면
위의 식을 간단히 표현하기 위해 다음과 같이 h를 정의하고 최종해를 얻는다.
물리적 해석 : 두 개의 항이 존재하는데, 첫번째 항은 외부 입력 r(x)에 의한 응답이며 두번째 항은 초기값에 의한 응답이다.
즉, 비제차미분방정식의 출력은 외부입력에 의한 응답과 초기값에 의한 응답이 혼합된 것이다.
예제를 통해 제차와 비제차에 대해 이해해보자. 1) 제차 미분방정식 초기값에 의해
2) 비제차 미분방정식
초기값에 의해
베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation)
지금까지 1차 미분방정식의 해를 구하기 위한 방법으로 변수분리법, 동차방정식, 완전미분, 적분인자를 배웠다. 그런데 지금까지 설명한 방법으로도 해결되지 않는 미분방정식도 많이 존재하는데, 특별한 경우로서 적절한 치환을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있는 경우가 있다. 다음의 미분방정식을 고찰해 보자.
여기서 a는 임의의 실수이며, a=0,1인 경우는 선형 미분방정식이지만 나머지 a에 대해서는 비선형 미분방정식이다. 이 방정식을 베르누이 미분방정식이라 부른다. 이 방정식의 경우 다음과 같은 치환을 통해 풀 수 있다.
이 식을 미분하고 베르누이 미분방정식의 y’을 대입하면
를 얻는다. 위의 식을 간단히 하면
가 되는데, 여기서 우변의 y^(1-a)=u 이므로 다음과 같은 u에 관한 선형미분방정식을 얻는다.
위의 u에 관한 선형미분방정식에서 u에 대해 해를 구하고, y^(1-a)=u를 이용해서 베르누이 미분방정식의 y에 대한 해를 구한다.
예제를 통해 이해해보자. u를 아래 식에 대입하면 비선형 미분방정식을 이와 같이 u를 변수로 하는 선형 방정식을 얻었다. 이제 변수분리법을 이용하여 u에 대한 해를 구해보자. u=y^3을 대입하여 최종해를 구한다.
리카티 미분방정식(Riccatti Differential Equation)
이탈리아의 수학자이며 철학자인 리카티(Jacopo Francesco Riccati, 1676-1754)의 이름을 따서 아래와 같은 형태의 비선형 미분방정식을 리카티 미분방정식이라고 한다.
대부분은 P(x), Q(x), R(x)에 따라서 이 방정식의 해는 초등함수로 표현할 수 없다. 초등함수란, 대수함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수를 통틀어 이르는 말이다.
이와 같은 미분방정식의 형태가 있다는 것만 알아두고 넘어가자.
1계 미분방정식
– 미분방정식 : 한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식
(1) 유형에 따라 상미분방정식(독립변수가 1개)/편미분방정식(독립변수가 2개 이상) – 독립변수 개수
(2) 계수에 따라 1계, 2계, … , n계 – 미분한 횟수
(3) 선형성에 따라 선형미분방정식/비선형미분방정식 – 계수에 독립변수가 연관된 항의 유무
example) 선형미방 : y”-3y’+y=0, y’+4xy=x / 비선형미방 : (1-y)y’+2y’=0
* : 2계 1차 , : 1계 2차
– 미분방정식의 해 : 준 미분방정식을 만족시키는 독립변수와 종속변수 사이의 관계
– 변수분리형 미분방정식 : 1계 미분방정식의 형태가 인 미분방정식
– 동차함수(homogeneous function) :
f(x, y)가 n차 동차함수이면
– 동차미분방정식 : 에서 과 이 같은 차수의 동차함수인 미분방정식
즉, 동차미분방정식은 치환을 통해 변수분리형 미분방정식으로 바꾸어 푼다.
치환을 할 때에 dy쪽이 간단하면 y=ux, dx쪽이 간단하면 x=vy로 치환하는 것이 좋다.
– 완전미분방정식(exact differential equation)
가 어떤 함수 의 전미분과 같을 때인
이면 을 완전미분방정식이라 하고 해는 가 된다.
Theorem : 이 완전미분방정식인 것과 는 동치이다.
example)
– 적분인자
이 완전미분방정식은 아니지만, 양변에 를 곱해서 완전미분방정식이 될 때, 함수 를 적분인자라 한다. 를 풀면 된다.
N과 M 중 간단한 걸 택해서 분모로 보냄.
– 선형미분방정식
– 1계 선형미분방정식
example)
– 베르누이 미분방정식
Theorem : 형태인 미분방정식은 로 치환하면 선형미분방정식이 된다. 즉, 로 변형된다.
자꾸 생각나는 체리쥬빌레 :: 미분방정식
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일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 ‘일반적 해법’이 존재한다.
1차 선형 상미분방정식을 풀어내기 위해 이 ‘일반적 해법’만 익히면 문제 없을 것이다. 포스팅을 끝까지 읽으면 어느새 1차 선형 미방 풀이의 고수가 되어있을 것..
먼저 1계 선형 미분방정식의 형태에 대한 이야기를 시작하겠다.
1계 선형 미분방정식 “형태”
여기서 알아야 할 것은 표준형이 어떤 형태인가이다.
(1계 선형 미방을 풀기 위해서는 표준형을 잘 알아둬야 한다!)
표준형으로 바꿔주기
보통 알고있는 1차 선형방정식 형태에는 dy/dx의 계수 a1(x)가 붙어있다. 이 선형계수가 1이 아니라면 양변을 선형계수로 나눠서 dy/dx의 계수가 1이 되도록 만들어준다. 그럼 1계 선형 미분방정식에서 y의 계수인 P(x)를 찾을 수 있을 것이고, 이어서 f(x)부분도 찾을 수 있다. (위 이미지 참고)
이때 P(x)와 f(x)를 계수함수라고 부르는데, 이 계수함수 P와 f가 모두 연속이 되는 어떤 구간 I에서 해를 구하게 된다.
자 그럼이제 ‘해를 구하는 방법’에 대해 이야기할 차례다.
1계 선형 미분방정식 해 구하는 방법 – 두가지
만약에 미분방정식의 형태가 표준형인 dy/dx+P(x)y=f(x)가
ㅇ변수분리형이면 변수분리로 풀면 되고 – 방법 링크
ㅇ변수분리형이 아니라면 ‘적분 인자’라는 것을 이용한다. – 오늘 포스팅 내용이다.
참고:
선형이고 변수분리형인 미방: dy/dx + 2xy = 0
선형이고 변수분리 불가인 미방: dy/dx + y = x
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그럼 적분 인자가 뭘까? – 적분 인자 이해하기
1계 선형 미분 방정식을 푸는 방법 중에는 ‘양변에 특수한 함수 μ(x)를 곱해서’ 푸는 방법이 있다. 먼저 말하자면 μ(x)가 적분 인자다. 아무튼 이 방법을 통해 식을 전개해나가면 어떻게 되느냐? 적분의 과정을 거쳐서 미분방정식의 해 y(x)를 찾아낼 수 있다. 아직 무슨 얘긴가 싶을 수 있다. 이 얘기를 받아들이려면 다음 과정을 슥 보면 된다.
일단 앞서 배운 미분방정식의 형태인 ‘표준형 dy/dx+P(x)y=f(x)’을 기억하고 다음 내용을 읽어야 한다.
위 과정을 읽고나서 아하! 했으면 이걸 기억하자!!
ㅡ 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)의 양변에 적분인자를 곱한 방정식의 좌변은 “적분인자 곱하기 y”의 도함수 꼴이다.
이걸 알아야 문제에 적용가능하다. 어떻게 적용가능하느냐? 이따가 예제로 볼 거긴 하지만, 말로 대충 설명해보겠다. step1 ~ step4
step1)
표준형으로 변형한, 또는 이미 표준형으로 주어진 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)에서 P(x)를 파악가능하다.
step2)
P(x)를 아니까, 적분인자 m(x) = e^integral P(x) dx 를 얻는다.
미분방정식에서 P(x)만 파악하면 바로 적분인자를 얻어낼 수 있는 것이다.
step3)
주어진 미분방정식의 양변에 적분인자를 곱해야 한다. 그러면
이런 꼴이 나올텐데, 여기서 아까 말한 것을 기억해야 한다!! 좌변이 뭐였는가?
좌변은 d/dx [적분인자 y] 꼴이 자동적으로 된다! 이 말은 즉,
“적분인자를 곱한 방정식의 좌변을
형태로 다시 써줄 수 있다는 것이다!”
이렇게 다시 써줘야 양변을 적분하여 전개가 가능하다.
step4)
이제 양변을 적분하여 y에 관하여 풀면
y(x)를 찾아낼 수 있다!
사실 이렇게 보는 것보다는.. 펜 직접 들고 예제 한두번 풀어보는 게 이해에 훨씬 도움이 된다.
그래서 예제를 하나 안내하겠다.
유의점: x의 범위 설정 : 계수함수 P,f가 모두 연속이 되는 구간 I에서 해를 구하게 되는 거라고 했다.
혹시 읽는 사람 있으면 흔적 하나 남기구 가주세요~~ ㅠㅅㅠ
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1계 미분 방정식(일반적인 해법으로 풀수 없는 형태)
앞서 1계 미분방정식의 3가지 풀이를 해봤습니다.
변수 분리형태, 완전미분방정식 형태, 1계 선형 미분방정식 형태
대부분의 경우 위의 3가지 방법안에서 풀수 있습니다만, 1계 미분 방정식에서 위와 비슷하면서도 다른 미분방정식이 존재합니다.
이 미분방정식은 위의 3가지 방법으로 풀릴것 같으면서도 풀리지 않습니다. 이런 미분방정식에 관해서 알아보고, 풀이를 해봅시다.
** 베르누이 미방**
위 형태의 미분방정식을 보면 어떤 방법으로 풀어야 할까요? 언뜻 보기에는 1게 선형미분방정식의 풀이를 쓰면 될것 같아 보입니다.
그러나 우변에 y에 관한 항이 있어서 1계선형미방의 해법으로 풀수가 없습니다.
또한 변수분리, 완전 미방의 형태로도 힘들죠
이러한 1계 미분 방정식은 조금 다른 해법이 필요합니다.
이런식으로 치환을 이용해서 1계 선형미분방정식 형태로 바꿔야 풀리는 것이 베르누이 미방입니다.
앞서 예를 든 것을 직접 풀어봅시다.
초기조건 y(0)=1 를 추가해서
우변에 x 관련항만 남게 양변에 y의 제곱을 나눠줍시다.
이제 치환을 통해 u에 관한 미분방정식으로 변환하면
이러한 식이 됩니다.
위 식을 1계 선형미방의 해법으로 풀면 되는 것이죠
베르누이 미방은 위와 같은 방법을 가지고 있습니다.
**동차형**
동차형이란 p(x,y) 와 q(x,y)의 차수가 같은 미방을 말합니다.
이런 방식으로 푸는 미분방정식인데, 이 동차형 미분방정식이 변수분리형의 비슷한 형태입니다.
어떠한 미분방정식을 보고 변수분리로 풀릴것 같은데 안풀리는 경우가 있는데 동차형인지 확인되면 이 방법으로 푸는 것입니다.
역시 예를 드는 것이 가장 좋겠죠.
동차형 미분 방정식은 위와 같은 방법으로 푸는 것입니다.
**적분인수**
앞서 1계 선형미방에서 적분인자를 곱해서 증명하는 과정을 보여드렸습니다. 이미 말한 내용이지만 다시 업급하면 연산을 편하기 위해서 양변에 곱해주는 값을 말합니다.
즉
이런 람다 값을 찾는 것이 어려워 보일수 있지만, 이 값을 구하는 공식이 존재합니다.
이러한 방식으로 람다를 구해서 양변에 곱해줌으로써 완전미방의 형태를 만들어 푸는 것입니다.
**비선형 미분방정식**
선형적인 미분방정식은 그 풀이를 알고 있다면 매우 쉽게 해결이 가능합니다. 그러나 비선형의 경우는 이야기가 다르죠.
모든 비선형 미분방정식이 이 방법으로 풀린다고 보장하지는 못합니다. 단 몇몇의 문제는 이러한 방식으로 풀수있습니다.
예를 들어봅시다.
위 미분방정식은 비선형 미분 방정식입니다. y’ 이 세제곱이 되어있기 때문에 선형적이니 못하죠.
이러한 비선형 미분방정식의 기본적인 풀이 틀은 dy/dx를 u로 치환하는 법입니다.
2가지 문제로 예를 들어서 설명하겠습니다.
문제1.
여기서 한번더 변수 분리 해법을 통해서 해를 구할수 있는 것이죠.
문제2.
즉 , 비선형 미분 방정식은 우리가 풀수 있는 선형 미분방정식의 형태로 바꿔주는게 가장 중요 포인트입니다.
[MATH/공수] 1계 상미분방정식 푸는 법
미분방정식
도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식이라 한다
미분방정식에도 종류가 많은데 기준을 독립변수의 수라고 하면 1개인 경우가 상미분방정식, 여러 개인 경우가 편미분방정식이다.
미분방정식의 차수
미분방정식안에 들어있는 도함수 중에 최고로 높은 차수, 그러니까 제일 많이 미분했는 항이 몇 번 미분한 건지가 그 미분방정식의 차수가 된다.
1계 상미분방정식
독립변수 하나에 최고차수가 1차, 그러니까 한번 미분한 함수가 최고인 미분방정식이다.
아래에 나오는 미분방정식은 전부 1차임을 가정하고 푼다.
이런 미분방정식을 푸는 법에는 여러가지가 있다.
변수분리 풀이법 완전미분방정식 풀이법 선형상미분방정식 풀이법 베르누이 방정식 풀이법
변수분리
가장 쉽게 떠올릴 수 있는 방법으로, 같은 것끼리 묶어둔 꼴(독립변수는 전부 우변, 종속변수는 전부 좌변 이런 식)로 정리를 한 뒤에 독립변수에 대해 적분을 하면 된다. \(\frac{y}{x}\) 꼴로 정리되는 미분방정식도 있는데 그 때는 그 분수 통째로 치환해서 정리하면 변수분리가 가능해진다.
\(g(y)\dot{y}=f(x)\)
\({\int_{}{}g(y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}={\int_{}{}f(x)\text{d}x} + c\)
여기서 골때리는게 나는 미분법이라던가 적분법을 모른다.
걱정하지 말자, 군대갔다오면 전부 그렇다. 나도 \(x^{n}\) 미분못해서 충격받고 한참 울었다.
어쩔 수 없지. 자주 나오는 미분법과 적분법을 외워 보자.
자주나오는 미분
미분할 때 규칙이다.
상수 미분하면 0 분배법칙 성립 두 종속변수의 곱을 미분하면 각각을 따로 미분해서 더하면 됨 두 종속변수의 분수꼴을 미분하면 분모는 제곱, 분자는 따로 미분해서 빼면됨 체인 룰 성립
다항함수는 이렇게 미분한다.
지수를 아래로 내리고 지수에 1을 빼면 된다.
\({(x^{n})}^\prime = nx^{n – 1}\)
지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수는 이렇게 미분한다.
\({(e^{x})}^\prime = e^{x}\)
\({(a^{x})}^\prime = {a^{x}}\ln(a)\)
\((\sin(x))^\prime = \cos(x)\)
\(\cos(x)^\prime = -\sin(x)\)
\(\tan(x)^\prime = \sec^2(x)\)
\(\cot(x)^\prime = -\csc^2(x)\)
\(\sinh(x)^\prime = \cosh(x)\)
\(\cosh(x)^\prime = \sinh(x)\)
이상한 내 친구처럼 고등학교 졸업하고 대학교 1학년에 미적보다 공수1을 먼저 듣거나 군대를 갔다온 사람이라면 쌍곡함수는 몰라야 정상이다. 어차피 미적분수업아니니까 자세히 알 필요는 없고 분자에 자연상수로 이상한 짓거리를 한 분수 정도로 알면 된다. 삼각함수랑 아무짝에도 관련없다. 자연상수 미분하면 똑같이 나오니까 -1이 안붙는다고 이해하면 된다.
로그함수, 역삼각함수는 이렇게 미분한다.
\((\ln{x})^\prime = \frac{1}{x}\)
\((\log_{a}{x})^\prime = \frac{1}{x\ln{a}}\)
\((\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arccos{x})^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
\((\arctan{x})^\prime = \frac{1}{1 + x^2}\)
\((\arccot{x})^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}\)
자주 나오는 적분
적분은 미분의 역연산이다.
타자치기가 귀찮다.
완전상미분방정식과 적분인자
첫번째,
어떤 함수가 독립변수 두 개를 가지고 있다고 하자. 그 때 각각의 독립변수에 대해 편미분한 함수가 모두 연속이면 그것의 전미분이
\(du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy\) 이다.
기억은 안나지만 군대가기 전에 이 사실을 배웠다고 한다. 받아들이자.
두번째,
상수를 미분하면 0이 나온다.
어떤 미분방정식을 정리해보았더니 좌변이 완전미분이고 우변이 0나오면 이걸 완전미분방정식이라고 부르고 위 두 사실을 이용해서 원래 함수를 찾을 수 있다.
완전미분의 꼴임을 어떻게 알 수 있는가
\(y^\prime = \frac{dy}{dx}\) 이다.
양 변에 dx를 곱하고 dx와 dy에 대한 항으로만 묶이는 꼴로 정리가 가능하면 일단 완전미분일 가능성이 있다.
\[M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0\]
이렇게 정리를 해두었을 텐데 M과 N이 각각 우리가 구하려는 함수의 x에 대한 편미분, y에 대한 편미분이어야 한다.
만약 위 식이 완전미분방정식이라면 M을 y에 대해 편미분한 값과 N을 x에 대해 편미분한 값이 같아야 한다(연속성의 가정).
\[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\]
만약에 같다?
그러면 둘 중에 적분하기 쉬운거 하나 골라서 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 풀린다. 자세한 과정은 laTex문법을 잘 몰라서 안적겠다. 여기까지 읽을 정도의 깡과 집중력이라면 이 정도는 스스로 찾아볼 수 있다고 생각한다. 잠깐 구글에 first order exact ODE라고 검색해서 읽어보자.
적분인자
\[P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0\]
문제를 막 풀다가 결국 위 꼴로 방정식이 정리가 된다면
교수님이 이 문제를 완전미분방정식 풀이법으로 풀라고 만들었다는 뜻이다. 근데 좌변이 완전미분이 아닐 때가 있다.
이럴 때는 특정한 함수를 양 변에 곱해서 완전미분방정식으로 만들어보라는 뜻이다.
그 특정함수를 적분인자라고 부르고 적어도 내가 공수1 시험에서 봤던 문제들에서는 적분인자가 하나의 변수만의 함수였다. 그러므로 적분인자 F함수가 x 또는 y만의 함수임을 가정하고 정리하면 최종적으로
\(F(x) = e^{\int_{}^{}R(x)dx }, R(x) = \frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial x})\)
또는
\(F(y) = e^{\int_{}^{}R(y)dy }, R(x) = \frac{1}{P}(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y})\)
이렇게 된다. 나는 x변수일때 큐피큐, y변수일때 피큐피 이렇게 외웠다.
적분인자를 구했으면 원래 정리된 미분방정식의 양 변에 곱하고 적분하고 미분하고 물고 빨다보면 답나온다.
선형상미분방정식
선형이 무엇인가에 대해 고민할 필요가 있다. 이게 고차 선형상미분방정식을 선형대수학적으로 이해하는데에 열쇠가 된다. 이거 이해하려고 개고생했다. 그러니 이 글을 읽는 사람들은 한방에 이해하길 바란다. 이거 진짜 중요하다.
여기서 또 골때리는게 군대를 갔다온 우리 친구들은 선형대수학을 문서상으로는 이수했는데 머릿속에는 없다라는 특징을 가지고 있다.
여기서 잠깐 끊고 유튜브에 3Blue1Brown이라고 검색하고 그 채널에서 “Essence of linear algebra” 시리즈 6강까지 보고 다시 돌아오자. 영상이 꽤 많긴한데 이거 안보면 내가 밟은 길을 여러분도 그대로 밟게된다. 한마디로 개고생한다. 일단 보고 오자.
선형성을 만족하는 방정식은 중첩의 원리가 적용된다.
책에는 무슨무슨 꼴의 대수적 형태로 정리가 되면 선형이다! 이런식으로 설명이 되어있는데 우리가 이해해야 하는건 이런게 아니고 이 미분방정식은 중첩의 원리가 적용된다는 것이다.
즉, 선형상미분방정식의 해는 기저들의 linear combination으로 나타낼 수 있다는 것이고 이는 고차 선형미분방정식의 풀이의 핵심이다. 미리 설명하면, 고차 항들 각각을 독립적으로 한번만 미분한 변수로 생각하고 그것들로 1차 선형미분방정식들의 선형연립방정식을 세운다. 그 연립방정식을 행렬곱으로 표현하고 거기서 나온 기저해들의 linear combination이 고차 미분방정식의 해 space(일반해)가 된다는 것이다. 여기서 나온 기저해들은 지수에 행렬을 달고 있는데 이러면 불편하니까 기저변환행렬에 해당하는 행렬의 고윳값을 구해서 행렬을 상수로 바꿔버린다. 그말은 곧 고차 미방을 풀려면 1차 선형미방의 해를 구할 줄 알아야 한다는 것이다.
어쨋든 저렇게 중첩의 원리가 적용되는 1계 상미분방정식은 대수적으로
\[y^\prime + p(x)y = r(x)\]
꼴이다.
여기서 r(x)가 해당 구간에서 0이면 제차, 0이 아니면 비제차이다.
제차의 경우, 변수분리 후 적분하면
\(y = ce^{-\int_{}{}pdx}\)
여기서, c가 0일 때 \(y = 0\)인 trivial solution이므로 모든 제차 선형미분방정식은 \(y = 0\)인 trivial solution을 포함한다고 할 수 있다.
비제차의 경우는
\(e^{\int_{}{}pdx}\)
라는 적분인자가 존재함이 이미 알려져 있고 이를 양변에 곱해서 변수분리 후 적분하면
Bernoulli 방정식
\[y = e^{-h}(\int_{}{}e^{h}rdx + c),h = \int_{}{}p(x)dx\]
비선형상미분방정식은 풀기 어렵다. 근데 그 중, Bernoulli 방정식의 꼴을 한 비선형상미분방정식의 경우는 적절한 치환을 통해 선형상미분방정식으로 변형할 수가 있다.
\[y^\prime + p(x)y = g(x)y^a\]
에서 \(u = y^{1 – a}\) 치환하면 선형상미분방정식의 꼴이 나오고 바로 위에서 정리한 공식을 이용할 수 있다.
끝
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